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2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第1章1.3.2三角函数的图象与性质(三)


1.3.2(三)

1.3.2
【学习要求】

三角函数的图象与性质(三)

1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质.
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2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 【学法指导】 学习正切函数的性质与图象时, 应类比正弦函数和余弦函数 π 的研究方法,抓住正切函数的图象具有渐近线(x=kπ+ , 2 k∈Z)这一明显特征,准确地整体把握正切函数的图象,结 合图象记忆正切函数的有关性质(定义域、值域、周期、奇 偶性、单调性、对称性等).

填一填·知识要点、记下疑难点

1.3.2(三)

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函数 y=tan x 的性质与图象见下表: y=tan x

图象

定义域

π {x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z} 2

填一填·知识要点、记下疑难点

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值域 周期
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R 最小正周期为 π

奇偶性 在开区间

奇函数
? π π? ?kπ- ,kπ+ ? 2 2? ?

(k∈Z)

单调性

内递增

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探究点一
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正切函数的图象

阅读下文,了解正切函数图象的几何作法. 类 比 正 弦 函 数 图 象 的 作 法 , 作 正 切 函 数 y = tan x , ? π π? x∈?-2,2 ?图象的步骤: ? ? (1)建立平面直角坐标系,在 x 轴的负半轴上任取一点 O1, 以 O1 为圆心作单位圆. (2)把单位圆中的右半圆平均分成 8 份,并作出相应终边的 正切线.

1.3.2(三) 研一研·问题探究、课堂更高效 ? π π? (3)在 x 轴上,把?-2,2 ?这一段分成 8 等份,依次确定单位 ? ?

圆上 7 个分点在 x 轴上的位置. (4)把角 x 的 正切线 向右平移,使它的起点与 x 轴上的点
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x 重合. (5)用光滑的曲线把正切线的终点连结起来, 就得到 y=tan x, ? π π? x∈?-2,2 ?的图象,如图所示. ? ?

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现在我们作出了正切函数一个周期上的图象,根据正切函 数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 π y=tan x(x∈R,且 x≠ +kπ(k∈Z))的图象,我们把它叫 2

本 课 做“ 正切 曲线 ”(如下图所示),它是由被无数条直线 π 时 栏 x=kπ+2(k∈Z) 隔开的无数条曲线组成的. 目 开 关

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探究点二 正切函数的性质

1.3.2(三)

由正切函数的图象可得:
? ? π ? ? (1)正切函数的定义域:?x|x∈R且x≠kπ+2,k∈Z?. ? ? ? ? ? π ? π (2)正切函数的值域:对于 x∈?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z), ? ?

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π 当 x→- +kπ(k∈Z)时,tan x→-∞; 2 π 当 x→ +kπ(k∈Z)时,tan x→+∞. 2

所以 y=tan x 可以取任意实数值, 但没有最大值和最小值, 故正切函数的值域为 R, 也可以记作 (-∞,+∞) .直线 x =
π kπ+2,k∈Z

称为正切函数的渐近线.

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(3)正切函数的奇偶性: 从正切函数的图象来看,正切曲线关于 原点 对称;从诱导公
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式来看,tan(-x)= -tan x (4)正切函数的周期性:

.故正切函数是 奇 函数.

正切函数是周期函数,最小正周期是 π .据此可知函数 y= π tan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期是 ω , 根据函数图象可知 y =|tan x|的最小正周期是 π .

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(5)正切函数的单调性: 由正切函数的图象可知,正切函数在每一个开区间 ? π ? π ?- +kπ, +kπ?(k∈Z) 本 2 内都是增函数. 但是我们不能 ? 2 ?
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说正切函数在整个定义域上是增函数. (6)正切函数图象的对称性: 正切函数图象是中心对称图形,对称中心有无数多个,它们 ?kπ ? ? ,0?(k∈Z) 的坐标为 . ?2 ?

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[典型例题] 例 1 求函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域. ?tan x+1≥0 ? 解 由题意得? ,即-1≤tan x<1. ?1-tan x>0 ? ? π π? 在?-2,2?内,满足上述不等式的 x 的取值范围是 ? ?
? π π? ?- , ?.又 ? 4 4?

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y=tan x 的周期为 π,
(k∈Z).

所以所求 x

? π π? ?kπ- ,kπ+ ? 的范围是 4 4? ?

? π π? 即函数的定义域为?kπ-4,kπ+4? ? ?

(k∈Z).

小结

求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外

解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.

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跟踪训练 1 求下列函数的定义域: 1 (1)y= ;(2)y=lg( 3-tan x). 1+tan x 1 解 (1)要使函数 y= 有意义, 1+tan x ?1+tan x≠0, ? 只需? π (k∈Z). ?x≠2+kπ ? ∴函数的定义域为 ? ? π π ? ? ?x|x∈R,x≠kπ+ 且x≠kπ- ,k∈Z?. 2 4 ? ? ? ?
(2)由 3-tan x>0,得 tan x< 3. π π 根据正切函数图象,得-2+kπ<x<3+kπ (k∈Z), ? ? π π ? ? ?x|- +kπ<x< +kπ,k∈Z?. ∴函数的定义域是 2 3 ? ? ? ?

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例 2 求函数

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? 1 π? y=tan?-2x+4 ?的单调区间及最小正周期. ? ?

? 1 ?1 π? π? y=tan?-2x+4?=-tan?2x-4?, ? ? ? ?

π 1 π π 由 kπ- < x- <kπ+ (k∈Z), 2 2 4 2 π 3 得 2kπ- <x<2kπ+ π,k∈Z, 2 2 ? 1 π? ∴函数 y=tan?-2x+4?的单调递减区间是 ? ?
? π 3 ? ?2kπ- ,2kπ+ π?,k∈Z. 2 2 ? ?

周期 T=?

=2π. 1? ?- ? ? 2?

π

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y=tan(ωx+φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把 ωx+φ π π 看成一个整体, 解- +kπ<ωx+φ< +kπ, k∈Z 即可. ω<0 当 2 2 小结 时,先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调区间.

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π π π ∴- +kπ<2x- < +kπ,k∈Z. 2 3 2 π kπ 5π kπ 即- + <x< + ,k∈Z. 12 2 12 2

? π? 跟踪训练 2 求函数 y=tan?2x-3 ?的单调区间. ? ? ? π ? π 解 ∵y=tan x 在 x∈?-2+kπ,2+kπ? (k∈Z)上是增函数, ? ?

? π? ∴函数 y=tan?2x-3?的单调递增区间是 ? ? ? π kπ 5π kπ? ?- + , + ? (k∈Z). 2 12 2 ? ? 12

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例 3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小: ? 6 ? ? 13 ? (1)tan?-5π?与 tan?- 7 π?; ? ? ? ? (2)tan 2 与 tan 9. ? 6 ? ? ? π? π? 解 (1)∵tan?-5π?=tan?-π-5?=tan?-5?, ? ? ? ? ? ? ? 13 ? ? π? π ?- π?=tan?-2π+ ?=tan , tan 7 ? 7? 7 ? ? ? π π? 又函数 y=tan x 在?-2,2?上是增函数, ? ? π π π π 而- <- < < . 2 5 7 2
? π? ∴tan?-5?<tan ? ? ? 6 ? ? 13 ? π ,即 tan?-5π?<tan?- 7 π?. 7 ? ? ? ?

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π (2)∵tan 9=tan(9-2π),而 <2<9-2π<π. 2 ?π ? 由于函数 y=tan x 在?2,π?上是增函数, ? ?
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∴tan 2<tan(9-2π),即 tan 2<tan 9.
小结 比较两个函数值的大小,只需将所涉及的两个角

通过诱导公式转化到同一个单调区间内,再借助单调性 ? π ? π 即可.正切函数的单调递增区间为 ?-2+kπ,2+kπ? , ? ? ? π π? ?π 3π? k∈Z.故在?-2,2?和?2, 2 ?上都是增函数. ? ? ? ?

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跟踪训练 3 比较下列两组函数值的大小. (1)tan(-1 280° tan 1 680° )与 ;(2)tan 1,tan 2,tan 3.

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(1)∵tan(-1 280° )=tan(-4×360° +160° )

=tan(180° -20° )=tan(-20° ), tan 1 680° =tan(4×360° +240° )=tan(180° +60° )=tan 60° ,
? ? -90° ,90°上是增函数, 而函数 y=tan x 在 ? ? ? ?

∴tan(-20° )<tan 60° ,即 tan(-1 280° )<tan 1 680° . (2)∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π), π π 又∵ <2<π,∴- <2-π<0, 2 2 π π ∵ <3<π,∴- <3-π<0, 2 2

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π π 显然- <2-π<3-π<1< , 2 2 ? π π? 且 y=tan x 在?-2,2?内是增函数, ? ?
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∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1, 即 tan 2<tan 3<tan 1.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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k π 本 π {x|x∈R,x≠2π+8,k∈Z} 课 1.函数 y=3tan(2x+ )的定义域是_______________________. 4 时 栏 π 目 2.函数 f(x)=tan(x+4 )的单调递增区间为 3π π 开 (kπ- ,kπ+ ),k∈Z 关 ____________________________________. 4 4

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? π? 3.在下列函数中同时满足:①在?0,2 ?上递增;②以 ? ?

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2π 为周

③ 期;③是奇函数的是________(写出相应函数的序号).
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①y=tan x ②y=cos x x ③y=tan ④y=-tan x 2

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4. 函数

?kπ π ? ? ? - ,0? (k∈Z) π? 3 ? ?2 y=3tan?x+3 ?的对称中心的坐标是_______________. ? ?

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π kπ 解析 由 x+ = (k∈Z), 3 2 kπ π 得 x= - (k∈Z). 2 3 ?kπ π ? ∴对称中心坐标为? 2 -3,0? (k∈Z). ? ?

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1.3.2(三)

1.正切函数的图象 π 正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为 x=kπ+ ,k∈Z, 2 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增. 2.正切函数的性质 (1)正切函数 y=tan x
? ? π ? ? ?x|x≠kπ+ ,k∈Z?, 的定义域是? 值域是 2 ? ? ?

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R. (2)正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π, 函数 y=Atan(ωx+φ) π (Aω≠0)的周期为 T= . |ω| ? π ? π (3)正切函数在?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)上递增,不能写成闭区 ? ? 间.正切函数无单调减区间.


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