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2013年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)理科数学(修订版)

2013 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一) 数 学(理科) 命题:沈阳市第 31 中学 李曙光 沈阳市第 20 中学 何运亮 东北育才学校 牟 欣 沈阳铁路实验中学 倪生利 沈阳市第 11 中学 朱洪文 东北育才学校 刘新风 主审:沈阳市教育研究院 周善富 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的学校、 姓名、准考证号填写在答题卡和答题纸上. 2.回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A = {1,2,3},A∩B = {3},A∪B = {1,2,3,4},则集合 B 的子集的个数为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8 1+ai 是纯虚数,则实数 a 的值为 z (C) 1 2 (D) 1

2.已知复数 z = 1 + i (i 为虚数单位),且 (A) -1 1 (B) - 2

3.下列说法正确 的是 .. (A) 命题“? x ? R,e x > 0”的否定是“? x ? R,e x > 0” (B) 命题“已知 x、y ? R,若 x + y≠3,则 x≠2 或 y≠1”是真命题 (C)“x 2 + 2x≥ax 在 x ? [1,2] 上恒成立”?“(x 2 + 2x)min≥(ax)max 在 x ? [1,2] 上恒成立” (D) 命题“若 a = -1,则函数 f (x) = ax 2 + 2x-1 只有一个零点”的逆命题为真命题 4.在一个几何体的三视图中,主视图和俯视图都 是矩形,左视图为等腰三角形,各边的数据如图 所示,则该几何体的表面积为 (A) 3 (B) 14 (C) 6 + 6 2 (D) 8 + 6 2 1 3 主视图 1 1 俯视图 左视图

? x-y + 1≥0 ? 5.已知 x、y 满足线性约束条件:? 2x + y-2≥0 ,则目标函数 z = y-3x 的取值范围是 ? x-1 < 0 ?
1 (A) (-1,- ) 3 1 (B) (-3, ] 3 (C) (-3,-1) 1 (D) (-1, ] 3

6.等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn,且 S5 = S10,则 a8 =

(A) 1

(B) -1

(C) 2

(D) 0

7. 如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A) 1028 (B) 3584 (C) 3586 (D) 8194 8.圆 C 的圆心为双曲线 x 2-y 2 = 1 的一个顶点,且过该双 曲线的另外一个顶点,则圆 C 被该双曲线的一条渐近线截 得的弦长为 (A) (C) 2 14 2 (B) (D) 6 14

开始 i=0,S=0 否

i≤8 是 i=i+1 S = S+i· 2i

输出 S

结束

9.现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 命中的概率为

3 ;向乙靶射击两次,每次 4

2 .该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击, 该射手恰 3 29 36 7 36 1 3

好命中一次的概率为 (A) 5 36 (B) (C) (D)

10.对于函数 f (x) =

3 sin 2x + sin 2 x(x ? R)有以下三种说法: 2

① ( ,0) 是函数 f (x) 的图象的一个对称中心; 12 ② 函数 f (x) 的最小正周期是 2? ③ 函数 f (x) 在 [-

?

?
6

,

?
3

] 上单调递增.

其中说法正确 的个数是 .. (A) 0

(B)

(C) 2

(D) 3

11.三棱锥 A-BCD 的外接球为球 O,球 O 的直径是 AD,且 △ABC、△BCD 都是边长 为 1 的等边三角形,则三棱锥 A-BCD 的体积是 (A) 2 12 (B) 1 8 (C) 1 6 (D) 2 8

12. 已知 m、n 是正实数,且 n > m,若 P = (1 + m) n,Q = (1 + n) m,则 (A) P≥Q (B) P < Q (C) P > Q (D) P、Q 大小关系无法确定 第Ⅱ卷 (共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上.

13. 已知向量 a、b 满足 | a | = | b | = 1,且 a·b = 0,则 cos <2a + b,b> =

.

14. 已知 P1、P2、?、P2013 是抛物线 y 2 = 4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1、x2、?、 x2013,F 是抛物线的焦点,若 x1 + x2 + ? + x2013 = 10,则 | P1F | + | P2F | +? + | P2013F | = ___. 15. 已知数列 {an} 为等比数列,前 n 项和为 Sn,且 a52 = a10,3S1、2S2、S3 成等差数列, 则数列 {an} 的通项公式 an = ____________. 16. 第十二届全运会将在沈阳市举行. 若将 6 名志愿者每 2 人一组, 分派到 3 个不同的场馆, 且甲、乙两人必须同组,则不同的分配方案有_______种. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位 置. 17. (本小题满分 12 分) 在 △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 B = 角 A

?
12

,c = b (1 + cos A),求

18. (本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,DA = DC = 2,DD1 = 点 F 是 CE 的中点. (1) 求证:EA∥平面 BDF (2) 求二面角 D-EB-C 的大小. 3 ,点 E 是 C1D1 的中点, D1 E C1 B1 A1

F D 19. (本小题满分 12 分) A 某校高三有甲、乙两个数学学习小组,人员分布情况见下表 . 现在甲、乙两组之间采用分层抽样方法(组内采用简单随机抽 C B 样),从甲、乙两个小组中共抽取 3 名同学参加高中数学联赛. (1) 求从甲、乙两个数学学习小组中各抽取的人数; 数学小组 男同学 女同学 (2) 求从甲组中抽取的同学中至少有 1 名是女同学的概率; 6 4 甲组 (3) 记 X 表示抽取的 3 名同学中男同学的人数,求 X 的分 3 2 乙组 布列及数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 如图所示,已知椭圆 x2 y2 = 1 (a > b > 0)的左、右焦点 2 + a b2 F1

Q M O

y P

分别为 F1(-1,0)、 F2(-1,0), P 为椭圆上一点, Q 为上顶点, → → → → F1M = 2 MP , PO ·F1M = 0 F2 x

(1) 当椭圆离心率 e = 求证:∠AQB =

1 3 时,若直线过点 (0,- ),且与椭圆交于 A、B(不同于 Q)两点, 2 7

?
2

(2) 求椭圆离心率 e 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 设 f (x) = x 2 + 3b ln (2ax-ab-3)(a、b ? R) 2a

(1) 若 b = 1,a < 0,求 f (x) 的单调区间; 3 (2) 在 (1) 的条件下,证明:f (x) > - 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写 清题号. 22. (本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知四边形 ABCD 内接于 ⊙O,且 AB 是 ⊙O 的直径, B 过点 D 的 ⊙O 的切线与 BA 的延长线交于点 M. O (1) 若 MD = 6,MB = 12,求 AB 的长; (2) 若 AM = AD,求∠DCB 的大小. C 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程 为 ? = 2 (sin ?-cos ? ),直线的参数方程为:?
? x=2+t ? y = -1 + 2t

A

D

(t 为参数) .

(1) 写出圆 C 和直线的普通方程; (2) 点 P 为圆 C 上动点,求点 P 到直线的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x) = | x-2a | + | x-a |,a ? R,a≠0 (1) 当 a = 1 时,解不等式: f (x) > 2 (2) 若 b ? R 且 b≠0,证明:f (b)≥f (a),并求在等号成立时 b 的取值范围. a

2013 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一) 数学(理科)参考答案与评分参考 说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的内容 和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 一、 选择题 参考答案 5 5 1 C 2 A 3 B 4 D 5 B 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B 11 A 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 14. 2023 15. an = 3 n 16.18

三、解答题:本大题共 70 分. 17.解: 由正弦定理 b c = 及 c = b (1 + 2cos A) sin B sin C

可知 sin C = sin B· (1 + 2cos A) ???????????????3 分 又在 △ABC 中, A + B + C = ? ∴ sin C = sin (B + A) = sin Acos B + sin Bcos A, ?????????????6 分 ∴ sin Acos B-cos Asin B = sin B ∴ sin (A-B) = sin B ?????????????????????????9 分 即 A-B = B 或 A-B = ?-B(舍), ∴ A = 2B,又 B =

?
12

,所以 A =

?
6

. ???????????????????12 分

18.解: (1) (方法一) 连接 AC 交 BD 于 O 点,连接 OF,可得 OF 是 △ACE 的 中位线,所以 OF//AE, 又 AE ? 平面 BDF, OF ? 平面 BDF, 所以 EA//平面 BDF. ??????????????4 分 (方法二) 如图所示建立空间直角坐标系 D-xyz. 3 3 由已知得 D(0,0,0)、A(0,2,0)、B(2,2,0)、C(2,0,0)、E(1,0, 3 )、F( ,0, ), ?????2 分 2 2 3 3 → → → EA = (-1,2,- 3 ), DB = (2,2,0), DF = ( ,0, ) 2 2 → → → CB = (0,2,0), CE = (-1,0, 3 ), DE = (1,0, 3 ) 令 n1 = (x1,y1,z1)为平面 BDF 的一个法向量,则有

→ ? 2x1 + 2y1 = 0 ? n1· ? DB = 0 3 ? , ∴ ,令 z1 = ? 3 → x1 + z1 = 0 ? n1· ? DF = 0 2 ? 2

3 ,则 n1 = (-1,1, 3 ).

→ → 从而 EA · n1 = 1 + 2-3 = 0,又 EA 不在平面 BDF,所以 EA//平面 BDF.????4 分 (2)令 n2 = (x2,y2,z2)为平面 BCE 的一个法向量,则有 → ? n2· CB = 0 ? ? → ? n2·CE = 0 → ? n3· DB = 0 ? → ? ? n3·DE = 0
? 2y2 = 0 ? ? -x2 +

3 z2 = 0

,令 z2 =

3 ,则 n2 = (3,0, 3 ) ?????8 分

令 n3 = (x3,y3,z3)为平面 BDE 的一个法向量,则有
? 2x3 + 2y3 = 0 ? ,令 z3 = ? x3 + 3z3 = 0

3 ,则 n3 = (-3,3, 3 ) ???10 分

令二面角 D-EB-C 的平面角为 ?,观察知 ? 为锐角, cos ? = | n2·n3 | 7 7 = ,所以 ? = arccos . 7 7 | n2 |·| n3 | ??????????????12 分

19.解:(1)从甲组中应抽取的同学人数为 从乙组中应抽取的同学人数为

3 ×10 = 2, 15

3 ×5 = 1; ????????????2 分 15

(2)从甲组中抽取的同学中至少有 1 名女同学的概率 P = 1- C62 2 C41C61 + C42 2 (或 P = = ). ???????????????5 分 2 = C10 3 C102 3 C42 C21 4 C41C61 C21 C42 C31 22 ,P(X = 1) = · 1 + · = 2 · 1 = 2 C10 C5 75 C10 C5 C102 C51 75 C62 C31 1 34 · = ,P(X = 2) = 1-P(X = 0)-P(X = 1)-P(X = 3) = C102 C51 5 75 C62 C21 C61C41 C31 34 · = ) 2 · 1 + C10 C5 C102 C51 75 2 34 75 3 1 5 9 . 5 ??????????????8 分

(3) X 的可能取值为 0,1,2,3, ??????????????????6 分 P(X = 0) = P(X = 3) =

(或 P(X = 2) =

∴ X 的分布列为: X P 0 4 75 1 22 75

??????10 分 4 22 34 1 EX = 0× + 1× + 2× + 3× 75 75 75 5 20.解:(1) c = 1,e = ∴ 椭圆的方程为 = ??????????????12 分

c 1 = ? a = 2 ? b 2 = a 2-c 2 = 3 a 2

x2 y2 + = 1 ?????????????????????4 分 4 3 3 , 7

依题意可设 AB 所在的直线方程为 y = kx-

8 3 576 代入椭圆方程得 (3 + 4k 2) x 2- kx- =0 7 49 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则 x1 + x2 = -576 8 3k 2 ,x1x2 = 7(3 + 4k ) 49(3 + 4k 2) ???????????????6 分

∵ Q(0, 3 ) ∴ 8 3 8 3 → → QA · QB = (x1,y1- 3 )·(x2,y2- 3 ) = (x1,kx1- )·(x2,kx2- ) 7 7

-576 8 3 192 8 3 8 3k 192 = (1 + k 2) x1x2- k(x1 + x2) + = (1 + k 2) - k + 7 49 49(3 + 4k 2) 7 7(3 + 4k 2) 49 -576-576k 2-192k 2 + 576 + 768k 2 = =0 49(3 + 4k 2) ∴ ∠AQB = (2) ∵ ∵ ∴

?
2

???????????????????????????8 分

1 → 1 → → → → → → → PO = ( PF1 + PF2 ),F2M = PM - PF2 = PF1 - PF2 2 3

→ → PO ·F2M = 0 1 → 1 → → → ( PF1 + PF2 )·( PF1 - PF2 ) = 0 2 3

→ → → → 化简得 PF1 2-2 PF1 · PF2 - 3 PF2 2 = 0 → → → → 即 | PF1 | 2-2 | PF1 |·| PF2 | cos∠F1PF2-3 | PF2 | 2 = 0 在 △F1PF2 中,由余弦定理, → → → → 有 | PF1 | 2 + | PF2 | 2-2 | PF1 |·| PF2 | cos∠F1PF2 = 4c 2 → → ∴ 4 | PF2 | 2 = 4c 2,| PF2 | = c c 1 → 又因为 a-c≤| PF2 |≤a + c ? a-c≤c≤a + c ? a≤2c ? e = ≥ a 2 ∵ 0<e<1 ∴ e∈[ 1 ,1) ???????????????12 分 2 3 ln (2ax-a-3) 2a ??????????10 分

21.解:(1) f (x) = x 2 + ∴ f ’(x) = 2x +

4ax 2-2(a + 3)x + 3 (2ax-3)(2x-1) 3 = = 2ax-a-3 2ax-a-3 2ax-a-3 a+3 1 3 = + (因 a < 0) ?????5 分 2a 2 2a

令 f ’(x) > 0,由 2ax-a-3 > 0,即 x < ∴ (2ax-3)(2x-1) > 0 即

3 1 3 3 a+3 <x< + ,从而 f (x)的单调增区间为 ( , ). ??????????7 分 2a 2 2a 2a 2a

同理,f (x) 的单调减区间为 (-?, (2)由(1)知 f (x)min = f (

3 ]. 2a

??????????????????8 分

3 9 3 )= ln (-a). ?????????????9 分 2 + 2a 4a 2a

考虑函数 g(x) = x-1-ln x x-1 1 ∵ g’(x) = 1- = x x 令 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ g’(x) > 0,即 x > 1, g(x) 在 (1,+?) 上单调递增,同理 g(x) 在 (0,1) 上单调递减, g(x)min = g(1) = 0 g(x)≥g(x)min = 0 x-1≥ln x ???????????????????10 分 ln (-a)≤-a-1 3 9 3(a + 1) 9 3 3 ) ≥ 2 - = - 2 - 2a 4a 2a 4a 2a 2 3 2 ?????????????11 分

f (x)min = f (

又因为 a < 0,所以 f (x)min > - 3 综上,f (x) > - 2

???????????????????????????12 分

22.解:(1)因为 MD 为 ⊙O 的切线,由切割线定理知 MD2 = MA·MB,又 MD = 6,MB = 12,MB = MA + AB ???????????2 分 ∴ MA = 3,AB = 12-3 = 9 ??????????????????????5 分 (2) AM = AD ? ∠AMD = ∠ADM B 连接 DB,又 MD 为 ⊙O 的切线, 由弦切角定理知 ∠ADM = ∠ABD ??????7 分 又因为 AB 是 ⊙O 的直径 ? ∠ADB 为直角 ? ∠BAD = 90?-∠ABD 又∠BAD = ∠AMD + ∠ADM = 2∠ABD ∴ 90?-∠ABD = 2∠ABD ? ∠ABD = 30? ? ∠BAD = 60? ???????8 分 又四边形 ABCD 是圆内接四边形 ? ∠BAD +∠DCB = 180? ∴ ∠DCB = 120? ????10 分 O C A D

23.解:(1)由已知 ? = 2(sin ?-cos ? )得 ? 2 = 2(? sin ?-? cos ? ) ∴ x 2 + y 2 = 2y-2x,即圆 C 的普通方程为:(x + 1) 2 + (y-1) 2 = 2 ????3 分 由 ?
? x=2+t ? y = -1 + 2t

,得 y = -1 + 2(x-2),所以直线的普通方程为 2x-y-5 = 0 ?6 分

(2)方法一: 由圆的几何性质知点 P 到直线的距离的最小值为圆心 C 到直线的距离减去圆的 半径,令圆心 C 到直线的距离为 d,则 d = ∴ 最小值为 | 2×(-1)-1-5 | 8 5 = 5 22+ 1 ???9 分

8 5 - 2 .????????????????????????10 分 5 2 cos ?,1 + 2 sin ?),????????????????7 分

方法二:令 P(-1 +

设点 P 到直线的距离为 d. d= = | | 2×(-1 + 2cos ?)-(1 + 22+ 1 2sin ?)-5 | = | 2 2cos ?- 2sin ?-8 | 5

10cos (? + ?)-8 | 8- 10 8 5 ≥ = - 2 ????????????10 分 5 5 5

24.解: (1)因为 a = 1 所以原不等式为 | x-2 | + | x-1 | > 2 当 x≤1 时, 原不等式化简为 1-2x > 0,即 x < 1 2 5 2 ???????????????2 分

当 1 < x≤2 时, 原不等式化简为 1 > 2,即 x∈? 当 x > 2 时, 原不等式化简为 2x-3 > 2,即 x > 综上,原不等式的解集为 {x | x <

1 5 或 x > } ????????????????5 分 2 2

(2)由题 f (a) = | a | f (b) = | b-2a | + | b-a | = | 2a-b | + | b-a |≥| 2a-b + b-a | = | a | ∴ f (b)≥f (a) ????????????8 分 又等号成立当且仅当 2a-b 与 b-a 同号或它们至少有一个为零 从而 (2a-b) (b-a)≥0. 即 3ab-2a 2-b 2≥0 即 ( b 2 3b b ) - + 2≤0,从而 1≤ ≤2. ??????????????10 分 a a a


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