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广东省中山一中等七校联合体2017届高三上学期第二次联考数学(理)试题Word版含答案.doc


七校联合体 2017 届高三第二次联考试卷 数学科目
命题学校:中山一中 命题人: 审题人: 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、 选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题

给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、设集合 A ? ?0,1 ? ,集合 B ? ?x | x ? a? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? 1 B. a ? 1
x

C. a ? 0

D. a ? 0 )

2、 命题: “ ?x0 ? 0 ,使 2 0 ? x0 ? a ? ? 0 ” ,这个命题的否定是( A. ?x ? 0 ,使 2x ( x ? a) ? 1 C. ?x ? 0 ,使 2x ( x ? a) ? 1 B. ?x ? 0 ,使 2x ( x ? a) ? 1 D. ?x ? 0 ,使 2x ( x ? a) ? 1

3、已知 ? a ? i ??1 ? bi ? ? 2i (其中 a , b 均为实数, i 为虚数单位), 则 a ? bi 等于( A. 2 B. 2 C. 1



D. 1 或 2

4、设公差不为零的等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 2(a2 ? a3 ) ,则

S7 等于( S4
D. 14 )



A.

7 4
x 2

B.

14 5

C. 7

5、若函数 f ( x) ? 2 ? a x ? 2a 的零点在区间 (0,1) 上,则 a 的取值范围是( A. (??, )

1 2

B. (??,1)

C. ( , ??)

1 2

D. (1, ??)

6、函数 y ? cos 2 x 的图像向右平移 ? ( 0 ? ? ? 像重合,则 ? ? ( A. ) B.

? ? )个单位后,与函数 y ? sin(2 x ? ) 的图 2 6
? 3
5? 12


?
12

? 6

C.

D.

7、等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 的首项都是 1 , 公差公比都是 2 ,则 ba1 ba3 ba5 ? ( A. 64 B. 32 C. 256 D. 4096 )

8、由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, y ? 3 所围成的平面图形的面积为(

A.

32 9

B. 2 ? ln 3

C. 4 ? ln 3

D. 4 ? ln 3

9、 已知 P 是 ? ABC 所在平面内一点, 现将一粒黄豆随机撒在 ? ABC PB + PC +2 PA ? 0 , 内,则黄豆落在 ? PBC 内的概率是: ( A. ) C.

??? ?

??? ?

??? ?

?

1 4

B.

1 3

1 2

D.

2 3

10、把 A, B, C , D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具, 且 A, B 两件玩 具不能分给同一个人,则不同的分法有( A. 36 种 11、若 x ? (0, B. 30 种 ) C. 24 种 D.18 种 )

?

), y ? (0, ), 且 tan 2 x=3 tan(x ? y) ,则 x ? y 的可能取值 是( .... 2 2
B.

?

A.

? 12

? 4

C.

? 3

D.

7? 12

12、已知点 P 为函数 f ( x) ? ln x 的图象上任意一点,点 Q 为圆 [ x ? (e ? )] ? y ? 1 上任
2 2

1 e

意一点,则线段 PQ 的长度的最小值为( )

e ? e2 ?1 A. e

2e 2 ? 1 ? e B. e

e2 ? 1 ? e C. e

D. e ?

1 ?1 e

第Ⅱ卷 (非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。. 13、

?

2

0

( 4 ? x2 ? x)dx 的值等于

.

?x ? 0 ? 14、已知实数 x, y 满足 ? y ? 0 ,若目标函数 z ? x ? y 的最大值为 a ,最小值为 ?x ? 2 y ? 2 ?
b ,则 a ? b ?


15、如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1 ,则 AC ? DB ? ______.

???? ??? ?

16、 已知函数 f ( x) ? x x2 ? a , 若存在 x ??1,2? , 使得 f ( x) ? 2 , 则实数 a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本题满分为 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? ? ? ( 0 ? ? ? (1)求 ? 的值; (2)若 f ?? ? ? f ? ?? ? ?

?
2

) ,且 f ?

?? ? ? ? 2. ?3?

8 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,求 5 ? 2?

?? ? f ? 2? ? ? . 6? ?

18、 (本题满分为 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项之积为 Tn ,且 log 2 Tn ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
* * (2)设 bn ? ? an ? 1 n ? N ,数列 ?bn ? 的前 n 项之和为 Sn .若对任意的 n ? N ,总有

n ? n ? 1? , n ? N* . 2

?

?

Sn?1 ? Sn ,求实数 ? 的取值范围.

19、 (本题满分为 12 分)

AB ? BC ? 2 ,过 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, E , F 分别是 AD, DD 1 的中点,

A1、C1、B 三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体 ABCD ? A1C1 D1 ,且这个几何体的体积为
(1)求证: EF //平面 A 1 BC1 ; (2)求 A 1 A 的长; (3)在线段 BC1 上是否存在点 P ,使直线 A 1 P 与 C1 D 垂直,如果存在,求线段 A 1 P 的长, D1 C1 如果不存在,请说明理由. A1

40 . 3

F

D E A B

C

20、 (本题满分为 12 分) 如图, 某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD , 其中 BMN 是半径为 1 百米 的扇形, ?ABC ? 2π .管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路:在弧 MN 上选一点 P (异 3 于 M , N 两点) ,过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ .问:点 P 选择在何处时,才能使得修
? 与 PQ 及 QD 的总长最小?并说明理由. 建的小路 MP

A P

D Q

M

B

N (第 20 题)

C

21、 (本题满分为 12 分)
2 2 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ln x ? ax ? 2 .

?

?

(1)当 a ? ?1 时,求 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ,且函数 g ? x ? 有且仅有一个零点,若

?

?

e?2 ? x ? e , g ? x ? ? m ,求 m 的取值范围.

请考生在 22 题,23 题,二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22、 (本小题满分 10 分)修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 1 :?

? x ? a ? a cos ? ( ? 为参数,实数 a ? 0 ) , 曲线 C 2 : ? y ? a sin ?

? x ? b cos ? ( ? 为参数,实数 b ? 0 ) .在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐 ? ? y ? b ? b sin ?
标系中, 射线 l : ? ? ? ( ? ? 0, 0 ? ? ?

π 当 ) 与 C 1 交于 O、A 两点,与 C 2 交于 O、B 两点. 2

? ? 0 时, | OA |? 1 ;当 ? ?
(1)求 a, b 的值;

π 时, | OB |? 2 . 2

(2)求 2 | OA | ? | OA | ? | OB | 的最大值.
2

23、 (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ?2 | x ? 1| 的最大值为 k . (1)求 k 的值; (2)若 a, b, c ? R ,

a2 ? c2 ? b 2 ? k ,求 b(a ? c) 的最大值. 2

七校联合体 2017 届高三第二次联考数学试卷参考答案 一、 1 B 二、 13、 2 B 3 B 选择题 4 C 填空题 5 C 6 C 7 D 8 D 9 C 10 B 11 A 12 C

? ?2

14、

1

15、

?

3 2

16、

(? 1, 5 )

三、 解答题 17、解: (1)∵ f ? ∵0 ?? ?

?? ? ?? ? ?? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 ∴ sin ? ? ? ? ? 1 ?3? ?3 ? ?3 ?

?
2



?
3

?

?
3

?? ?

5? 6



?
3

?? ?

?
2

解得: ? ?

?
6

………4 分

(2)由(1)知: ? ?

?
6

∴ f ? x ? ? 2sin ? x ?

? ?

??
? 6?

∵f

?? ? ? f ? ?? ? ? 2sin ? ?? ?
?

??
?
6

?? ?? ?? ? ? ? ? ? 2sin ? ?? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 6? 6? 6? 6? ? ? ?
? 2cos ? sin
? 2 cos ? ?

? 2sin ? cos
? 4 cos ? sin

?

? ?? ? ? ? 2sin ? cos ? 2cos ? sin ? 6 ? 6 6?
∴ cos ? ?
2

?
6

8 5

4 …………8 分 5

3 ?4? ? ?? 2 ∵ ? ? ? 0, ? ∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? ……………………10 分 5 ?5? ? 2?
∴ f ? 2? ?

? ?

??

? ?? 3 4 48 ? …12 分 ? ? 2sin ? 2? ? ? ? ? 2sin 2? ? 4sin ? cos ? ? 4 ? ? ? 6? 6 6? 5 5 25 ?
n? n ?1? n ? n ? 1? , n ? N * ,得 Tn ? 2 2 , 2

18、解: (Ⅰ)由 log 2 Tn ? 所以 Tn ?1 ? 2
? n ?1?? n ? 2 ?
2

? n ? N , n ? 2? ,
*

n? n ?1?

T 2 2 所以 an ? n ? ? n ?1?? n ? 2? ? 2 Tn ?1 2 2
又 a1 ? T1 ? 2 ? 1 ,所以
0

n? n ?1? 2

?

? n ?1?? n ? 2 ?
2

? 2n ?1 , n ? N * , n ? 2 .

an ? 2n?1 , n ? N * ????????????????????????6 分
(Ⅱ)由 bn ? ?an ?1 ? ? 2n?1 ?1 ,得 Sn ? ? ? 所以 S n ?1 ? S n ? 2

1 ? 2n ? n ? ? 2n ? 1? ? ? n , 1? 2
1 . 2n

?

n ?1

? 1? ? ? ? n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? ? n ? 2n ? ? 1 ? ? ?

因为对任意的 n ? N ,
*

1 1 ? ,故所求的 l 取值范围是 2n 2

?1 ? ? , ?? ? .?????????????12 分 ?2 ?
19、 解: (1) 在长方体 ABCD ? A 可知 AB ? D1C1 , AB ? D1C1 , 则四边形 ABC1D1 1B 1C1 D 1 中, 是平行四边形,所以 AD1 ? BC1 。因为 E , F 分别是 AD, DD1 的中点,所以 AD1 ? EF ,则

EF ? BC1 ,又 EF ? 面 A1BC1 , BC1 ? 面 A1BC1 ,则 EF //平面 A1BC1 。???4 分

(2)?VABCD? A1C1D1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? VB? A1B1C1

1 1 10 40 ? 2 ? 2 ? AA1 ? ? ? 2 ? 2 ? AA1 ? AA1 ? , ? AA1 ? 4 . ???8 分 3 2 3 3
(3)在平面 CC1 D1 D 中作 D1Q ? C1 D 交 CC1 于 Q ,过 Q 作 QP // CB 交 BC1 于点 P ,则

A1 P ? C1 D .
因为 A1 D1 ? 平面CC1 D1 D, C1 D ? 平面CC1 D1 D,?C1 D ? A1 D1 ,而

QP // CB, CB // A1 D1 ,?QP // A1 D1 ,
又? A 1D 1 ?D 1Q ? D 1 ,? C1 D ? 平面A 1 PQC1 , 且A 1 P ? 平面A 1 PQC1 ,? A 1 P ? C1 D .

? ?D1C1Q ∽ Rt ?C1CD,?

C1Q D1C1 1 1 ? ,? C1Q ? 1, 又 ? PQ // BC,? PQ ? BC ? . CD C1C 4 2

1 29 .?12 分 ?四边形A1 PQD1 为直角梯形,且高 D1Q ? 5,? A1 P ? (2 ? )2 ? 5 ? 2 2

20、解:连接 BP , 过 P 作 PP 1 ? BC 垂足为 P 1 , 过 Q 作 QQ 1 ? BC 垂足为 Q 1

? ? 2π ? ? 设 ?PBP 0 ? ? ? 2π , MP 1 ?? 3 3

?

?

若 0 ? ? ? ? ,在 Rt ?PBP 1 中, PP 1 ? sin ?,BP 1 ? cos ? 2 若 ? ? ? , 则 PP 1 ? sin ?,BP 1 ? cos ? 2 若 ? ? ? ? 2? , 则 PP 1 ? sin? , BP 1 ? cos(? ? ? ) ? ? cos? , 2 3

? PQ ? 2 ? cos? ? 3 sin ? 3

………………4 分

在 Rt ?QBQ1 中, QQ1 ? PP CQ1 ? 3 sin ?,CQ ? 2 3 sin ? 1 ? sin ?, 3 3

DQ ? 2 ? 2 3 sin ? 3
所以总路径长

…………………6 分

f (? ) ? 2? ? ? ? 4 ? cos? ? 3 sin? (0 ? ? ? 2? ), 3 3 f ' (? ) ? sin? ? 3 cos? ? 1 ? 2 sin(? ? ? ) ? 1 3

……………………8 分 ………………10 分

令 f ' ?? ? ? 0 , ? ?

π 2

当 0 ? ? ? π 时, f ' ?? ? ? 0 2 当 π ? ? ? 2π 时, f ' ?? ? ? 0 2 3 所以当 ? ? …………………………11 分

π 时,总路径最短. 2
……12 分
2 2

答:当 BP ? BC 时,总路径最短.

21 、解:(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x ? 2 x)ln x ? x ? 2 ,定义域为 ? 0, ?? ? ,

f ?( x) ? ? 2x ? 2? ln x ? ? x ? 2? ? 2x. ………3 分
? f ?(1) ? ?3 ,又 f (1) ? 1, f ( x) 在 1, f ?1? 处的切线方程 3x ? y ? 4 ? 0. ………4 分
2 2 ( 2 )令 g ? x? ? f ? x? ? x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 x ln x ? ax ? 2 ? x ? 2, 即 a ?

?

?

?

?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , x

令 h( x ) ?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , ……………6 分 x
1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? ? . …………………7 分 x2 x x2 x2

则 h?( x) ? ?

令 t ( x) ? 1 ? x ? 2 ln x , t ?( x) ? ?1 ? 函数,又?t ?1? ? h? ?1? ? 0

2 ?x ? 2 ? ,? t ?( x ) ? 0 , t ( x ) 在 (0, ??) 上是减 x x



所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 ,

所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,

?h ? x ?max ? h(1) ? 1
a ? 1 ..…
……9 分

因为 a ? 0 , 所以当函数 g ? x ? 有且仅有一个零点时,

?2 2 2 当 a ? 1 , g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? x ,若 e ? x ? e , g( x ) ?m , 只需证明 g ( x)max ? m,

?

?

…………………10 分

g?( x) ? ? x ?1??3 ? 2ln x ? 令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e 2 ,又? e ?2 ? x ? e , ,
? 函数 g ( x) 在 (e , e ) 上单调递增,在 (e ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增,又
3 ? 1 ?3 g (e ) ? ? e ? 2e 2 2 ? 3 2
?2 ? 3 2 ? 3 2

?

3



g (e) ? 2e 2 ? 3e,

3 3 3 ? ? ? 1 ?3 3 2 2 2 g ( e ) ? ? e ? 2 e ? 2 e ? 2e ? 2e(e ? ) ? g (e). ? 2 2

即 g (e

?

3 2

) ? g (e) , g ( x) max ? g (e) ? 2e 2 ? 3e, ? m ? 2e 2 ? 3e. ………12 分
2

2 2 22、解:(1) C1 的普通方程为: ? x ? a ? ? y ? a ,其极坐标方程为 ? ? 2a cos ? ,

由题可得当 ? ? 0 时, OA ? ? ? 1 ,? a ?
2

1 , ………(2 分) 2

C2 的普通方程为: x 2 ? ? y ? b ? ? b 2 ,其极坐标方程为 ? ? 2b sin ? ,
由题可得当 ? ?

?
2

时, OB ? ? ? 2 ,? b ? 1 . ……(5 分)

(2)由(1)可得 C1 , C 2 的方程分别为 ? ? cos ? , ? ? 2sin ? ,

?? 2 ? 2 ?? ? ?? ? ?? ? 2 cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2? ? 1 ? 2 sin ? 2? ? ? ? 1 4? ? ? ? ? 5? ? ?? ? ? 2? ? ? ? , ? ,? 2 sin ? 2? ? ? ? 1 的最大值为 2 ? 1 , 4 ?4 4 ? 4? ?
当 2? ?

?
4

?

?
2

,? ?

?
8

时取到. (……10 分)

?? x ? 3 , ( x ? 1) ? 23、解: (1) 由于 f ( x ) ? ? ?3 x ? 1, ( ?1 ? x ? 1) , ? x ? 3 , ( x ? ?1) ?
所以 k ? f ( x)max ? f (?1) ? 2 . (……5 分)

a2 ? c2 ? b 2 ? 2 ,有 (a 2 ? b2 ) ? (b2 ? c 2 ) ? 4 , (2) 由已知 2
2 2 2 2 因为 a ? b ? 2ab (当 a ? b 取等号) , b ? c ? 2bc (当 b ? c 取等号) ,

所以 (a 2 ? b2 ) ? (b2 ? c 2 ) ? 4 ? 2(ab ? bc) ,即 ab ? bc ? 2 , 故 ?b(a ? c)?max ? 2 (……10 分)


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