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高中数学解题基本方法——定义法


四、定义法 所谓定义法,就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由 定义和公理推演出来。 定义是揭示概念内涵的逻辑方法, 它通过指出概念所反映的事物的本 质属性来明确概念。 定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。 简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲 让我们回到定义中去。 Ⅰ、再现性题组: 1. 已知集合 A 中有 2 个元素,集合 B 中有 7 个元素,A∪B 的元素个数为 n,则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7 2. 设 MP、OM、AT 分别是 46°角的正弦线、余弦线和正切线,则_____。 A. MP<OM<AT B. OM<MP<AT C. AT<<OM<MP D. OM<AT<MP 3. 复数 z 1 =a+2i,z 2 =-2+i,如果|z 1 |< |z 2 |,则实数 a 的取值范围是_____。 A. -1<a<1 4. 椭圆
x
2

B. a>1
y
2

C. a>0

D. a<-1 或 a>1
5 2



=1 上有一点 P, 它到左准线的距离为

,那么 P 点到右焦点的距离为

25

9

_____。 A. 8 C. 7.5 C.
75 4

D. 3
T 2

5. 奇函数 f(x)的最小正周期为 T,则 f(- A. T B. 0 C.
T 2

)的值为_____。

D. 不能确定

6. 正三棱台的侧棱与底面成 45°角,则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1 小题:利用并集定义,选 B; 2 小题:利用三角函数线定义,作出图形,选 B; 3 小题:利用复数模的定义得 a 2 ? 2 2 < 5 ,选 A;
| P F左 | 5 2
4 5

4 小题:利用椭圆的第二定义得到

=e=

,选 A;

5 小题:利用周期函数、奇函数的定义得到 f(- 6 小题:利用线面角、面面角的定义,答案 2。 Ⅱ、示范性题组: 例 1. 已知 z=1+i,
z
2 2

T 2

)=f(

T 2

)=-f(-

T 2

),选 B;

① 设 w=z 2 +3 z -4,求 w 的三角形式;

② 如果

? az ? b ? z ?1

=1-i,求实数 a、b 的值。(94 年全国理)

z

【分析】代入 z 进行运算化简后,运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】由 z=1+i,有 w=z 2 +3 z -4=(1+i) 2 +3 (1 ? i ) -4=2i+3(1-i)-4= -1-i,w 的三角形式是 2 (cos
z
2 2

5? 4

+isin
2

5? 4

);
( a ? b ) ? ( a ? 2 )i i

由 z=1+i,有

? az ? b ? z ?1



(1 ? i ) ? a (1 ? i ) ? b (1 ? i ) ? (1 ? i ) ? 1
2



=(a+2)-

z

(a+b)i。 由题设条件知:(a+2)-(a+b)i=1+i; 根据复数相等的定义,得: ?
?a ? ?1 ?b ? 2
?a ? 2 ? 1 ?? (a ? b) ? ?1



解得 ?



【注】求复数的三角形式,一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定 义,由实部、虚部分别相等而建立方程组,这是复数中经常遇到的。 例 2. 已知 f(x)=-x n +cx,f(2)=-14,f(4)=-252,求 y=log
2 2

f(x)的定义域,

3

判定在(

2 2

,1)上的单调性。

【分析】要判断函数的单调性,必须首先确定 n 与 c 的值求出函数的解析式,再利用函 数的单调性定义判断。
? f (2) ? ?2 ? 2c ? ?14 ? 【解】 ? n ? f (4) ? ?4 ? 4c ? ?252 ?
n

解得: ?

?n ? 4 ?c ? 1

∴ f(x)=-x 4 +x 解 f(x)>0 得:0<x<1
3



2 2

<x

1

<x

2

<1 ,

则 f(x

1

) - f(x

2

)=-x

4

1

+x

1

- ( -x

4

2

+x

2



=(x 1 -x 2 )[1-(x 1 +x 2 )( x 1 2 +x 2 2 )],
3

∵ x 1 +x 2 > 3 2 , x 1 2 +x 2 2 >

4 2
3

3

∴ (x 1 +x 2 )( x 1 2 +x 2 2 )〉 3 2 ?

4 2

=1

∴ f(x 1 )-f(x 2 )>0 即 f(x)在(
2 2

2 2

,1)上是减函数
3



<1

∴ y=log

2 2

f(x) 在(

2 2

,1)上是增函数。

【注】关于函数的性质:奇偶性、单调性、周期性 A’ A 的判断,一般都是直接应用定义解题。本题还在求 n、 D c 的过程中,运用了待定系数法和换元法。 C’ C 例 3. 如图,已知 A’B’C’—ABC 是正三棱柱,D 是 O H AC 中点。 B’ B ① 证明:AB’∥平面 DBC’; ② 假设 AB’⊥BC’, 求二面角 D—BC’—C 的度数。 (94 年全国理) 【分析】 由线面平行的定义来证①问,即通过证 AB’平行平面 DBC’内的一条直线而得; 由二面角的平面角的定义作出平面角,通过解三角形而求②问。 【解】 ① 连接 B’C 交 BC’于 O, 连接 OD ∵ A’B’C’—ABC 是正三棱柱 ∴ 四边形 B’BCC’是矩形 ∴ O 是 B’C 中点 △AB’C 中, D 是 AC 中点 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面 DBC’ ② 作 DH⊥BC 于 H,连接 OH ∴ DH⊥平面 BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH 为所求二面角的平面角。 设 AC=1,作 OE⊥BC 于 E,则 DH=
3 16

1 2

sin60°=

3 4

,BH=

3 4

,EH=

1 4



Rt△BOH 中,OH 2 =BH?EH=
3 4





OH=

=DH

∴∠DOH=45°,即二面角 D—BC’—C 的度数为 45°。

【注】对于二面角 D—BC’—C 的平面角,容易误认为∠DOC 即所求。利用二面角的平面 角定义,两边垂直于棱,抓住平面角的作法,先作垂直于一面的垂线 DH,再证得垂直于棱 的垂线 DO,最后连接两个垂足 OH,则∠DOH 即为所求,其依据是三垂线定理。本题还要求 解三角形十分熟练,在 Rt△BOH 中运用射影定理求 OH 的长是计算的关键。 此题文科考生的第二问为:假设 AB’⊥BC’,BC=2,求 AB’在侧面 BB’C’C 的 射影长。解 答中抓住斜线在平面上的射影的定义,先作平面的垂线,连接垂足和斜足而得到射影。其解 法如下: AE⊥BC 于 E, 作 连接 B’E 即所求, 易得到 OE∥B’B, 所以
EF BF 1 3



OE B' B



1 2

, EF=

1 3

B’E。

在 Rt△B’BE 中, 易得到 BF⊥BE,由射影定理得: B’E?EF=BE 2 即 例 4. 求过定点 M(1,2),以 x 轴为准线,离心率为
1 2

B’E 2 =1, 所以 B’E= 3 。 y M F A x

的椭圆的

下顶点的轨迹方程。 【分析】运动的椭圆过定点 M,准线固定为 x 轴,所以 M 到准 线距离为 2。抓住圆锥曲线的统一性定义,可以得到 的定义建立一个方程。
| AF| 2



1 2

建立一个方程,再由离心率

【解】设 A(x,y)、F(x,m),由 M(1,2),则椭圆上定点 M 到准线距离为 2,下顶点 A 到准 线距离为 y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义,得到:
1 ? 2 2 ? ( x ? 1) ? ( m ? 2 ) ? 2 ? 2 ? ? m ? y 1 ? ? ? y 2 ?

(y ?

4 ) 3 )
2

2

,消 m 得:(x-1) 2 +
(

2 3

=1,

(y ?

4 ) 3 )
2

2

所以椭圆下顶点的轨迹方程为(x-1) +
2

2 ( 3

=1。

【注】求曲线的轨迹方程,按照求曲线轨迹方程的步骤,设曲线上动点所满足的条件, 根据条件列出动点所满足的关系式,进行化简即可得到。本题还引入了一个参数 m,列出的 是所满足的方程组,消去参数 m 就得到了动点坐标所满足的方程,即所求曲线的轨迹方程。 在建立方程组时, 巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。 一般地, 圆锥曲线的点、 焦点、准线、离心率等问题,常用定义法解决;求圆锥曲线的方程,也总是利用圆锥曲线的 定义求解,但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。 Ⅲ、巩固性题组: 1. 函数 y=f(x)=a x +k 的图像过点(1,7),它的反函数的图像过点(4,0),则 f(x)的 表达式是___。 2. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点,若 A、B 在抛物线准线上的射影 分别为 A 1 、B 1 ,则∠A 1 FB 1 等于_____。 A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知 A={0,1},B={x|x ? A},则下列关系正确的是_____。 A. A ? B B. A ? B C. A∈B D. A ? B 4. 双曲线 3x 2 -y 2 =3 的渐近线方程是_____。 A. y=±3x B. y=± 1 x
3

C. y=±

3

x

D. y=±

3 3

x

5. 已知定义在 R 上的非零函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y), f(x)是_____。 则 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数 6. 7. 8.
n C 3 8 ? n +C 3 1? n =________。 3n 2

Z=4(sin140°-icos140°), 则复数

1 z
2

的辐角主值是__________。

不等式 ax 2 +bx+c>0 的解集是(1,2), 则不等式 bx 2 +cx+a<0 解集

是__________。 9.
1 n

已知数列{a n }是等差数列, 求证数列{b n }也是等差数列, 其中 b n =

(a 1 +a 2 +…+a n )。

10. 已知 F 1 、F 2 是椭圆 x 2 +
a

2

y b

2 2

=1 (a>b>0)的两个焦点,其中 F 2 与抛物线 y 2 =

7 12x 的焦点重合,M 是两曲线的一个焦点,且有 cos∠M F 1 F 2 ?cos∠MF 2 F 1 = 23 ,求椭圆方

程。


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