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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第2讲 函数的单调性与最值(含解析)新人教A版


第 2 讲 函数的单调性与最值
一、选择题 1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)内单调递减的函数是 ( A.y=x2 C.y=-lg|x| B.y=|x|+1 D.y=2|x| ).

解析 对于 C 中函数,当 x>0 时,y=-lg x,故为(0,+∞)上的减函数,且 y=-lg |x| 为偶函数. 答案 C 2.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(|x|)<f(1)的实数 x 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

解析 ∵f(x)在 R 上为减函数且 f(|x|)<f(1), ∴|x|>1,解得 x>1 或 x<-1. 答案 D 3.若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax +bx 在(0,+∞)上是( A.增函数 C.先增后减 B.减函数 D.先减后增

b x

2

)

解析 ∵y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数, ∴a<0,b<0,∴y=ax +bx 的对称轴方程 x=- <0, 2a ∴y=ax +bx 在(0,+∞)上为减函数. 答案 B 1,x>0, ? ? 4.设函数 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是
2 2

b x

b

( A.(-∞,0] C.[1,+∞) B.[0,1) D.[-1,0]

).

1

x ,x>1, ? ? 解析 g(x)=?0,x=1, ? ?-x2,x<1. 选 B. 答案 B

2

如图所示, 其递减区间是[0,1). 故

5.函数 y=-x +2x-3(x<0)的单调增区间是( A.(0,+∞) C.(-∞,0)

2

) B.(-∞,1] D.(-∞,-1]

解析 二次函数的对称轴为 x=1,又因为二次项系数为负数,拋物线开口向下,对称轴 在定义域的右侧,所以其单调增区间为(-∞,0). 答案 C 6 . 设 函数 y = f(x) 在 ( -∞ , +∞) 内 有 定义 , 对于 给 定 的正 数 K , 定义函 数 fK(x) =
? ?f?x?,f?x?≤K, 1 - ? 取函数 f(x)=2 |x|,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间 为 2 ?K,f?x?>K, ?

( A.(-∞,0) C.(-∞,-1)
-|x|

).

B.(0,+∞) D.(1,+∞)
-|x|

解析

?2 ,2 ≤2, 1 f (x)=? 2 1 1 ?2,2 >2
-|x|

1

?

?1?|x|,x≤-1或x≥1, ?2? 1 f (x)= 2 1 ,-1<x<1. 2

? ? ?

1 1 f (x)的图象如右图所示,因此 f (x)的单调递增区间为(-∞,-1). 2 2 答案 C 二、填空题 7.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),则 g(a)=________. 解析 ∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线 x=1. 当-2≤a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,ymin=a2-2a;当 a≥1 时, 函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin=-1.
?a2-2a,-2≤a<1, ? 综上,g(a)=? ? ?-1,a≥1.

2

答案

2 ? ?a -2a,-2≤a<1 ? ?-1,a≥1 ?

8.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是_______. 解析 y=-(x-3)|x|
? ?-x +3x =? 2 ?x -3x ?
2

x>0 , x≤ 0 .

? 3? 作出该函数的图像,观察图像知递增区间为?0, ?. ? 2? ? 3? 答案 ?0, ? 2 ? ?
2

9.已知函数 f(x)=2ax +4(a-3)x+5 在区间(-∞,3)上是减函数,则 a 的取值范围是 ________. 解析 ①当 a=0 时,f(x)=-12x+5 在(-∞, 3)上为减函数; ②当 a>0 时, 要使 f(x) 3-a 2 =2ax +4(a-3)x+5 在区间(-∞, 3)上是减函数, 则对称轴 x= 必在 x=3 的右边,

a



3-a 3 ≥3,故 0<a≤ ;③当 a<0 时,不可能在区间(-∞,3)上恒为减函数.综合知: a 4

a 的取值范围是?0, ?. 4

? ?

3?

?

? 3? 答案 ?0, ? ? 4?
?e x-2,x≤0, ? 10.已知函数 f(x)=? (a 是常数且 a>0).对于下列命题: ?2ax-1,x>0 ?


①函数 f(x)的最小值是-1; ②函数 f(x)在 R 上是单调函数; 1 ? ③若 f(x)>0 在? ?2,+∞?上恒成立,则 a 的取值范围是 a>1; ④对任意的 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? x1+x2? f?x1?+f?x2? . 2 ? 2 ?<

其中正确命题的序号是____________. 解析 根据题意可画出草图,由图象可知,①显然正确; 函数 f(x)在 R 上不是单调函数,故②错误;若 f(x)>0 在

?1,+∞?上恒成立,则 2a×1-1>0,a>1,故③正确; ?2 ? 2
由图象可知在(-∞,0)上对任意的 x1<0,x2<0 且 x1≠x2, 恒有 f? x1+x2? f?x1?+f?x2? 成立,故④正确. 2 ? 2 ?<

答案 ①③④

3

三、解答题 11.求函数 y=a1-x (a>0 且 a≠1)的单调区间. 解 当 a>1 时,函数 y=a1-x 在区间[0,+∞)上是减函数,在区间(-∞,0]上是增 函数; 当 0<a<1 时,函数 y=a1-x 在区间[0,+∞)上是增函数,在区间(-∞,0]上是减函 数. a 12.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,a∈R). x (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2(x≠0)为偶函数; 当 a≠0 时,f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数. a a x1-x2 2 (2)设 x2>x1≥2,则 f(x1)-f(x2)=x2 [x x (x +x )-a], 1+ -x2- = x1 x2 x1x2 1 2 1 2 由 x2>x1≥2,得 x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0, x1x2>0. 要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数, 只需 f(x1)-f(x2)<0, 即 x1x2(x1+x2)-a>0 恒成立,则 a≤16. 13.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时的 x 的取值范围. 解 (1)当 a>0,b>0 时,因为 a· 2x,b· 3x 都单调递增,所以函数 f(x)单调递增;当 a<0, b<0 时,因为 a· 2x,b· 3x 都单调递减,所以函数 f(x)单调递减. (2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0. 3?x a (i)当 a<0,b>0 时,? ?2? >-2b, a 3 - ?; 解得 x>log ? 2? 2b? 3?x a (ii)当 a>0,b<0 时,? ?2? <-2b, a 3 - ?. 解得 x<log ? 2 b? ? 2 14.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数;
2 2 2

4

(2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3. 解 (1)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.

2

f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1).即 f(x)是 R 上的增函数. (2) ∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3, ∴原不等式可化为 f(3m -m-2)<f(2), ∵f(x)是 R 上的增函数,∴3m -m-2<2, 4? 4 ? 解得-1<m< ,故解集为?-1, ?. 3 3 ? ?
2 2

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