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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖南.理)含答案


2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

? 2i ? 1.复数 ? ? 等于( ? 1+i ?
A. 4i 2.不等式 B. ? 4i

2

) C. 2i ) D. ? 2i

x?2 ≤ 0 的解集是( x ?1

? 1) ? (?1, 2] A. (??,
A.充分不必要条件 C.充分必要条件

, 2] B. [?1

? 1) ? [2, ? ?) C. (??,

, 2] D. (?1


3.设 M ,N 是两个集合,则“ M ? N ? ? ”是“ M ? N ? ? ”的( B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

(a ? xb) 的图象是一条直线, 4. 设 a, b 是非零向量, 若函数 f ( x) ? ( xa ? b)? 则必有 (
A. a ⊥ b B. a ∥ b C. | a |?| b | D. | a |?| b |



1) ,已知 ? (?1.96) ? 0.025 ,则 P(| ? |? 1.96) = 5 .设随机变量 ? 服从标准正态分布 N (0,
( ) A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975

6 . 函 数 f ( x) ? ?

?4 x ? 4,

x ≤1,

2 ? x ? 4 x ? 3,x ? 1

的 图 象 和 函 数 g ( x) ? log 2 x的图象的交点个数是

( ) A.4 B.3 C.2 7.下列四个命题中,不正确 的是( ...

D.1 )
x→x0 x→x0

A.若函数 f ( x ) 在 x ? x0 处连续,则 lim? f ( x) ? lim? f ( x) B.函数 f ( x) ?

x?2 的不连续点是 x ? 2 和 x ? ?2 x2 ? 4
x→? x→? x→?

C.若函数 f ( x ) , g ( x) 满足 lim[ f ( x) ? g ( x)] ? 0 ,则 lim f ( x ) ? lim g ( x)

D. lim
x→1

x ?1 1 ? x ?1 2

8.棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, E,F 分别是棱

AA1 , DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为(



A.

2 2

B. 1

C. 1 ?

2 2

D. 2

9.设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 P, a 2 b2


使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是( A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

B. ? 0, ? ?

? ?

3? 3 ?

C. ?

? 2 ? , 1? ? 2 ? ?

D. ?

? 3 ? , 1? ? 3 ? ?

10.设集合 M ? {1 , 2, 3, 4, 5, 6} , S1,S2, ?,Sk 都是 M 的含两个元素的子集,且满足:对

, 2, 3, ?,k} ), 都 有 任 意 的 Si ? {ai,bi } , S j ? {a j,bj } ( i ? j , i、j ?{1

? ?a b ? ? a j bj ? ? min ? i ,i ? ? min ? , ? ( min{x,y} 表示两个数 x, y 中的较小者) ,则 k 的最大值 ? bj a j ? ? ? bi ai ? ?
是( A.10 ) B.11 C.12 D.13

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在横线上.

, 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是 11.圆心为 (11)



12.在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 , c ? 3 ,

C?

π ,则 B ? 3
3

. .

3] 上的最小值是 13.函数 f ( x) ? 12 x ? x 在区间 [?3,

14.设集合 A ? {( x,y) | y ≥| x ? 2 | ,x ≥ 0} , B ? {( x,y ) | y ≤ ? x ? b}, A ? B ? ? , (1) b 的取值范围是 ; .

(2)若 ( x,y) ? A ? B ,且 x ? 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是

15.将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图 1 所示的 0-1 三角数表.从上往下 数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,?,第 n 次全 行的数都为 1 的是第 行;第 61 行中 1 的个数是 . 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 ?? ???????????????

图1 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 17. (本小题满分 12 分) 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训, 以提高下岗人员的再就业能力, 每名下岗人 员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有 60%, 参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择 相互之间没有影响. (I)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (II)任选 3 名下岗人员,记 ? 为 3 人中参加过培训的人数,求 ? 的分布列和期望. 18. (本小题满分 12 分) 如图 2, E,F 分别是矩形 ABCD 的边 AB,CD 的中点,G 是 EF 上的一点,将 △GAB ,

△GCD 分别沿 AB,CD 翻折成 △G1 AB ,△G2CD ,并连结 G1G2 ,使得平面 G1 AB ⊥ 平
面 ABCD , G1G2 ∥ AD ,且 G1G2 ? AD .连结 BG2 ,如图 3.

A E B G 图2

D F C B

G1
A E

G2
D

C
图3

F

(I)证明:平面 G1 AB ⊥ 平面 G1 ADG2 ; (II)当 AB ? 12 , BC ? 25 , EG ? 8 时,求直线 BG2 和平面 G1 ADG2 所成的角. 19. (本小题满分 12 分) 如图 4,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点 P 和居民区 O 的公路,点 P 所在

2 ,点 P 到平 5 面 ? 的距离 PH ? 0.4 (km) .沿山脚原有一段笔直的公路 AB 可供利用.从点 O 到山脚修 a 路 的造价 为 a 万元 /km , 原有 公路改 建费用 为 万元 /km . 当 山坡上 公路长 度为 l km 2
? ? 的山坡面与山脚所在水平面 ? 所成的二面角为 ? ( 0 ? ? ? 90 ) ,且 sin ? ?

( 1 ≤ l ≤ 2 )时,其造价为 (l ? 1)a 万元.已知 OA ⊥ AB , PB ⊥ AB , AB ? 1.5(km) ,
2

OA ? 3(km) .
(I)在 AB 上求一点 D ,使沿折线 PDAO 修建公路的总造价最小; (II) 对于(I)中得到的点 D ,在 DA 上求一点 E ,使沿折线 PDEO 修建公路的总造价 最小. (III)在 AB 上是否存在两个不同的点 D ? , E ? ,使沿折线 PD?E ?O 修建公路的总造价小于 (II)中得到的最小总造价,证明你的结论.

A


E D B 20. (本小题满分 12 分)

P

H

已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F 1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于
2 2

A,B 两点. O 为坐标原点) (I)若动点 M 满足 F ,求点 M 的轨迹方程; 1M ? F 1A ? F 1B ? FO 1 (其中
(II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存 在,请说明理由. 21. (本小题满分 13 分) 已知 An (an,bn ) ( n ? N * )是曲线 y ? e 上的点, a1 ? a , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,
x

?????

???? ???? ????
??? ?

??? ?

2 2 n ? 2, 3, 4, 且满足 Sn ?. ? 3n2an ? Sn ?1 , an ? 0 ,

(I)证明:数列 ?

? bn ? 2 ? ? ( n ≤ 2 )是常数数列; ? bn ?

(II)确定 a 的取值集合 M ,使 a ? M 时,数列 {an } 是单调递增数列; (III)证明:当 a ? M 时,弦 An An?1 ( n ? N * )的斜率随 n 单调递增.

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D 9.D 10.B 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在横线上. 11. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

5π 6 13. ?16
12.

? ?) (2) 14. (1) [1,
15. 2 ? 1 ,32
n

9 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6 π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

π (k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) . 2 2 6
即 2 x0 ? kπ ? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 ? π? 1 3 sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ?? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 cos 2 x ? ? sin 2 x ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? ? ? ? 2 2? 2 ?? 2 2? 6? 2 ? ? ? ? ?

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2

故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

? ?

5π π? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) 12 12 ?

17.解:任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A , “该人参加过计算机培 训”为事件 B ,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . (I)解法一:任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是

P B) ? P( A)?P(B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1 1 ? P( A?
所以该人参加过培训的概率是 P 2 ? 1? P 1 ? 1 ? 0.1 ? 0.9 . 解法二:任选 1 名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是

P B) ? P( A?B) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.45 3 ? P( A?
该人参加过两项培训的概率是 P B) ? 0.6 ? 0.75 ? 0.45 . 4 ? P( A? 所以该人参加过培训的概率是 P 5 ?P 3?P 4 ? 0.45 ? 0.45 ? 0.9 . ( II )因为每个人的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 ? 服从二项分布
k 1, 2, 3 ,即 ? 的分布列是 B(3, 0.9), P(? ? k ) ? C3 ? 0.9k ? 0.13?k , k ? 0,

?
P

0 0.001

1 0.027

2 0. 243

3 0.729

? 的期望是 E? ? 1? 0.027 ? 2 ? 0.243 ? 3 ? 0.729 ? 2.7 .
(或 ? 的期望是 E? ? 3 ? 0.9 ? 2.7 ) 18.解:解法一: (I)因为平面 G1 AB ⊥ 平面 ABCD ,平面 G1 AB ? 平面 ABCD ? AB ,

AD ⊥ AB , AD ? 平面 ABCD ,所以 AD ⊥ 平面 G1 AB ,又 AD ? 平面 G1 ADG2 ,所以
平面 G1 AB ⊥ 平面 G1 ADG2 . (II)过点 B 作 BH ⊥ AG1 于点 H ,连结 G2 H . 由(I)的结论可知, BH ⊥ 平面 G1 ADG2 , 所以 ?BG2 H 是 BG2 和平面 G1 ADG2 所成的角. 因为平面 G1 AB ⊥ 平面 ABCD ,平面 G1 AB ? 平面 ABCD ? AB , G1E ⊥ AB ,

G1 H
B E

G2
D

A

O

C

F

G1E ? 平面 G1 AB ,所以 G1E ⊥平面 ABCD ,故 G1E ⊥ EF .

因 为 G1G2 ? AD , AD ? EF , 所 以 可 在 EF 上 取 一 点 O , 使 EO ? G1G2 , 又 因 为

G1G2 ∥ AD ∥ EO ,所以四边形 G1EOG2 是矩形.
由题设 AB ? 12 , BC ? 25 , EG ? 8 ,则 GF ? 17 .所以 G2O ? G1E ? 8 , G2 F ? 17 ,

OF ? 172 ? 82 ? 15 , G1G2 ? EO ? 10 .
因为 AD ⊥ 平面 G1 AB , G1G2 ∥ AD ,所以 G1G2 ⊥平面 G1 AB ,从而 G1G2 ⊥ G1B .
2 故 BG2 ? BE 2 ? EG12 ? G1G22 ? 62 ? 82 ?102 ? 200 , BG2 ? 10 2 .

又 AG1 ?

62 ? 82 ? 10 ,由 BH ?AG1 ? G1E?AB 得 BH ?

8 ? 12 48 ? . 10 5

故 sin ?BG2 H ?

BH 48 1 12 2 . ? ? ? BG2 5 10 2 25
12 2 . 25

即直线 BG2 与平面 G1 ADG2 所成的角是 arcsin

解法二: (I) 因为平面 G1 AB ⊥ 平面 ABCD , 平面 G1 AB ? 平面 ABCD ? AB , G1E ⊥ AB ,

B ⊥ A D 所以 G1E ⊥平面 ABCD , 从而 G1E ⊥ AD . 又A G1E ? 平面 G1 AB ,
平面 G1 AB .因为 AD ? 平面 G1 ADG2 ,所以平面 G1 AB ⊥ 平面 G1 ADG2 .

, 所以 AD ⊥

(II)由(I)可知, G1E ⊥平面 ABCD .故可以 E 为原点,分别以直线 EB,EF,EG1 为 , x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系(如图) 由题设 AB ? 12 , BC ? 25 , EG ? 8 ,则 EB ? 6 ,

z
G1
A B E

EF ? 25 , EG1 ? 8 ,相关各点的坐标分别是 A(?6, 0, 0) ,

G2
D y

D(?6, 25, 0) , G1 (0, 0, 0) . 0, 8) , B(6,

???? ? ???? 所以 AD ? (0, 0, 8) . 25, 0) , AG1 ? (6,
设 n ? ( x,y,z) 是平面 G1 ADG2 的一个法向量,

O

C

F

x

?

? ???? ? ? n ? ?AD ? 0, ?25 y ? 0, 由 ? ? ???? 得? 故可取 n ? (4, 0, ? 3) . ? 6 x ? 8 z ? 0 n ? AG ? 0 . ? ? ? 1
过点 G2 作 G2O ⊥平面 ABCD 于点 O ,因为 G2C ? G2 D ,所以 OC ? OD ,于是点 O 在 y 轴上.

因为 G1G2 ∥ AD ,所以 G1G2 ∥ EF , G2O ? G1E ? 8 . 设 G2 (0,m, ,由 172 ? 82 ? (25 ? m)2 ,解得 m ? 10 , 8) ( 0 ? m ? 25 ) 所以 BG2 ? (010 ,, 8) ? (6, 0, 0) ? (?610 ,, 8) . 设 BG2 和平面 G1 ADG2 所成的角是 ? ,则

???? ?

???? ?? BG2 ?n | ?24 ? 24 | 12 2 . sin ? ? ???? ? ? ? ? 25 BG2 ?n 62 ? 102 ? 82 ? 42 ? 32
故直线 BG2 与平面 G1 ADG2 所成的角是 arcsin

12 2 . 25

19.解: (I)如图, PH ⊥ ? , HB ? ? , PB ⊥ AB , 由三垂线定理逆定理知, AB ⊥ HB ,所以 ?PBH 是 山坡与 ? 所成二面角的平面角,则 ?PBH ? ? ,

PH PB ? ? 1. sin ?
设 BD ? x(km) , 0 ≤ x ≤ 1.5 .则

A

O

?
ED

P
H

B

2] . PD ? x2 ? PB2 ? x2 ? 1 ?[1,
记总造价为 f1 ( x) 万元, 据题设有 f1 ( x) ? ( PD ? 1 ?
2

1 1 11 AD ? AO)a ? ( x 2 ? x ? ? 3)a 2 2 4

1? ? ? 43 ? ? ? x ? ? a ?? ? 3?a 4? ? ? 16 ?
1 1 ,即 BD ? (km) 时,总造价 f1 ( x) 最小. 4 4 5 (II)设 AE ? y (km) , 0 ≤ y ≤ ,总造价为 f2 ( y) 万元,根据题设有 4
当x?

2

y? 43 ? 1?3 1 ? ?? f 2 ( y) ? ? PD2 ? 1 ? y 2 ? 3 ? ? ? ? y ?? a ? ? y 2 ? 3 ? ? a ? a . 2? 16 2? 2 4 ? ?? ?
则 f 2? ? y ? ? ?

?

1? ? ? a ,由 f 2? ( y ) ? 0 ,得 y ? 1 . ? y2 ? 3 2 ? ? ? y

1) 时, f 2? ( y ) ? 0 , f2 ( y) 在 (0, 1) 内是减函数; 当 y ? (0,
当 y ? ?1 , ? 时, f 2? ( y ) ? 0 , f2 ( y) 在 ?1, ? 内是增函数.

? 5? ? 4?

? 5? ? 4?

故当 y ? 1 ,即 AE ? 1 (km)时总造价 f2 ( y) 最小,且最小总造价为

(III)解法一:不存在这样的点 D ? , E ? . 事实上,在 AB 上任取不同的两点 D ? , E ? .为使总造价最小, E 显然不能位于 D ? 与 B 之 间.故可设 E ? 位于 D ? 与 A 之间,且 BD? = x1 (km) , AE? ? y1 (km) , 0 ≤ x1 ? y2 ≤
2 总造价为 S 万元,则 S ? ? x1 ?

67 a 万元. 16

3 , 2

? ?

x1 y 11 ? 、 ( II )讨论知, ? y12 ? 3 ? 1 ? ? a .类似于( I ) 2 2 4?

x1 y 1 3 1 ≥ ? , y12 ? 3 ? 1 ≥ ,当且仅当 x1 ? , y1 ? 1 同时成立时,上述两个不 2 16 2 2 4 1 67 a ,点 D ?,E ? 分 等式等号同时成立,此时 BD? ? (km) , AE ? 1(km) , S 取得最小值 4 16 别与点 D,E 重合, 所以不存在这样的点 D ?, E ? , 使沿折线 PD?E ?O 修建公路的总造价小 x12 ?
于(II)中得到的最小总造价. 解法二:同解法一得

x y 11 ? ? S ? ? x12 ? 1 ? y12 ? 3 ? 1 ? ? a 2 2 4? ?

1? 1 ? ? ? x1 ? ? a ? ?3 ? 4? 4? ?

2

?

y12 ? 3 ? y1 ?

? ?

43 y12 ? 3 ? y1 ? a ? a ? ? 16

?

1 43 ≥ ? 2 3( y12 ? 3 ? y1 )( y12 ? 3 ? y1 ) ? a ? a 4 16 67 ? a. 16 1 1 2 2 当且仅当 x1 ? 且 3( y1 ? 3 ? y1 )( y1 ? 3 ? y1 ) ,即 x1 ? ,y1 ? 1 同时成立时, S 取得 4 4 67 a ,以上同解法一. 最小值 16
20.解:由条件知 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . 解法一: (I)设 M ( x,y) ,则 则 F ,y) , F1 A ? ( x1 ? 2,y1 ) , 1M ? ( x ? 2

?????

????

???? ???? ????? ???? ???? ???? ,由 F1B ? ( x2 ? 2,y2 ), FO ? (2 , 0) F1M ? F1 A ? F1B ? FO 1 1 得
? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, 即? ? ? y1 ? y2 ? y ? y ? y1 ? y2
于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?4 y? , ?. ? 2 2?

y y y1 ? y2 y 2 ( x1 ? x2 ) . 当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? y2 ? ? ? x ?8 x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 2
2 2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, 0) ,也满足上述方程. 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 .

0) ,使 CA? (II)假设在 x 轴上存在定点 C (m, CB 为常数.
当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x2 ? y 2 ? 2 有 (1 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 2) ? 0 . 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

??? ? ??? ?

4k 2 4k 2 ? 2 x x ? , , 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1

于是 CA? CB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

??? ? ??? ?

? (k 2 ?1) x1x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m2
? (k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? 4k 2 ? m 2 2 2 k ?1 k ?1 2(1 ? 2m)k 2 ? 2 4 ? 4m ? m2 ? 2(1 ? 2m) ? 2 ? m2 . 2 k ?1 k ?1

?

CB 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1 ,此时 CA? CB = ?1 . 因为 CA?
当 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标可分别设为 (2,2) , (2, ? 2) , 此时 CA? CB ? (1 ,2)? (1 , ? 2) ? ?1.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

, 0) ,使 CA? CB 为常数. 故在 x 轴上存在定点 C (1
解法二: (I)同解法一的(I)有 ?

??? ? ??? ?

? x1 ? x2 ? x ? 4, ? y1 ? y2 ? y

当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x2 ? y 2 ? 2 有 (1 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 2) ? 0 . 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 . k 2 ?1

? 4k 2 ? 4k . y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? k ? ? 4? ? 2 k ? 1 k ? 1 ? ?
由①②③得 x ? 4 ?

4k 2 .???????????????????④ k 2 ?1

y?

4k .??????????????????????????⑤ k 2 ?1

当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得,

x?4 ? k ,将其代入⑤有 y

x?4 4 y ( x ? 4) y y? ? .整理得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . 2 ( x ? 4) ( x ? 4) 2 ? y 2 ?1 y2 4?
0) ,满足上述方程. 当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 (4, 0) ,也满足上述方程. 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8,
故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

0) ,使 CA? (II)假设在 x 轴上存在定点点 C (m, CB 为常数,
当 AB 不与 x 轴垂直时,由(I)有 x1 ? x2 ? 以上同解法一的(II) . 21.解: (I)当 n ≥ 2 时,由已知得 Sn ? Sn?1 ? 3n an .
2 2 2

??? ? ??? ?

4k 2 4k 2 ? 2 ? 1 x x ? , . 1 2 k2 k 2 ?1

因为 an ? Sn ? Sn?1 ? 0 ,所以 Sn ? Sn?1 ? 3n .
2

?? ① ??② ?? ③ ?? ④

于是 Sn?1 ? Sn ? 3(n ? 1) .
2

由②-①得 an?1 ? an ? 6n ? 3 . 于是 an?2 ? an?1 ? 6n ? 9 .

由④-③得 an? 2 ? an ? 6 , 所以

?? ⑤

?b ? bn? 2 ean?2 ? an ? ean?2 ?an ? e6 ,即数列 ? n? 2 ? (n ≥ 2) 是常数数列. bn e ? bn ?

(II)由①有 S2 ? S1 ? 12 ,所以 a2 ? 12 ? 2a .由③有 a3 ? a2 ? 15 , a4 ? a3 ? 21 ,所以

a3 ? 3 ? 2a , a4 ? 18 ? 2a .
而 ⑤表明:数列 {a2 k } 和 {a2 k ?1} 分别是以 a2 , a3 为首项,6 为公差的等差数列, 所以 a2k ? a2 ? 6(k ? 1) , a2k ?1 ? a3 ? 6(k ?1) , a2k ?2 ? a4 ? 6(k ? 1)(k ? N*) , 数列 {an } 是单调递增数列 ? a1 ? a2 且 a2k ? a2k ?1 ? a2k ?2 对任意的 k ? N * 成立.

? a1 ? a2 且 a2 ? 6(k ?1) ? a3 ? 6(k ?1) ? a4 ? 6(k ?1)
? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a ? 12 ? 2a ? 3 ? 2a ? 18 ? 2a ?
即所求 a 的取值集合是 M ? ?a

9 15 ?a? . 4 4

? 9 15 ? ? a ? ?. 4? ? 4 bn?1 ? bn ean?1 ? ean ? an?1 ? an an?1 ? an

(III)解法一:弦 An An?1 的斜率为 kn ?

e x ( x ? x0 ) ? (e x ? e x0 ) e x ? e x0 任取 x0 ,设函数 f ( x) ? ,则 f ( x) ? x ? x0 ( x ? x0 )2
记 g ( x) ? ex ( x ? x0 ) ? (ex ? e 0 ) ,则 g?( x) ? ex ( x ? x0 ) ? ex ? ex ? ex ( x ? x0 ) ,
x

当 x ? x0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x0, ? ?) 上为增函数, 当 x ? x0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??,x0 ) 上为减函数, 所以 x ? x0 时, g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 ,从而 f ?`( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (??,x0 ) 和 ( x0, ? ?) 上 都是增函数. 由(II)知, a ? M 时,数列 {an } 单调递增, 取 x0 ? an ,因为 an ? an?1 ? an?2 ,所以 kn ?

ean?1 ? ean ean?2 ? ean . ? an ?1 ? an an? 2 ? an ean?1 ? ean?2 ean ? ean?2 . ? an?1 ? an?2 an ? an? 2

取 x0 ? an? 2 ,因为 an ? an?1 ? an?2 ,所以 kn?1 ?

所以 kn ? kn?1 ,即弦 An An?1 (n ? N*) 的斜率随 n 单调递增. 解法二:设函数 f ( x) ? 增函数,

e x ? ean?1 ,同解法一得, f ( x ) 在 (??,an?1 ) 和 (an?1, ? ?) 上都是 x ? an ?1

ean ? ean?1 e x ? ean?1 ean?2 ? ean?1 e x ? ean?1 an?1 所以 kn ? ? lim ? e , kn?1 ? ? lim ? ean?1 . ? ? n → a n → a an ? an?1 an?2 ? an?1 n?1 x ? a n?1 x ? an ?1 n ?1
故 kn ? kn?1 ,即弦 An An?1 (n ? N*) 的斜率随 n 单调递增.


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