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2013-2014学年高中数学 3.1.1+2 空间向量及其线性运算 共面向量定理课后知能检测 苏教版选修2-1


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 3.1.1+2 空间 向量及其线性运算 共面向量定理课后知能检测 苏教版选修 2-1

一、填空题 1.下列命题中真命题的个数是________. ①空间中任两个单位向量必相等; ②将空间中所有的单位向量移到同一起点,则它们的终点构成一个圆; ③若两个非零向量 a,b 满足 a=kb,则 a,b 同向; ④向量共面即它们所在的直线共面. 【解析】 ①是假命题,单位向量模相等,但方向不一定相同,因此空间中任两个单位 向量不一定相等; ②是假命题,将空间中所有的单位向量移到同一起点,则它们的终点构成一个球面; ③是假命题,当 k>0 时,a,b 同向,当 k<0 时,a,b 反向; ④是假命题,表示共面向量的有向线段所在的直线可以“平移”(平行移动)到同一平 面,但不一定共面. 【答案】 0 → → → 2.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 和 BD 的交点,若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c, → 则B1M=________. 1→ 1→ 1 1 1 1 → → → 【解析】 B1M=B1B+BM=c+ BD=c+ B1D1=c+ b- a=- a+ b+c. 2 2 2 2 2 2 1 1 【答案】 - a+ b+c 2 2 3.非零向量 e1、e2 不共线,若 ke1+e2 与 e1+ke2 共线,则 k=________. 【解析】 若 ke1+e2 与 e1+ke2 共线,则

ke1+e2=λ (e1+ke2),
? ?k=λ , ∴? ?λ k=1, ?

∴k=±1.

【答案】 ±1 → → → → → → 4.空间四边形 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,点 M 在OA上,且OM=2MA,N 为 BC 的 → 中点,则MN=________.(用 a,b,c 表示)
1

【解析】 如图, →

MN=ON-OM
1 → → 2→ = (OB+OC)- OA 2 3 1 2 = (b+c)- a 2 3 2 1 1 =- a+ b+ c. 3 2 2 2 1 1 【答案】 - a+ b+ c 3 2 2 → 5 .如图 3 - 1 - 6 ,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,下列各式中运算的结果为 BD1 的是

→ →

________.

图 3-1-6 → → → → → → ①(A1D1-A1A)-AB;②(BC+BB1)-D1C1; → → → → → → ③(AD-AB)-2DD1;④(B1D1-A1A)+DD1. → → → → → → → → → → → → 【解析】 (A1D1-A1A)-AB=AD1-AB=BD1,(BC+BB1)-D1C1=BC1+C1D1=BD1. 【答案】 ①② 6.有四个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面; ②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb; → → → ③若MP=xMA+yMB,则 P、M、A、B 共面; → → → ④若 P、M、A、B 共面,则MP=xMA+yMB. 其中真命题是________(填序号). 【解析】 由共面向量定理知,①真;若 p 与 a,b 共面,当 a 与 b 共线且 p 与 a 和 b

2

不共线时,就不存在实数组(x,y)使 p=xa+yb 成立,故②假.同理③真,④假. 【答案】 ①③ 7.在下列各式中,使 P,A,B,C 四点共面的式子的序号为________. → → → → ①OP=OA-OB-OC; → 1→ 1→ 1→ ②OP= OA+ OB+ OC; 7 4 2 → → → ③PA+PB+PC=0; → → → → ④OP+OA+OB+OC=0; → 1→ → 3→ ⑤OP= OA-OB+ OC. 2 2 【解析】 根据四点共面的充要条件,易知①②④不适合,③⑤适合. 【答案】 ③⑤ → → → 8.(2013·平遥高二检测)已知点 G 是△ABC 的重心,O 是空间任一点,若OA+OB+OC= → λ OG,则 λ =________.

【解析】 如图,取 AB 的中点 D, →

OG=OC+CG
→ 2→ =OC+ CD 3 → 2 1 → → =OC+ · (CA+CB) 3 2 → 1 → → → → =OC+ [(OA-OC)+(OB-OC)] 3 1→ 1→ 1→ = OA+ OB+ OC. 3 3 3 → → → → ∴OA+OB+OC=3OG. 【答案】 3 二、解答题

→ →

3

图 3-1-7 9.如图 3-1-7,已知平行六面体 ABCD-A′B′C′D′,M 是线段 CC′的中点,G 是 线段 AC′的三等分点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量: → → (1)AB+BC; → → (2)AB+AD+ → → 1 (3)AB+AD+ 2 1 → → (4) (AB+AD+ 3 ; ; ).

→ → → 【解】 (1)AB+BC=AC. → → (2)AB+AD+ → → 1 (3)AB+AD+ 2 1 → → (4) (AB+AD+ 3 → 向量AC, → =AC+ → =AC+ = .

→ → → → → → =AB+BC+CM=AC+CM=AM. 1 )= 3 → =AG.

→ → ,AM,AG如图所示.

10.如图 3-1-8 所示,四边形 ABCD、ABEF 都是平行四边形且不共面,M、N 分别是 AC、

BF 的中点,判断CE与MN是否共线.

→ →

图 3-1-8 【解】 ∵M、N 分别是 AC、BF 的中点,四边形 ABCD、ABEF 都是平行四边形, → → → → 1→ → 1→ ∴MN=MA+AF+FN= CA+AF+ FB, 2 2

4



MN=MC+CE+EB+BN=- CA+CE-AF- FB,
1→ → 1→ 1→ → → 1→ ∴ CA+AF+ FB=- CA+CE-AF- FB, 2 2 2 2 → → → → → → → → ∴CE=CA+2AF+FB=2(MA+AF+FN)=2MN, → → → → ∴CE∥MN,即CE与MN共线.

→ → → →

1→ 2

→ →

1→ 2

图 3-1-9 11.如图 3-1-9,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,EF∥AB,AB=2EF,H 为 BC 的中点.求证:FH∥平面 EDB. 1 → → → → → 1 → → 1 → → 【证明】 因为 H 为 BC 的中点, 所以FH= (FB+FC)= (FE+EB+FE+ED+DC)= (2FE 2 2 2 → → → +EB+ED+DC). → → → 1 → → 1→ 1→ 因为 EF∥AB,CD∥AB,且 AB=2EF,所以 2FE+DC=0,所以FH= (EB+ED)= EB+ ED. 2 2 2 → → → → → 因为EB与ED不共线,由共面向量定理知,FH,EB,ED共面. 因为 FH?平面 EDB,所以 FH∥平面 EDB.

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