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高一数学下学期等差数列的性质课件


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1.判断题: ①数列a,2a,3a,4a,…是等差数列。( ) ②数列3,3,3,3,…是等差数列。( ) ③若an-an+1=3 (n∈N*),则{an}是公差为3的等 差数列。( ) ? ④若a2-a1=a3-a2, 则数列{an}是等差数列 ( )
1、等差数列要求从第 项起,后一项与 、 从第2项起 项起, 不能颠倒。 前一项作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。 同一个常数。 、

可以是整数,也可以是0和负数。 可以是整数,也可以是0和负数。

d = an ? an?1(n ≥ 2)或d = an+1 ? an 是证明或判断一个数列是等差数列的依据。 (d是常数)

2: 在等差数列{an}中 , 已知a6=12 ,a18=36 ,求首项a1 , 公差 d 及通项an 。 分析: 此题已知a6=12 ,n=6 ;a18=36 , n=18分别代入通项, 公式an = a1+(n-1)d 中 ,可得两个方程,都含a1与d两个未知 数组成方程组,可解出a1与d 。 *********** *********** 解: 由题意可得 a1+5d=12 ﹛ a1+17d=36 (1) (2) ∴ d=2 a1 =2

∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n

此题解法是利用数学的函数与方程思想, 此题解法是利用数学的函数与方程思想,函数 与方程思想是数学几个重要思想方法之一,也是高 与方程思想是数学几个重要思想方法之一, 考必考的思想方法,应熟悉并掌握。 考必考的思想方法,应熟悉并掌握。

等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 , an , a1 , n ,d 这四个变量 , 知道其中三个 量就可以求余下的一个 量 。

3 某市出租车的计价标准为1.2元/千米,起步价为10 某市出租车的计价标准为1.2元 千米,起步价为10 即最初的4千米(不含4千米)计费10元 元,即最初的4千米(不含4千米)计费10元。如果某 人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地 千米处的目的地, 人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地,且一路 畅通,等候时间为0 需要支付多少车费? 畅通,等候时间为0,需要支付多少车费? 解: 根据题意,当该市的出租车的行程大于或等a 根据题意,当该市的出租车的行程大于或等a 千米时,每增加1千米,乘客需要支付1.2元 于4千米时,每增加1千米,乘客需要支付1.2元。所 来计算车费。 以,我们可以建立一个等差数列 {an} {a 来计算车费。 令 a1 =11.2 表示4千米处的车费,公差d=1.2,那 ,表示4千米处的车费,公差d=1.2, 当出租车行至14千米处时 n=11,此时需要支付 千米处时, 么,当出租车行至14千米处时,n=11,此时需要支付 车费

a11 =11.2 + (11?1) ×1.2 = 23.2(元)
答:需要支付车费23.2元。 需要支付车费23.2元

4 已知数列 {an} 的通项公式为 an = pn + q 其中 , p,q为常数 p,q为常数,且 为常数, , p ≠ 0 那么这个数列一定是等差 数列吗? 数列吗? 分析:判断{an} 是不是等差数列, 分析: 是不是等差数列,可以利用等差数 列的定义, 是不是一个与n 列的定义,也就 是看 an ? an?1(n > 1) 是不是一个与n 无关的常数

a 解:取数列 {an} 中的任意相邻两项 an与 n?1(n > 1) {a
求差得

an ? an?1 = ( pn + q) ?[ p(n ?1) + q] = pn + q ? ( pn ? p + q)

=p

它是一个与n无关的数, 它是一个与n无关的数,所以{an}是等差数列

等差中项
观察如下的两个数之间, 观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等差数列: 为一个等差数列: (1)2 , ) 3 , 4 (2)-1,2 ) , (4)0, 0 ) , ,5 ,0

(3)-12, -6 ,0 ) ,

如果在a与 中间插入一个数 中间插入一个数A, 成等差数列, 如果在 与b中间插入一个数 ,使a,A,b成等差数列, , , 成等差数列 那么A叫做 叫做a与 的等差中项 的等差中项。 那么 叫做 与b的等差中项。

a +b A= 2

a +c ;2b = a + c; 若a,b, c成等差数列,那么b = 2 b ? a = c ? b; a ? b = b ? c都是等价的。

1 在等差数列 an} { 中是否有an+1 = (an + 2 an+2 ) ? 1 在数列 an} { 中有an+1 = (an + an+2 ) 2 (n为任意的正整数), 那么 an}一定 {
是等差数列吗?

1 用递推关系an+1 = (an + an+2 )给出的数列 2 也是等差数列。

等差数列的性质1 等差数列的性质
1. {an}为等差数列 ? 为等差数列 ? an= a1+(n-1) d an+1- an=d ? an+1=an+d 为常数) 、 为常数 ? an= kn + b (k、b为常数) b为a、c 的等差中项 为 、 的等差中项AA

2. a、b、c成等差数列 ? 、 、 成等差数列 ?
a+c b= 2

?

2b= a+c

【说明】 说明】 3.更一般的情形,an= 更一般的情形, 更一般的情形

an ? am am+(n - m) d ,d= n?m am+an=ap+aq 4.在等差数列 n}中,由 m+n=p+q 在等差数列{a 中 在等差数列
的项, 成立吗? 上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项,如a1+a2=a3 成立吗?

等差数列的性质: 等差数列的性质: 1.任意两项间的关系:an=am+(n-m)d 1.任意两项间的关系: +(n任意两项间的关系 2.三项间的关系:当m+n=2k,m,n,k∈N*时,am+an=2ak; 2.三项间的关系: m+n=2k,m,n,k∈ 三项间的关系 3.四项间的关系:当m+n=p+q,m,n,p,q ∈N*时, 3.四项间的关系: 四项间的关系 am+an=ap+aq

{ 数列 an}是等差数列,m, n, p, q ∈ N+ ,且m + n = p + q,
求证:am + an = ap + aq .
证明:设{an}的首项是a1,公差是d,

则am = a1 + (m ?1)d,

an = a1 + (n ?1)d,
aq = a1 + (q ?1)d,

ap = a1 + ( p ?1)d,

∴am + an = 2a1 + (m + n ? 2)d,
ap + aq = 2a1 + ( p + q ? 2)d, Qm + n = p + q,∴am + an = ap + aq.

例题分析
在等差数列{a 中 例2 .在等差数列 n}中 在等差数列 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20 ,
分析: 分析:由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12

及 a6+a9+a12+a15=20,可得 1+a20=10 ,可得a (2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8 ) , 分析: 分析: a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,又已知 a3+a11=10, ,
3 ∴ a6+a7+a8= (a3+a11)=15 2


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