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重庆十八中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)


重庆十八中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
一.选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知复数 z 满足 z= A.第一象限 (i 为虚数单位) ,则复数 z 所对应的点所在象限为() C.第三象限
2

B.第二象限

D.第四象限

2. (5 分)已知命题 p:“对?x∈R,都有 x >0”则¬p 是() 2 2 A.对?x∈R,都有 x <0 B. 不存在实数 x,使得 x <0 2 2 C. ?x0∈R,都有 x ≥0 D.?x0∈R,使得 x0 ≤0 3. (5 分)若 α 的终边经过点 P(3,﹣4) ,则 tan(α+ A.
0.2

)=() D.

B.
3

C.

4. (5 分)如果 a=3 ,b=log0.23,c=0.2 ,那么它们之间的大小关系是() A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a 5. (5 分)某人去上班,由于担心迟到一开始就跑,等跑累了再走余下的路程,如果纵轴表示 到单位的路程 s,用横轴表示出发后的时间 t,则比较符合此人走法的图象是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)已知 sin(α﹣ A.﹣

)= ,且 α 为锐角,则 cosα=() C. D.

B. ﹣

7. (5 分)已知在 R 上处处可导的函数 f(x)满足, (x﹣2)f′(x)<0,且 f(1)=f(5) , 则不等式 f(2x﹣1)>f(1)的解集是() A.(﹣∞,1) B.(1,3) C.(1,2)∪(2,3) D. (3,+∞) 8. (5 分)将函数 y=sin(x﹣ 再向右平移 A.﹣ )的图象上的个点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 后,

个单位,所得到的函数图象的一条对称轴是() B.
3

C.

D.

9. (5 分)已知函数 f(x)=ax +bsinx+4(a,b∈R) ,f(lg(log210) )=5,则 f(lg(lg2) )= () A.﹣5 B . ﹣1 C. 3 D.4

10. (5 分)已知△ ABC 中,b=1,c= () A.﹣2

,且

+

+

= (O 是此三角形外心) ,则

?

=

B . ﹣1

C. 1

D.2

二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 2 11. (5 分)如果 A={1,3,a},B={3,a },且 A∪B=A,那么实数 a=.

12. (5 分)方程 4 ﹣2

x

x+1

﹣3=0 的解是. ,则 sinA+cosA=.

13. (5 分)若△ ABC 的内角 A 满足

14. (5 分)函数 f(x)=



的值域是.

15. (5 分)定义函数 f(x)= [1,2 ](n∈N )内的所有零点的和为.
n *

,则函数 g(x)=xf(x)﹣6 在区间

三、解答题(共 75 分) 16. (13 分)已知全集 U=R,A={x| <﹣1},非空集合 B={x|x ﹣3(a+1)x+2(3a+1)≤0}.
2

(1)当 a=2 时,求(?UA)∩B: (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 p 是 q 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

17. (13 分)已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,x) , ⊥ (1)求|2 +3 |; (2)若单位向量 与向量 2 ﹣ 平行,求向量 的坐标. 18. (13 分)已知函数 f(x)=2cos x+2 sinxcosx﹣1(x∈R)[来源:学。科。网 Z。X。X。 K] (1)求函数 f(x)的周期及单调递减区间; (2)若|x|≤ ,求函数 f(x)的值域.
2

19. (12 分)已知角 A,B,C 是锐角△ ABC 的三个内角,若向量 =(cosA+sinA,2﹣2sinA) , =(cosA﹣sinA,1+sinA) ,且 ⊥ (1)求角 A; (2)求函数 y=2sin B+cos(C﹣ A)的值域.
2

20. (12 分)已知△ ABC 的外接圆的半径为 3,且 cos(A﹣B)cosB﹣s in(A﹣B)sin(A+C) = ; (1)求角 A; (2)求△ ABC 面积的最大值,并判断此时△ ABC 的形状. 21. (12 分)巳知函数 f(x)= ax ﹣bx﹣1nx,其中 a,b∈R. (Ⅰ)当 a=3,b=﹣1 时,求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)若曲线 y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为 2x﹣3y﹣e=0(e=2.71828…为自然对 数的底数) ,求 a,b 的值; (Ⅲ)当 a>0,且 a 为常数时,若函数 h(x)=x[f(x)+1nx]对任意的 x1>x2≥4,总有 >﹣1 成立,试用 a 表示出 b 的取值范围.[来源:Z.xx.k.Com]
2

重庆十八中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文 科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知复数 z 满足 z= A.第一象限 (i 为虚数单位) ,则复数 z 所对应的点所在象限为() C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据复数的几何意义,即可得到结论. 解答: 解:z= = = ,对应的坐标为(2,﹣1) ,

位于第四象限, 故选:D. 点评: 本题主要考查复数的几何意义,利用复数的基本运算即可得到结论,比较基础. 2. (5 分)已知命题 p:“对?x∈R,都有 x >0”则¬p 是() 2 2 A.对?x∈R,都有 x <0 B. 不存在实数 x,使得 x <0 2 2 C. ?x0∈R,都有 x ≥0 D.?x0∈R,使得 x0 ≤0 考点: 命题的否定. 专题: 计算题;简易逻辑.
2

分析: 本题中的命题是一个全称命题,其否定是特称命题,依据全称命题的否定书写形式 写出命题的否定即可 解答: 解:∵命题 p:“对?x∈R,都有 x >0”, 2 ∴命题 p 的否定是“?x0∈R,使得 x0 ≤0” 故选:D. 点评: 本题考查命题的否定,解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则,全称命 题的否定是特称命题,特 称命题的否定是全称命题,书写时注意量词的变化.
2

3. (5 分)若 α 的终边经过点 P(3,﹣4) ,则 tan(α+ A. B. C.

)=() D.

考点: 任意角的三角函数的定义;两角和与差的正切函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由角 α 的终边经过点 P(3,﹣4) ,利用任意角的三角函数定义求出 tanα 的值,然后 利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子后,将 tanα 的值代入 即可求出值. 解答: 解:∵角 α 的终边经过点 P(3,﹣4) , ∴tanα=﹣ ,

则 tan(α+

)=

=﹣ ,

故选:A. 点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式,特殊角的三角函数值,以及任意角的三角 函数定义,根据题意得出 tanα 的值是解本题的关键. 4. (5 分)如果 a=3 ,b=log0.23,c=0.2 ,那么它们之间的大小关系是() A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数和指数的性质,比较和 O,1 的关系,即可得到答案. 解答: 解:a=3 >1,b=log0.23<0,0<0.2 <1, 所以 a>c>b, 故选:C. 点评: 本题主要考查了对数函数和指数函数的性质,属于基础题. 5. (5 分)某人去上班,由于担心迟到一开始就跑,等跑累了再走余下的路程,如果纵轴表示 到单位的路程 s,用横轴表示出发后的时间 t,则比较符合此人走法的图象是()[来源:学§科 §网 Z§X§X§K]
0.2 3 0.2 3

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程,即可获得随时间的推移离单位距离 大小的变化快满,从而即可获得问题的解答. 解答: 解:由题意可知:由于怕迟到,所以一开始就跑步, 所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快.而等跑累了再走余下的路程, 则说明离单位的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢. 所以适合的图象为:D 故选 D. 点评: 本题考查的是分段函数的图象判断问题.在解答的过程当中充分体现了应用问题的 特点,考查了对变化率知识的应用能力.值得同学们体会反思

6. (5 分)已知 sin(α﹣

)= ,且 α 为锐角,则 cosα=()

A.﹣

B. ﹣

C.

D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 先由 α 为锐角,得到 α﹣ 的范围,再求 cos( ) ,再由 α=( )+ ,

运用两角和差的余弦公式,即可得到. 解答: 解:由于 sin(α﹣ 则﹣ < < )= )+ )cos . ] )sin , = , )= ,且 α 为锐角,

即 cos( 则 cosα=cos[( =cos( =

﹣sin(

( ﹣ )=

故选 C. 点评: 本题考查三角函数的求值,考查同角公式的平方关系,两角和差的余弦公式,考查 运算能力和角的变换能力,属于中档题和 易错题. 7. (5 分)已知在 R 上处处可导的函数 f(x)满足, (x﹣2)f′(x)<0,且 f(1)=f(5) , 则不等式 f(2x﹣1)>f(1)的解集是() A.(﹣∞,1) B.(1,3) C.(1,2)∪(2,3) D. (3,+∞) 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 需要分类讨论,当 x>2 时或 x<2 时,利用函数的单调性得到不等式,解得即可. 解答: 解:∵(x﹣2)f′(x)<0, 当 x>2 时,f′(x)<0,故函数 f(x)为减函数, ∵f(1)=f(5) ,不等式 f(2x﹣1)>f(1)=f(5) , ∴2x﹣1<5, 解得 2<x<3, 当 x<2 时,f′(x)>0,故函数 f(x)为增函数, ∵f(1)=f(5) ,不等式 f(2x﹣1)>f(1) , ∴2x﹣1>1, 解得 1<x<2, 综上所述:不等式 f(2x﹣1)>f(1)的解集是(1,2)∪(2,3) 点评: 本题主要考查了导数的应用,以及不等式的解法,属于基础题.

8. (5 分)将函数 y=sin(x﹣ 再向右平移 A.﹣

)的图象上的个点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 后,

个单位,所得到的函数图象的一条对称轴是() B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,可求得变换后的函数的解析式为 y=sin(2x ﹣ ) ,利用正弦函数的对称性即可求得答案. )的图象上的个点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的

解答: 解:将函数 y=sin(x﹣ 后可得函数 y=sin(2x﹣ 再向右平移 由 2x﹣ =

)的图象, )﹣ ]=sin(2x﹣ )的图象,

个单位,可得函数 y=sin[2(x﹣ +kπ,k∈Z 得:x=

+ kπ,k∈Z,

当 k=﹣1 时,x=

为函数图象的一条对称轴,

故选:B 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,求得变换后的函数的解析式是关键,考 查正弦函数的对称性的应用,属于中档题. 9. (5 分)已知函数 f (x)=ax +bsinx+4(a,b∈R) ,f(lg(log210) )=5,则 f(lg(lg2) )= () A.﹣5 B . ﹣1 C. 3 D.4 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 计算题;压轴题;方程思想;函数的性质及应用. 3 分析: 由题设条件可得出 lg(log210)与 lg(lg2)互为相反数,再引入 g(x)=ax +bsinx, 使得 f(x)=g(x)+4,利用奇函数的性质即可得到关于 f(lg(lg2) )的方程,解方程即可得 出它的值 解答: 解:∵lg(log210)+lg(lg2)=lg1=0, ∴lg(log210)与 lg(lg2)互为相反数 则设 lg(log210)=m,那么 lg(lg2)=﹣m 3 令 f(x)=g(x)+4,即 g(x)=ax +bsinx,此函数是一个奇函数,故 g(﹣m)=﹣g(m) , ∴f(m)=g(m)+4=5,g(m)=1 ∴f(﹣m)=g(﹣m)+4=﹣g(m)+4=3. 故选 C. 点评: 本题考查函数奇偶性的运用及求函数的值,解题的关键是观察验证出 lg(log210)与 lg(lg2)互为相反数,审题时找准处理条件的方向对准确快速做题很重要[来源:学#科#网]
3

10. (5 分)已知△ ABC 中,b=1,c= () A.﹣2 考点: 专题: 分析: BC=

,且

+

+

= (O 是此三角形外心) ,则

?

=

B . ﹣1

C. 1

D.2

平面 向量数量积的运算. 计算题;平面向量及应用. 由条件可得 O 为外心,且为 BC 的中点,则有△ ABC 为直角三角形,BC 为斜边,且 ,再由数量积的定义即可得到所求的值. + + = ,

解答: 解:由于 即有 + = ,

即 O 为 BC 的中点,又 O 是三角形 ABC 的外心, 则有△ ABC 为直角三角形,BC 为斜边,且 BC= , 则 = = ? × × =| |?| |?cos∠BAO

×cos∠ABC =1.

故选 C. 点评: 本题考查平面向量的数量积及运用,考查三角形的外心的性质,考查运算能力,属 于中档题. 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)如果 A={1,3,a},B={3,a },且 A∪B=A,那么实数 a=﹣1 或 0. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 2 2 分析: 由已知得 B?A,从而 a =1 或 a =a,由此能求出 a. 2 解答: 解:∵A={1,3,a},B={3,a },且 A∪B=A, ∴B?A, 2 2 ∴a =1 或 a =a, 2 当 a =1 时,a=﹣1 或 a=1(舍) , 2 当 a =a 时,a=0,或 a=1(舍) , ∴a=﹣1 或 a=0. 故答案为:﹣1 或 0. 点评: 本题考查实数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集性质的合理运用. 12. (5 分)方程 4 ﹣2
x x+1 2

﹣3=0 的解是 x=log23.

考点: 有理数指数幂的运算性质.

专题: 计算题. 分析: 根据指数幂的运算性质可将方程 4 ﹣2 ﹣3=0 变形为(2 ) ﹣2×2 ﹣3=0 然后将 2 x 看做整体解关于 2 的一元二次方程即可. x x+1 解答: 解:∵4 ﹣2 ﹣3=0 x 2 x ∴(2 ) ﹣2×2 ﹣3=0 x x ∴(2 ﹣3) (2 +1)=0 x ∵2 >0 x ∴2 ﹣3=0 ∴x=log23 故答案为 x=log23 点评: 本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程.解题的关键是要将
x x+1 x 2 x x x x+1 x 2 x x

方程 4 ﹣2 ﹣3=0 等价变形为 (2 ) ﹣2×2 ﹣3=0 然后将 2 看做整体再利用因式分解解关于 x 2 的一元二次方程. 13. (5 分)若△ ABC 的内角 A 满足 ,则 sinA+cosA= .

考点: 二倍角的正弦. 专题: 计算题. 分析: 根据 sin2A 的值确定 A 的范围,然后把已知条件两边都加上 1,利用同角三角函数间 的基本关系把等式右边的“1”变为 sin A+cos A,并利用二倍角的正弦函数公式把 sin2A 化简, 等式的左边就变成一个完全平方式,根据 A 的范围,开方即可得到 sinA+cosA 的值. 解答: 解: 因为 A 为三角形的内角且 ,所以 2A∈(0,180°) ,则 A∈(0,90°)
2 2 2 2

把已知条件的两边加 1 得:1+sin2A=1+ 即 1+2sinAcosA=sin A+2sinAcosA+cos A= (sinA+cosA) = 所以 sinA+cosA= 故答案为: 点评: 考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求 值.本题的突破点是“1”的变换,做题时应注意角度的范围. 14. (5 分)函数 f(x)= ﹣ 的值域是[﹣2,2]. =
2

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 ,得 1≤x≤5,由此能求出函数 f(x)= ﹣ 的值域.

解答: 解:由

,得 1≤x≤5, ﹣ 在[1,5]上是增函数,

∵函数 f(x)=

∴f(x)max=f(5)=2, f(x)min=f(1)=﹣2, ∴函数 f(x)= ﹣ 的值域是[﹣2,2].

故答案为:[﹣2,2]. 点评: 本题考查函数的值域的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数的单调性的 合理运用.

15. (5 分)定义函数 f(x)=

,则函数 g(x)=xf(x)﹣6 在区间

[1,2 ](n∈N )内的所有零点的和为

n

*



考点: 分段函数的应用;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)是分段函数,要分区间进行讨论,当 1≤x≤2,f(x)是二次函数,当 x>2 时,对应的函数很复杂,找出其中的规律,最后作和求出. 解答: 解:当 1≤x≤ 时,f(x)=8x﹣8, 所以 g(x)=8(x﹣ )2﹣8,此时当 x= 时,g(x)max=0; 当 <x≤2 时,f(x)=16﹣8x,所以 g(x)=﹣8(x﹣1) +2<0; 由此可得 1≤x≤2 时,g(x)max=0. n﹣1 n 下面考虑 2 ≤x≤2 且 n≥2 时,g(x)的最大值的情况. 当2
n﹣1 2

≤x≤3?2

n﹣2

时,由函数 f(x)的定义知 f(x)= f( )=…=

f(

) ,

因为 1≤ 所以 g(x)= 此时当 x=3?2 当 3?2
n﹣2

≤ , (x﹣2n﹣2)2﹣8, 时,g(x)max=0; (x﹣2n﹣1)2+8<0.

n﹣2 n

≤x≤2 时,同理可知,g(x)=﹣
n﹣1 n

由此可得 2 ≤x≤2 且 n≥2 时,g(x)max=0. * n﹣1 n 综上可得:对于一切的 n∈N ,函数 g(x)在区间[2 ,2 ]上有 1 个零点,

从而 g(x)在区间[1,2 ]上有 n 个零点,且这些零点为 xn=3?2 为 故答案为: . .

n

n﹣2

,因此,所有这些零点的和

点评: 本题主要考查了根的存在性及根的个数的判断的问题,是一道较复杂的问题,首先 它是分段函数,各区间上的函数又很复杂,挑战人的思维和耐心. 三、解答题(共 75 分) 16. (13 分)已知全集 U=R,A={x| <﹣1},非空集合 B={x|x ﹣3(a+1)x+2(3a+1)≤0}.
2

(1)当 a=2 时,求(?UA)∩B: (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 p 是 q 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;交、并、补集的混合运算. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)当 a=2 时,求出集合 B,根据集合的基本运算即可求(?UA)∩B: (2)根据命题充分条件和必要条件的定义和关系,即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)A={x|
2

<﹣1}={x|

+1=
2

<0}={x|1<x<4},

当 a=2 时,B={x|x ﹣3(a+1)x+2(3a+1)≤0}={x|x ﹣9x+14≤0}={x|2≤x≤7}. 则?UA={x|x≥4 或 x≤1}, 则(?UA)∩B={x|4≤x≤7}. (2)∵p 是 q 的必要条件,[来源:学。科。网 Z。X。X。K] ∴B?A, 由 B={x|x ﹣3(a+1)x+2(3a+1)≤0}={x|(x﹣2)[x﹣(3a+1)]≤0}. ①若 3a+1≥2,即 a ,此时 B={x|2≤x≤3a+1}
2

∵A={x|1<x<4},B?A, ∴此时满足 3a+1<4,即 ②若 3a+1<2,即 a , ,此时 B={x|3a+1≤x≤2}

∵A={x|1<x<4},B?A, ∴此时满足 3a+1≥1,即 0≤a< , 综上 0≤a<1, 即实数 a 的取值范围 0≤a<1. 点评: 本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用,利用不等式的性质 是解决本题的关键.

17. (13 分)已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,x) , ⊥ (1)求|2 +3 |;

(2)若单位向量 与向量 2 ﹣ 平行,求向量 的坐标.

考点: 平面向量数量积的运算;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)由向量垂直的条件即 =0,求得 x=1.再由向量的平方即为模的平方,即可

得到结果; (2)由单位向量的定义和向量共线的知识,列方程,解出即可得到答案. 解答: 解: (1)由于平面向量 =(1,2) , =(﹣2,x) , ⊥ , 则 =0,即有﹣2+2x=0,即 x=1. , = = ;

则| |=| |=

则有|2 +3 |= =

(2)由于单位向量 与向量 2 ﹣ 平行, 则设向量 的坐标为(x,y) , 又 2 ﹣ =(2,4)﹣(﹣2,1)=(4,3) , 即有 3x=4y,又 x +y =1, 解得 x= ,y= 或 x=﹣ ,y=﹣ . 故向量 的坐标为( , ) ,或(﹣ ,﹣ ) . 点评: 本题考查平面向量及运用,考查向量垂直和平行的条件,以及数量积的性质:向量 的平方即为模的平方,考查运算能力,属于中档题. 18. (13 分)已知函数 f(x)=2cos x+2 sinxcosx﹣1(x∈R) (1)求函数 f(x)的周期及单调递减区间; (2)若|x|≤ ,求函数 f(x)的值域.
2 2 2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先把函数 f(x)变换成:f(x)=2 小正周期,利用整体思想求出函数的单调区间. (2)先由|x| ,进一步确定 ,最后确定函 数的值域. ,利用公式求出函数的最

解答: 解: (1)函数 f(x)=2cos x+2 则:T= 令 解得: 函数的单调递减区间为:x∈ (2)由(1)得:f(x)= 由于|x| 进一步求出: 所以 ,

2

sinxcosx﹣1=

=2



(k∈Z) , (k∈Z) , (k∈Z)

故答案为: (1)T=π 函数的单调递减区间为:x∈

(k∈Z)

(2) 点评: 本题考查的知识点:三角函数式的恒等变换,正弦型函数的最小正周期及单调区间 的求法,根据函数的定义域确定函数的值域.

19 . (12 分)已知角 A,B,C 是锐角△ ABC 的三个内角,若向量 =(cosA+sinA,2﹣2sinA) , =(cosA﹣sinA,1+sinA) ,且 ⊥ [来源:Z+xx+k.Com] (1)求角 A; (2)求函数 y=2sin B+cos(C﹣ A)的值域.
2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)首先利用向量垂直的充要条件,通过三角函数的恒等变换求出 A 的大小. (2)对函数关系是进行恒等变换,根据(1)求得的 A= 进一步对函数关系式进行化简,变

形成二次型复合函数,进一步利用复合函数的单调性求的结果. 解答: 解: (1)∵ ∴ , ,

∵向量 =(cosA+sinA,2﹣2sinA) , =(cosA﹣sinA,1+sinA) ,

(cosA+sinA)?(cosA﹣sinA)+(2﹣2sinA)?(1+sinA)=0, cos2A=﹣ , 已知角 A,B,C 是锐角△ ABC 的三个内角,则:0<A、B、C<90°, 0<2A<180°, 2A= , ; ,
2

解得:A=

(2)由(1)解得的 A=
2

则:函数 y=2sin B+cos(C﹣ A)=2sin B+sinB= 由于 0<B<90°, 所以 0<sinB<1, sinB∈(0,1)上单调递增函数, y 故答案为: (1)A= (2)y , , .



点评: 本题考查的知识点:向量的数量积,向量垂直的充要条件,三角函数的恒等变换, 复合函数的值域的解法. 20. (12 分)已知△ ABC 的外接圆的半径为 3,且 cos(A﹣B)cosB﹣sin(A﹣B)sin(A+C) = ; (1)求角 A;[来源:学§科§网 Z§X§X§K] (2)求△ ABC 面积的最大值,并判断此时△ ABC 的形状. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式左边变形后,利用两角和与差的余弦函数公式化简求出 cosA 的值, 即可确定出 A 的度数; (2)由正弦定理列出关系式,把 R 与 sinA 的值代入求出 a 的值,利用余弦定理列出关系式, 把 cosA 的值代入利用基本不等式求出 bc 的最大值, 确定出三角形面积的最大值, 以及此时三 角形的形状. 解答: 解: (1)∵△ABC 中,cos(A﹣B)cosB﹣sin(A﹣B)sin(A+C)=cos(A﹣B)cosB ﹣sin(A﹣B)sinB=cos(A﹣B+B)=cosA= , ∴A=60°; (2)由正弦定理 =2R 得:a =2RsinA=6× =3 ,

由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣bc≥2bc﹣bc=bc,即 bc≤27,当且仅当 b=c 时取等 号, ∴S△ ABC= bcsinA≤ ×27× 则△ ABC 面积的最大值为 = , ,此时△ ABC 为等边三角形.

2

2

2

2

2

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的 关键. 21. (12 分)巳知函数 f(x)= ax ﹣bx﹣1nx,其中 a,b∈R. (Ⅰ)当 a=3,b=﹣1 时,求函数 f(x)的最小值;[来源:学.科.网 Z.X.X.K] (Ⅱ)若曲线 y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为 2x﹣3y﹣e=0(e=2.71828…为自然对 数的底数) ,求 a,b 的值; (Ⅲ)当 a>0,且 a 为常数时,若函数 h(x)=x[f(x)+1nx]对任意的 x1>x2≥4,总有 >﹣1 成立,试用 a 表示出 b 的取值范围.[来源:学&科&网]
2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 a=3,b=﹣1 时, 质能求出当 x= 时,函数 f(x)取得极小值即最小值 (Ⅱ)由 ,得 f′(e)= ,b= . 在 x∈[4,+∞)上单调递增.2b≤ 时,
2

= = .

,利用导数性

,由曲线 y=f(x)在点(e,f(e) )

处的切线方程为 2x﹣3y﹣e=0,能求出 (Ⅲ)由题意知函数 h(x)= 由此利用分类讨论思想能求出当

, .

.当



解答: 解: (Ⅰ)当 a=3,b=﹣1 时,f(x)=x +x﹣lnx, (x>0) . = 令 f′(x)>0,解得 ∴函数 f(x)在区间 = ;令 f′(x)<0,解得 上单调递减,在区间 , .[来源:学科网 ZXXK] 上单调递增.

因此当 x= 时,函数 f(x)取得极小值即最小值,

最小值为 (Ⅱ)

=

= ,∴f′(e)=

. ,

∵曲线 y=f(x)在点(e,f(e) )处的切线方程为 2x﹣3y﹣e=0,



,解得





,b= .

(Ⅲ)由函数 h(x)=x[g(x)+1]对任意的 x1>x2≥4, 总有 >﹣1 成立, 在 x∈[4,+∞)上单调递增.

∴函数 h(x)=
2

∴h′(x)=ax ﹣2bx+1≥0 在[4,+∞)上恒成立. ∴ ∴2b≤ =ax+ 在[4,+∞)上恒成立, , ,x∈[4,+∞) . (a>0) .

x∈[4,+∞) .令 u(x)=



=

.令 u′(x)=0,解得



∴u(x)在 (i)当 在 ∴u(x)min= (ii)当 ∴ 综上可得:当 时,即 时,即

上单调递减,在 时,u(x)在

上单调递增. 上单调递减,

上单调递增. = ,∴ ,即 .

,函数 u(x)在[4,+∞)上单调递增, . .当 , .

,即 时,

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了分类讨论的思想方法, 考查了推理能力和计算能力,属于难题.


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