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《Matlab基础与应用》课程设计


武汉理工大学《M atlab 基础与应用》课程设计

附件 1: 学 号:

课 程 设 计

题 学 专 班 姓

目 院 业 级 名

指导教师







武汉理工大学《M atlab 基础与应用》课程设计

课程任务设计书
学生姓名: 指导教师: 题 目: 初始条件:
1)Matlab 软件的基本操作知识 2)工程数学基本知识(高等数学、线性代数、微积分等) 3)计算机

专业班级: 付琴 工作单位: 信息工程学院

基于 Matlab 的相关变化率问题求解

要求完成的主要任务: (包括课程设计工作量及其技术要求, 以及说明书撰写等具体要求)

时间安排:
序号 1 2 3 4 阶段内容 选题,熟练 Matlab 软件操作 完成 Matlab 数学运算、图形绘制,完成相应数学问题求解 撰写报告 答辩 合计 所需时间 2天 3天 1天 1天 7天

指导教师签名: 系主任(或责任教师)签名:

2013 年 6 2013

月 4

日 日

年 6 月 4

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课程任务设计书 ............................................................................................................................ 2 Abstact .......................................................................................................................................... 4 1 绪论 ........................................................................................................................................... 4 2 Matlab 的基本运算 ..................................................................................................................... 5 2.1 常见基本运算 .................................................................................................................. 5 2.1.1 极限的计算 ............................................................................................................. 5 2.1.2 微分的计算............................................................................................................. 5 2.1.3 积分的计算............................................................................................................. 6 2.1.4 级数的计算............................................................................................................. 6 2.1.5 求解代数方程 ......................................................................................................... 7 2.1.6 求解常微分方程...................................................................................................... 7 2.2 矩阵基本计算 .................................................................................................................. 8 2.2.1 矩阵最大值和最小值............................................................................................... 8 2.2.3 矩阵的均值............................................................................................................. 8 2.2.4 矩阵的方差............................................................................................................. 9 2.2.5 矩阵的转置........................................................................................................... 10 2.2.6 矩阵的逆 .............................................................................................................. 10 2.2.7 矩阵的行列式 ....................................................................................................... 10 2.2.8 矩阵特征值的计算 ................................................................................................ 11 2.2.9 矩阵的相乘........................................................................................................... 11 2.2.10 矩阵的左除和右除 .............................................................................................. 12 2.2.11 矩阵的幂运算 ..................................................................................................... 13 2.3 多项式的基本运算 ......................................................................................................... 13 2.3.1 多项式加减........................................................................................................... 13 2.3.2 乘除运算 .............................................................................................................. 14 2.3.3 多项式的求导 ....................................................................................................... 14 2.3.4 多项式的求根 ....................................................................................................... 15 2.3.5 多项式的求值运算 ................................................................................................ 15 2.3.6 多项式的部分分式展开.......................................................................................... 16 基于 Matlab 的图形绘制 ............................................................................................................... 17 3.2 三维曲面图像的绘制 .............................................................................................................. 19 4.1 问题描述............................................................................................................................... 21 4.2 求解方案............................................................................................................................... 22 4.3 基于 Matlab 的程序设计......................................................................................................... 22 4.4 结果分析................................................................................................................................ 23 4.5 总结...................................................................................................................................... 23 4.6 参考文献................................................................................................................................ 23

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摘要
MATLAB 的名称源自 Matrix Laboratory ,它是一种科学计算软件,专 门以矩阵的形式处理数据。 MATLAB 将高性能的数值计算和可视化集成在 一起,并提供了大量的内置函数,从而被广泛地应用于科学计算、控制系 统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作。 关键词:MATLAB,计算,信号处理,调制,解调,时域,频域

Abstact
Derived from the name of the MATLAB Matrix that it is a scientific calculation software, process the data in the form of Matrix. MATLAB will high-performance numerical calculation and visualization integration in together, and provides a number of built-in functions, which are widely used in scientific computing, control system, information processing in areas such as analysis, simulation and design work. Keywords: MATLAB, computing, signal processing, modulation, demodulation, time domain and frequency domain

1 绪论
MATLAB 是由美国 mathworks 公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程 序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态 系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中,为科学研究、工 程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案,并在很

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大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言(如 C、Fortran)的编辑模式,代表了当今 国际科学计算软件的先进水平。

2 Matlab 的基本运算
2.1 常见基本运算 2.1.1 极限的计算
MATLAB 中极限函数 limit 格式如下: limit(F,x,a) ; limit(F,a); limit(F); limit(F,x,a,'right'); limit(F,x,a,'left') 其中 F 表示的是函数式,x 表示求极限的变量,a 表示的是变量的趋向值, left 或 right 表示是取左极限还是右极限。

编程如下: >> syms x >> limit(sin(x)/x,x,0) ans = 1

2.1.2 微分的计算
MATLAB 中微分函数 diff 格式如下: Y = diff(X); Y = diff(X,n); Y = diff(X,n,dim) 其中 X 表示待微分的变量, n 表示 n 次微分, 第三式表示沿着定维 dim 的 n 阶微分。 编程如下: >> syms x n; y=x.^n; f=diff(x,n) f=

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0

2.1.3 积分的计算
MATLAB 中积分常用函数为 int,格式如下: int(f,x,a,b) 其中 f 表示待积分的函数, x 表示积分变量,而 a,b 则分别表示积分起始终止点。 编程如下: >> syms x y int(x^(-1/2)+1/2000,x) ans = 2*x^(1/2)+1/2000*x

2.1.4 级数的计算
MATLAB 中级数常用函数为 symsum,格式如下: r = symsum(s);r = symsum(s,v); r = symsum(s,a,b);r = symsum(s,v,a,b) 函数表达的意义是表达式 s 关于变量 v 从 a 到 b 求和。 编程如下: >> clear >> syms x; >> y=cos(x); >> f=taylor(y,x,8) f= 1-1/2*x^2+1/24*x^4-1/720*x^6 >> symsum(x,x,1,99) ans = 4950

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2.1.5 求解代数方程
代数方程分为很多种,有简单有复杂,方法也有很多。一般多项式方程的根可为实 数,也可为复数,可用 MATLAB 符号工具箱中的 solve( )函数, MATLAB 中求解代数 方程常用函数 solve 格式如下: [x,? ]=solve(eqn1,eqn2,?,eqnn, ’ x,?’ ) 其中 eqn 表示的是式子, x 等表示的是变量。 例:解方程 x^3+5*x^2-6*x=0 编程如下: >> syms x >> f=x^3+5*x^2-6*x; >> solve(f) ans = 0 1 -6

2.1.6 求解常微分方程
未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程 称为微分方程。如果未知函数是一元函数,称为常微分方程。MATLAB 中主要用 dsolve 求符号解析解。 dsolve 的基本格式是: s=dsolve(‘方程 1’, ‘方程 2’,?, ’初始条件 1’ , ’初始条件 2’ ?,’自变量’)
例:求下列微分方程的解析解 y’=ay+b 编程如下:

>> syms x >> s=dsolve('Dy=a*y+b')

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s= -b/a+exp(a*t)*C1

2.2 矩阵基本计算 2.2.1 矩阵最大值和最小值
MATLAB 中 max 函数可以表示求每一列的最大值,那么经过分析可以知道,先求 出每一列的最大值然后求出这些最大值里面的最大值,下面以 A 矩阵为例。 编程如下: >> B=[1,2,3;4,5,6;7,8,9,] B= 1 4 7 2 5 8 3 6 9

>> [L,I]=min(B(:)) L= 1 I= 1 >> [m,n]=ind2sub(size(B),I) m= 1 n= 1

2.2.3 矩阵的均值
调用函数 mean 格式:

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M = mean(A) M = mean(A,dim) 编程如下: >> syms A >> A=[2,5,8;4,8,2;9,4,1,] A= 2 4 9 5 8 4 8 2 1

>> mean(A(:)) ans = 4.7778

2.2.4 矩阵的方差
调用函数 var 格式: V = var(X) V = var(X,1) V = var(X,w) V = var(X,w,dim) 编程如下: A= 2 4 9 >> var(A(:)) ans = 8.6944 5 8 4 8 2 1

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2.2.5 矩阵的转置
矩阵的一个重要的运算是转置,如果 A 是一个实数矩阵,那么它被转置时,第 1 行变成第 1 列,第 2 行变成第 2 列,依此类推,一个 m× n 矩阵变为一个 n× m 矩阵。 如果矩阵是方阵,那么这个矩阵在主对角线反映出来。 编程如下: >> A' ans = 2 5 8 4 8 2 9 4 1

2.2.6 矩阵的逆
实际中求矩阵的逆跟行列式均要求矩阵是方阵,MATLAB 中求逆的函数是 inv,格 式为 Y = inv(X)。 编程如下: >> inv(A)

ans = -0.0000 -0.0370 0.1481 -0.0714 0.1852 0.1429 -0.0741 0.0106

-0.0979

2.2.7 矩阵的行列式
调用函数 det 格式: d = det(X) 编程如下: >> det(A)

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ans = -378

2.2.8 矩阵特征值的计算
矩阵的特征值的求解,就是找到方程组的解:
Ax ? ?x

其中λ 是一个标量,x 是一个长度为 n 的列向量。标量λ 是 A 的特征值, x 是相对 应的特征向量。对于实数矩阵 A 来说,特征值和特征向量可能是复数。 一个 n× n

...,?n 。 的矩阵有 n 个特征值,表示为 ?1,?1,
求矩阵的特征值和特征向量可用 eig 函数。Eig(A)求包含矩阵 A 的特征值的向量。 [V,D] =eig(A)产生一个矩阵 A 的特征值在对角线上的对角矩阵 D 和矩阵 V,它的列是相应的特征向量, ,满足 AV=VD,下面以矩阵 A 为例来演示。 编程如下: >> eig(A) ans = -7.0611 14.3239 3.7373

2.2.9 矩阵的相乘
假定有两个矩阵 A 和 B,若 A 为 m× n 矩阵,B 为 n×p 矩阵,则 C=A× B 为 m×p c 矩阵。元素 ij 是 A 的第 i 行和 B 的第 j 列的点积。对于方阵,也定义了积 B A,但其结 果通常与 A B 不同。 MATLAB 中求矩阵的乘积直接用符号*即可, 下面以 A、 B 矩阵为例来分别演示 A*B 与 B*A 区别。 编程如下: >> A=[4,5,2;5,1,6;9,0,8,]; >> B=[2,8,6;9,4,4;5,3,7,];

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>> C=A*B C= 63 49 58 58 62 96 58 76 110

2.2.10 矩阵的左除和右除
在 MATLAB 中,有两个矩阵除法的符号,左除“ \”和右除“/” 。如果 A 是一个 非奇异方阵,那么 A \ B 和 B / A 对应 A 的逆与 B 的左乘和右乘,即分别等价于命令 inv(A)*B 和 B*inv(A)。可是,MATLAB 执行它们时是不同的,且在 MATLAB 中求解一 个系统用左除比用逆和乘法所需的运算次数要少。 令 d=B/A, c=A\B 。 编程如下: 矩阵的右除: >> A=[4,5,2;5,1,6;9,0,8,]; >> B=[2,8,6;9,4,4;5,3,7,]; >> A\B ans = -2.4286 1.0000 3.3571 >> A\B 矩阵的左除: >> A=[4,5,2;5,1,6;9,0,8,]; >> B=[2,8,6;9,4,4;5,3,7,]; >> A/B ans = 0.5074 0.6074 -0.4963 -0.1429 1.5000 0.5357 1.0000 0.5000 -0.2500

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-0.2926 -0.7407

0.0074 0.2593

1.1037 1.6296

2.2.11 矩阵的幂运算
对于二维方阵,A 的 p 次乘方可以用 A^p 实现。如果 p 是一个正整数,那么这个幂 可以由许多矩阵乘法运算定义。对于 p= 0,得到与 A 维数相同的同一个矩阵;当 p< 0 时,如果 A- 1 存在,可定义 A ^p,它是与 inv(A)^(-p)相同。 A0=A^3,A1=A^3,A2=A^-3 Ap0 为 3 个 A 矩阵相乘,Ap1 中的元素为 A 矩阵中相应元素的立方,矩阵 Ap2 为 矩阵 A 的逆矩阵的乘积,A3 为 A0 的逆矩阵。 编程如下: >> A=[4,5,2;5,1,6;9,0,8,]; >> B=5; >> A^B ans = 150853 182765 251856 60995 73666 101475 123618 149864 206414

2.3 多项式的基本运算 2.3.1 多项式加减
编程如下: >> p=[1 4 8 4 0 2 9]; >> q=[5 6 5 4 4 2 4]; >> m=p+q m=

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6 >> n=p-q n= -4

10

13

8

4

4

13

-2

3

0

-4

0

5

2.3.2 乘除运算
编程如下: >> A=[1 5 6 7 3]; >> B=[2 7 8 9 6]; >> C=conv(A,B) C= 2 17 55 105 154 161 123 69 18

>> [s,r]=deconv(A,B) s= 0.5000 r= 0 1.5000 2.0000 2.5000 0

2.3.3 多项式的求导
调用函数 polyder 格式: k = polyder(p) k = polyder(a,b) [q,d] = polyder(b,a) 例:求 q(x)=40x^2+7x+1 的导数 编程如下: >>q=[40 7 1] q= 40 7 1

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>>Q=ploy2sym(q) ans = 40*x^2+7*x+1 >>ployder(q) p= 80 7

2.3.4 多项式的求根
调用函数 roots 格式: r = roots(c) 求多项式 p(x)=x^4+4x^3-12 的根。 >> p=[1,4,0,0,-12]; >> x=roots(p) x= -4.1660 1.3121 -0.5731 + 1.3663i -0.5731 - 1.3663i >>

2.3.5 多项式的求值运算
调用函数 polyval 格式: y = polyval(p,x) y = polyval(p,x,[],mu) [y,delta] = polyval(p,x,S) [y,delta] = polyval(p,x,S,mu) 例: >> clear

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>> p=[2 -1 0 3] p= 2 -1 0 3

>> y=ployval(p,3) y= 48 >>

2.3.6 多项式的部分分式展开
函数 residue 可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式表示为多 项式之比。其调用格式如下: [r,p,k]=residue(a,b) 返回多项式之比 a/b 的部分分式展开,参照下面公式。 [a,b]=residue(r,p,k) 返回部分分式的多项式向量。

例:将 F(z)=(10*z)/(z^2-3*z+2)部分展开
>> num=[0 10]; >> den=[1 -3 2]; >> [r,p,k]=residuez(num,den) r= 10 -10 p= 2 1 k= []

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基于 Matlab 的图形绘制
3.1 二维图形的绘制
二维图形是将平面坐标上的数据点连接起来的平面图形。可以采用不同的坐标系,出直 角坐标系外,还可以采用对数坐标系、极坐标。数据点可以用向量或矩阵形式给出,类 型可以是实型或复型。二维图形输出,利用 MATLAB 的二维绘图函数可以很容易作出 需要的各种图形。 plot 函用于绘制直角坐标的二维曲线。使用方 plot(x,y,linespeci),plot(x,y)先描出点(x(i), y(i)),然后用直线依次相连,其中参数 linespeci 指明了线条的类型,标记符号和画线用 的颜色。 lot 是绘制二维曲线的基本命令,但在使用此函数之前,我们需先定义曲线上 每一点的 x 及 y 坐标若要在同一个画面上画出多条曲线, 只需将坐标对依次放入 plot 函 数即可。 以下各例题中的程序都是在 MATLAB 编辑器中函数图象的绘制: 先是简单的一次函数图像的绘制;简单的一次函数在数学图像绘制中是比较简单的,在 MATLAB 语言中用 plot 函数就能实现。 例如:在 0≤x≤2 区间内,绘制曲线 y=2e-0.5xcos(4π x) 程序如下: x=0:pi/100:2*pi; y=2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x); plot(x,y, ’r*’) 图像如下:
untitled.fig

例如:用不同标度在同一坐标内绘制曲线 y1=0.2e-0.5xcos(4π x) 和 y2=2e-0.5xcos(π x)。 程序如下: x=0:pi/100:2*pi;

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y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x); y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x); plotyy(x,y1,x,y2);

图形保持: hold on/off 命令控制是保持原有图形还是刷新原有图形,不带参数的 hold 命令在两种状 态之间进行切换。 例如:采用图形保持,在同一坐标内绘制曲线 y1=0.2e-0.5xcos(4π x) 和 y2=2e-0.5xcos(π x)。 程序如下: >> x=0:pi/10:2*pi; >> y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x); >> plot(x,y1) >> hold on >> y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x); >> plot(x,y2); hold off 图形如下:
untitled.fig

设置曲线样式 确定所绘曲线的线型、颜色和数据点标记符号,它们可以组合使用。例如, “b-.”表示 蓝色点划线, “y:d”表示黄色虚线并用菱形符标记数据点。当选项省略时,默认线型一 律用实线,颜色将根据曲线的先后顺序依次。 例如: 在同 一坐 标内 ,分 别用不 同线 型和 颜色 绘制 曲线 y1=0.2e-0.5xcos(4 π x) 和 y2=2e-0.5xcos(π x),标记两曲线交叉点。 程序如下: x=linspace(0,2*pi,1000); y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);

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y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x); k=find(abs(y1-y2)<1e-2); %查找 y1 与 y2 相等点(近似相等)的下标 x1=x(k); %取 y1 与 y2 相等点的 x 坐标 y3=0.2*exp(-0.5*x1).*cos(4*pi*x1); %求 y1 与 y2 值相等点的 y 坐标 plot(x,y1,x,y2,'k:',x1,y3,'bp'); 图形如下:

untitled.fig

3.2 三维曲面图像的绘制
三维图图形的绘制,包括三维螺旋线,三维空间曲面,三维隐函数图形,三维分段 函数图形等,下面我们将用 matlab 中的不同函数来绘制三维空间中漂亮的三维函数图 形。 最基本的三维图形函数为 plot3, 他将二维绘图函数绘图函数 plot 的有关功能能扩展到 三维空间,可以绘制三维曲线。plot3 函数用于画一个单变量的三维曲线。plot3 一般 语法调用格 plot3(x1,y1,z1,s1,x2,y2,z2,s2?),x1,y1、z1 是向量或矩阵,函数 plot3 以其中三个向量内的相应元素作为数据点的 x 坐标、y 坐标、z 坐标,绘制这些数据点在

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三维空间内的连线,然后在屏幕上显示出这条三维曲线在二维平面上的投影。Si 是可选 的字符串,用来指定颜色、标记符号或线形。 >>[x,y]=meshgrid(-8:0.5:8); >>z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./sqrt(x.^2+y.^2+eps); >>subplot(2,2,1); >>mesh(x,y,z); >>title('mesh(x,y,z)') >>subplot(2,2,2); >>meshc(x,y,z); >>title('meshc(x,y,z)') >>subplot(2,2,3); >>meshz(x,y,z) >>title('meshz(x,y,z)') >>subplot(2,2,4); >>surf(x,y,z); >>title('surf(x,y,z)') >>

例绘制三维图形: (1) 绘制魔方阵的三维条形图。 (2) 以三维杆图形式绘制曲线 y=2sin(x) 。

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(3) 已知 x=[2347,1827,2043,3025] ,绘制饼图。 (4) 用随机的顶点坐标值画出五个黄色三角形。

>> subplot(2,2,1) >> bar3(magic(4)) >> subplot(2,2,2); >> y=2*sin(0:pi/10:2*pi); >> stem3(y); >> subplot(2,2,3); >> pie3([2347,1827,2043,3025]); >> subplot(2,2,4); >> fill3(rand(3,5),rand(3,5),rand(3,5),'y')

4.1 问题描述
问题一:一气球从离开观察员 500 米处离地面铅直上升,其速率为 140 米/秒。观察员视线的仰角增 加率是多少? 问题二:一架巡逻直升机在距地面 3km 的高度以 120km/h 的常速沿着一条水平笔直的高速公路向前 飞行,飞行员观察到迎面驶来一辆汽车,通过雷达测出直升机与汽车间的距离为 5km,并且此距离 以 160km/h 的速率减少。试求出汽车行进的速度

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4.2 求解方案
问题一:解:设气球上升 t 秒后,其高度为 h,观察员视线的仰角为 a,则 tana=h/500, 上式两边对 t 求导得 sec^2(a)*da/dt=(1/500)*dh/dt, 因为 dh/dt=140 米/秒,当 h=500 米时,sec^2(a)=2, 所以 da/dt=0.14(弧度每 秒) 问题二:把飞机此刻的位置记为 A,汽车位置记为 B,飞机在地面的投影记 为 C,则 Rt△ACB 中,∠ACB=90 °,AB=5km,AC=3km,则 BC=4km;设汽车 速度为 xkm/h,该速度在 AB 方向上的分量为 4/5x km/h 飞机速度在 AB 方向上的分量为 4/5*120=96km/h 4/5x+96=160 => x=80 汽车行进速度为 80km/h

4.3 基于 Matlab 的程序设计
>> syms x >> f=4/5*x+4/5*120-160; >> solve(f) ans = 80

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4.4 结果分析
通过分析两个物体之间的关系,找到联系,再用 matlab 程序编写

4.5 总结
1.首先是对 matlab 的操作不熟悉,不能很好地将以前所学到的知识运用到 matlab 的运用中; 2.其次是对 matlab 的各种运算符和格式的不了解,所以对阅读和编写 matlab 程序有困难; 3.再者是将知识运用到 matlab 的能力不足,缺少练习; 4.最后就是 matlab 以外的知识的问题,对预备知识的生疏必然导致不能解 决问题。 对应的,首先应该熟悉 matlab 的操作,暂时不用编写很复杂的程序,先编 写较为简单的程序来熟悉各种操作;其次,加强记忆,多做练习,以练习 来促进记忆,掌握重要的运算符和格式;对于,第三个问题,可以请教别 人和多做练习来加强该能力的培养;而最后一个问题则需要大家在平时注 意学习好相关知识了。

4.6 参考文献
(1)精通 MATLAB R2011a(附光盘 1 张) 张志涌、 等 北京航空航天大学出 版社 (2) MATLAB 实用教程(第 2 版) 穆尔(Holly Moore) 、高会生、刘童娜、 李

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聪聪 电子工业出版社 (3)MATLAB 在数学建模中的应用 卓金武 北京航空航天大学出版社 (4)MATLAB 7.0 从入门到精通(修订版) 刘保柱、苏彦华、 张宏林 人民 邮电出版社 (5)MATLAB 智能算法 30 个案例分析 史峰、王辉、胡斐、 郁磊 北京航空 航天大学出版社 (6)MATLAB 教程(附光盘 1 张) 张志涌、杨祖樱、 等 北京航空航天大学 出版社

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本科生课程设计成绩评定表
姓 名 别 性 别 专业、班级 课程设计题目: 课程设计答辩或质疑记录:

成绩评定依据:

最终评定成绩(以优、良、中、及格、不及格评定)

指导教师签字: 年 月 日


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