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数列求和的基本方法和技巧


数列求和的基本方法和技巧 魏凤玲 关键词:数列求和 通项分 式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法 数列是 高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种 数学竞赛中都占有重要的地位 . 数列求和是数列的重要内容之 一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和 都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学来谈谈数列求和 的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用 求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列 求和公式: 2、 等比数列求和公式: 自然数方幂和公式: 3、 4、 5、 [例] 求和 1+x2+x4+x6+…x2n+4(x≠0) 解: ∵x≠0 ∴该数列是首项为 1,公比为 x2 的等比数列而且有 n+3 项 当 x2=1 即 x=± 1 时 和为 n+3 评注: (1)利用等比数列求和公 式.当公比是用字母表示时,应对其是否为 1 进行讨论,如本题 若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对 x 是否为 0 进行讨论.(2)要弄清数列共有多少项, 末项不一定是第 n 项.对 应高考考题: 设数列 1, (1+2) , …, (1+2+ ) , ……的前顶和为 , 则 的值。 二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有 相当重要的位置, 近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方 面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在 推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于 求数列{an bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列 和等比数列 . 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数

列的等比数列的公比 ;然后再将得到的新和式和原和式相减, 转化为同倍数的等比数列求和, 这种方法就是错位相减法。 [例] 求和: ( )………………………① 解:由题可知,{ }的通项是等 差 数 列 {2n - 1} 的 通 项 与 等 比 数 列 { } 的 通 项 之 积 设 ………………………. ② (设制错位) ①-②得 (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得: ∴ 注意、1 要考虑 当公比 x 为值 1 时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点 是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对 应高考考题: 设正项等比数列 的首项 , 前 n 项和为 , 且 。 (Ⅰ) 求 的通项; (Ⅱ)求 的前 n 项和 。 三、反序相加法求和 这 是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法, 就是将一个数列 倒过来排列 (反序) , 再把它与原数列相加, 就可以得到 n 个 . [例] 求证: 证明: 设 ………………………….. ① 把①式右边倒转过 来得 (反序) 又由 可得 …………..…….. ② ①+②得 (反序 相加) ∴ 四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也 不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比 或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可 . 若数列 的通 项公式为 ,其中 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和 时一般用分组结合法。 [例]:求数列 的前 n 项和; 分析:数 列的通项公式为 ,而数列 分别是等差数列、等比数列,求和时 一般用分组结合法; [解] :因为 ,所以 (分组) 前一个括 号内是一个等比数列的和,后一个括号内是一个等差数列的和,

因此 五、 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体 应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新 组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂 项)如: (1) (2) (3) (4) (5) [例] 求数列 的前 n 项和. 解:设 (裂项) 则 (裂项求和) = = 小结:此类 变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后, 其中中间的大部分 项都互相抵消了。只剩下有限的几项。 注意: 余下的项具有如 下的特点 1 余下的项前后的位置前后是对称的。 2 余下的项前 后的正负性是相反的。 [练习] 在数列{an}中, ,又 ,求数列 {bn}的前 n 项的和. 六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将 某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和 时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例] 在各项均 为正数的等比数列中, 若 的值. 解:设 由等比数列的性质 (找 特殊性质项) 和对数的运算性质 得 (合并求和) = = =10 数列的求和方法多种多样,它在高考中的重要性也显而易见。我 们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法, 在解题中才 能比较容易解决数列问题。


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