kl800.com省心范文网

高中数学解题基本方法——待定系数法


三、待定系数法 要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数 的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 f(x){ EMBED Equation.2 | ? g(x)的充要条件是:对于一个任意的 a 值,都有 f(a)g(a);或者两个多项 式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具 有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个 问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式, 如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求 复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定 系数法求解。 使用待定系数法,它解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析: ①利用对应系数相等列方程; ②由恒等的概念用数值代入法列方程; ③利用定义本身的属性列方程; ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式, 其中含有待定的系数; 再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组; 最后解所 得的方程或方程组求出未知的系数, 并把求出的系数代入已经明确的方程形式, 得到所求圆 锥曲线的方程。 Ⅰ、再现性题组: 1. 设 f(x)=+m,f(x)的反函数 f(x)=nx-5,那么 m、n 的值依次为_____。 A. , -2 B. - , 2 C. , 2 D. - ,-2 2. 二次不等式 ax+bx+2>0 的解集是(-,),则 a+b 的值是_____。 A. 10 B. -10 C. 14 D. -14 3. 在(1-x)(1+x)的展开式中,x 的系数是_____。 A. -297 B.-252 C. 297 D. 207 4. 函数 y=a-bcos3x (b<0)的最大值为,最小值为-,则 y=-4asin3bx 的最小正周 期是_____。 5. 与直线 L:2x+3y+5=0 平行且过点 A(1,-4)的直线 L’的方程是_______________。 6. 与双曲线 x-=1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。 【简解】1 小题:由 f(x)=+m 求出 f(x)=2x-2m,比较系数易求,选 C; 2 小题:由不等式解集(-,),可知-、是方程 ax+bx+2=0 的两根,代入两根,列出 关于系数 a、b 的方程组,易求得 a+b,选 D; 3 小题:分析 x 的系数由 C 与(-1)C 两项组成,相加后得 x 的系数,选 D; 4 小题:由已知最大值和最小值列出 a、b 的方程组求出 a、b 的值,再代入求得答案; 5 小题: 设直线 L’方程 2x+3y+c=0, A(1,-4)代入求得 C=10, 点 即得 2x+3y+10=0; 6 小题:设双曲线方程 x-=λ ,点(2,2)代入求得λ =3,即得方程-=1。 Ⅱ、示范性题组: 例1. 已知函数 y=的最大值为 7,最小值为-1,求此函数式。

【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数 m、n 的值;已知最大值、最小值实际 是就是已知函数的值域, 对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到 “判别式法” 。 【解】 函数式变形为: (y-m)x-4x+(y-n)=0, x∈R, 由已知得 y-m≠0 ∴ △=(-4)-4(y-m)(y-n)≥0 即: y-(m+n)y+(mn-12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7),则-1、7 是方程 y-(m+n)y+(mn-12)=0 的两根, 代入两根得: 解得:或 ∴ y=或者 y= 此题也可由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,即 y-6y-7≤0,然后与不等式①比较系 数而得:,解出 m、n 而求得函数式 y。 【注】 在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域 问题,得到了含参数 m、n 的关于 y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数 m、n。 两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出 m、n 的方程求解;二是由已知解集写 出不等式,比较含参数的不等式而列出 m、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的 解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”:将 y 视为参数,函数式化成含 参数 y 的关于 x 的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数 y 的不等式,解 出 y 的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。 例 2. 设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴 较近的端点距离是-,求椭圆的方程。 【分析】求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据 a、b、c 之值,问题就全部解决了。 设 a、b、c 后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立 y B’ 一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为 a-c x 的值后列出第二个方程。 【解】 设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c,则|BF’| A F O’ F’ A’ =a ∴ 解得: B ∴ 所求椭圆方程是:+=1 也可有垂直关系推证出等腰 Rt△BB’F’后,由其性质 推证出等腰 Rt△B’O’F’,再进行如下列式: ,更容 易求出 a、b 的值。 【注】 圆锥曲线中,参数(a、b、c、e、p)的确定,是待定系数法的生动体现;如何 确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式。在曲线的平移中,几何数据(a、b、c、e)不 变,本题就利用了这一特征,列出关于 a-c 的等式。 一般地, 解析几何中求曲线方程的问题, 大部分用待定系数法, 基本步骤是: 设方程 (或 几何数据)→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。 例 3. 是否存在常数 a、b、c,使得等式 1·2+2·3+?+n(n+1)=(an+bn+c)对一 切自然数 n 都成立?并证明你的结论。 (89 年全国高考题) 【分析】 是否存在, 不妨假设存在。 由已知等式对一切自然数 n 都成立, 取特殊值 n=1、 2、3 列出关于 a、b、c 的方程组,解方程组求出 a、b、c 的值,再用数学归纳法证明等式 对所有自然数 n 都成立。 【解】假设存在 a、b、c 使得等式成立,令:n=1,得 4=(a+b+c);n=2,得 22= (4a+2b+c);n=3,得 70=9a+3b+c。整理得: ,解得, 于是对 n=1、2、3,等式 1·2+2·3+?+n(n+1)=(3n+11n+10)成立,下面用数 学归纳法证明对任意自然数 n,该等式都成立:

假设对 n=k 时等式成立,即 1·2+2·3+?+k(k+1)=(3k+11k+10); 当 n=k+1 时, 2+2· 1· 3+?+k(k+1)+(k+1)(k+2)=(3k+11k+10) +(k+1)(k +2)=(k+2) (3k+5) +(k+1)(k+2)= (3k+5k+12k+24) =[3(k+1)+11(k+1)+10], 也就是说,等式对 n=k+1 也成立。 综上所述,当 a=8、b=11、c=10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立。 【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中,也体 现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最 后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列 1+2+?+n、1+2+?+n 求和的公 式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解:由 n(n+1)=n+2n+n 得 S= 1· 2+2· 3+?+n(n+1)=(1+2+?+n)+2(1+2+?+n)+(1+2+?+n)=+2×+= (3n+11n+10), 综上所述,当 a=8、b=11、c=10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立。 例 4. 有矩形的铁皮,其长为 30cm,宽为 14cm,要从四角上剪掉边长为 xcm 的四个小正 方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问 x 为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积 是多少? 【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标 函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。 【解】 依题意,矩形盒子底边边长为(30-2x)cm,底边宽为(14-2x)cm,高为 xcm。 ∴ 盒子容积 V=(30-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x , 显然:15-x>0,7-x>0,x>0。 设 V=(15a-ax)(7b-bx)x (a>0,b>0) 要使用均值不等式,则 解得:a=, b= , x=3 。 从而 V=(-)(-x)x≤()=×27=576。 所以当 x=3 时,矩形盒子的容积最大,最大容积是 576cm。 【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用 “待定系数法”求。本题解答中也可以令 V=(15a-ax)(7-x)bx 或 (15-x)(7a-ax)bx, 再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组, 求出三项该进行凑配的系数, 本题也体现了 “凑配法”和“函数思想”。 Ⅲ、巩固性题组: 1. 函数 y=logx 的 x∈[2,+∞)上恒有|y|>1,则 a 的取值范围是_____。 A. 2>a>且 a≠1 B. 0<a<或 1<a<2 C. 1<a<2 D. a>2 或 0<a< 2. 方程 x+px+q=0 与 x+qx+p=0 只有一个公共根, 则其余两个不同根之和为_____。 A. 1 B. -1 C. p+q D. 无法确定 3. 如果函数 y=sin2x+a·cos2x 的图像关于直线 x=-对称,那么 a=_____。 A. B. - C. 1 D. -1 4. 满足 C+1·C+2·C+?+n·C<500 的最大正整数是_____。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 无穷等比数列{a}的前 n 项和为 S=a- , 则所有项的和等于_____。 A. - B. 1 C. D.与 a 有关 6. (1+kx)=b+bx+bx+?+bx,若 b+b+b+?+b=-1,则 k=______。 7. 经过两直线 11x-3y-9=0 与 12x+y-19=0 的交点,且过点(3,-2)的直线方程为 _____________。

8. 正三棱锥底面边长为 2,侧棱和底面所成角为 60°,过底面一边作截面,使其与底 面成 30°角,则截面面积为______________。 9. 设 y=f(x)是一次函数,已知 f(8)=15,且 f(2)、f(5)、(f14)成等比数列,求 f(1) +f(2)+?+f(m)的值。 10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2),对称轴与 x 轴平行,开口向右,直线 y=2x +7 和抛物线截得的线段长是 4, 求抛物线的方程。


赞助商链接

2013高考理科数学解题方法攻略—待定系数法

2013高考理科数学解题方法攻略—待定系数法_数学_高中教育_教育专区。每天发布最...使用待定系数法,它解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析...

2014高考数学必考点解题方法秘籍 待定系数法 理

2014高考数学必考点解题方法秘籍 待定系数法 理_数学_高中教育_教育专区。2014 ...使用待定系数法,它解题基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析...

方法3待定系数法(精品测试)-2018年高考理科数学二轮复...

方法3待定系数法(精品测试)-2018年高考理科数学二轮复习解题方法精讲精练精测 - 方法三 总分 ___ 时间 ___ (一)选择题(12*5=60 分) 待定...

数学解题中的通性通法

数学解题中的通性通法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数学解题中的通性通...判断一个问题是否用待定 系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定...

2015届高考数学二轮解题方法篇:专题3_解题策略_第1讲

2015届高考数学二轮解题方法篇:专题3_解题策略_第1讲_数学_高中教育_教育专区。...数学基本方法 称之为“待定系数法”.待定系数法的实质是方程思想,这个 方法是...

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程...

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的...( 3,-2). 思路分析:应用待定系数法求椭圆的标准...求与椭圆有关的轨迹方程常用两种方法:(1)定义法,...

高中数学 第二章 圆锥曲线 2.1 椭圆复习学案 新人教A版...

高中数学 第二章 圆锥曲线 2.1 椭圆复习学案 新...待定系数法:除了直接根据定义外,常用待定系数法(先...(A>0,B>0 且 A≠B),这种形式在解题中更简便....

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方...

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线...能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准...结合双曲线定义解题. 【自主解答】 因为 ON 是△P...

圆锥曲线解题技巧

高中数学圆锥曲线解题技巧 下面这部分试题围绕着圆锥曲线的基本知识, 在与方程的待定系数法相结合 的过程中,复合有其他平面几何图形的知识。或是说,题目的设计技巧...