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2011广州一模理科数学及答案(2011年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学)


2011年广州一模要到2011年3月14日、15日开考 大联考官网 考后第一时间权威发布答案
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以下是2011年广州零模试题及答案,希望有借鉴作用。
2011 年广州市高三年级调研测试

数学(理科)
本试卷共 4 页, 21 题, 共 满分 150 分。 考试用时 120 分钟。 2011. 01 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上, 并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。用 2B 铅笔将试卷类 型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 函数 g ? x ? ? A. x x ? ?3

x ? 3 的定义域为

?

?

B. x x ? ?3

?

?

C. x x ? ?3

?

?

D. x x ? ?3

?

?

2. 已知 i 为虚数单位, 则复数 i (1? i ) 的模等于

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

? y ? x, ? 3. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1. ?
第 1 页 共 14 页

A . ?3

B.

?

3 2

C.

3 2


D. 3

4. 已知 p : x ? 2 , q : 0 ? x ? 2 ,则 p 是 q 的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 图1

5. 如果执行图 1 的程序框图,若输入 n ? 6, m ? 4 ,那么输出的 p 等于 A.

720

B. 360

C. 240

D.

120

6. 已知随机变量 X 服从正态分布 N ( ? , ? 2 ) ,且 P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ,

P(? ? ? ? X ? ? ? ? )? 0 . 6 8 ,若 ? ? 4 , ? ? 1 , 则 P(5 ? X ? 6) ? 26
A.0.1358 B.0.1359 C.0.2716
3

D.0.2718
3

7. 一空间几何体的三视图如图 2 所示, 该几何体的 体积为 12? ? A. 5

8 5 ,则正视图中 x 的值为 3
B. 4 D. 2
x x

C. 3

4 正视图

4 侧视图

8.若把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位, 4

沿 y 轴向下平移 1 个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标保持不变),得到函数

y ? sin x 的图象,则 y ? f ? x ? 的解析式为
A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?1 4?

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

俯视图

? ?1 2?

图2

C. y ? sin ?

?? ?1 x ? ? ?1 4? ?2

D. y ? sin ?

?? ?1 x ? ? ?1 2? ?2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 某社区有 500 个家庭, 其中高收入家庭 125 户, 中等收入家庭 280 户, 低收入家庭 95 户. 为了调查社会购买力的某项指标, 采用分层抽样的方法从中抽取 1 个容量为若干户的样 本, 若高收入家庭抽取了 25 户, 则低收入家庭被抽取的户数为 . 10. 已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 相切,切点在第四象限,则直线
2 2

第 2 页 共 14 页

l的
方程为 . .

11. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2 ? 6, S4 ? 30 ,则 S 6 ? 12. ( ?

x 2

2 9 ) 展开式的常数项是 x2
?2? x , ? 2 ?x , ? x ? ? ??,1? , x ? ?1, ?? ? .

.(结果用数值作答) 若 f ? x ? ? 4 ,则 x 的取值范围是
M A N D

13. 设函数 f ? x ? ? ?

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图 3,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,

B

BC 是直径, MN 与⊙ O 相切, 切点为 A , ?MAB ? 35? ,
则 ?D ? .

O C

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)已知直线 l 的参数方程为: ?

? x ? 2t , ( t 为参数) , ? y ? 1 ? 4t
.

图3

圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 已知向量 m ? ? 2 cos

? ?

A A? ,sin ? , 2 2?

A A? ? , n ? ? c o s ? 2 s i n , m ? n ? ?1 . ? 2 2? ?
(1) 求 cos A 的值; (2) 若 a ? 2 3 , b ? 2 , 求 c 的值. 17. (本小题满分 12 分) 某商店储存的 50 个灯泡中, 甲厂生产的灯泡占 60% , 乙厂生产的灯泡占 40% , 甲厂生 产 的灯泡的一等品率是 90% , 乙厂生产的灯泡的一等品率是 80% . (1) 若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 则它是甲厂生 产的 一等品的概率是多少? (2) 若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 这两个灯泡中 是甲
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厂生产的一等品的个数记为 ? , 求 E? 的值.

P
18. (本小题满分 l4 分) 如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 2 , AB ? 1, BM ? PD 于点 M . (1) 求证: AM ? PD ; (2) 求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值.

M

A

D

B
19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

图4

C

x2 y 2 1 ? ? 1 a ? 3 的离心率 e ? . 直线 x ? t ( t ? 0 )与曲线 E 交于 2 a 3 2

?

?

不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 C ,圆心为 C . (1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,求 ?ABC 的面积的最大值.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?

a (a ? R ) , g ? x ? ? ln x . x

(1) 求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间;

(2) 若关于 x 的方程 值.

g ? x? x2

? f ? x ? ? 2e (e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求 a 的

21. (本小题满分 14 分) 如图 5, 过曲线 C :y ? e 上一点 P0 (0,1) 作曲线 C 的切线 l0 交 x 轴于点 Q1 ( x1 , 0) , 又过 Q1
x



x 轴的垂线交曲线 C 于点 P ( x1 , y1 ) ,然后再过 P ( x1 , y1 ) 作曲线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 1 1 Q2 ( x2 , 0) ,又过 Q2 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P2 ( x2 , y2 ) , ??,以此类推,过点 Pn 的 切线 ln 与 x 轴相交于点 Qn ?1 ( xn ?1 , 0) ,再过点 Qn ?1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 Pn ?1 ( xn ?1 , yn ?1 )
( n?N ) .
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*

(1) 求 x1 、 x2 及数列 { xn } 的通项公式; (2) 设曲线 C 与切线 ln 及直线 Pn ?1Qn ?1 所围成的图形面积为 S n ,求 S n 的表达式; (3) 在满足(2)的条件下, 若数列 {S n } 的前 n 项和为 Tn ,求证:

Tn ?1 xn ?1 ? (n ? N * ) . Tn xn
y

P0

P1 Pn+1 Pn l0

Qn+1

Q1

O

x

2011 年广州市高三调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 B 6 B 7 C 8 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9 . 19 13. ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ? 10 . y ? ?

3 x 3

11. 126

12.

?

21 2

第 5 页 共 14 页

14. 125

?

15.相交

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、 解三角形等知识, 考查化归与转化 的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ∵ m ? ? 2 cos ∴ 2cos 2

? ?

A A? A A? ? ,sin ? , n ? ? cos , ?2sin ? , m? ? ?1 , n 2 2? 2 2? ?
??2 分 ??4 分

A A ? 2sin 2 ? ?1 . 2 2 1 ∴ cos A ? ? . 2 1 (2)解: 由(1)知 cos A ? ? ,且 0 ? A ? ? , 2 2? ∴ A? . 3
∵a ? 2 3 ,b ? 2 ,

??6 分

由正弦定理得

2 3 2 a b ? ,即 , ? 2? sin B sin A sin B sin 3
??8 分

∴ sin B ?

1 . 2

∵0 ? B ? ?,B ? A, ∴B ?

?
6

.

??10 分

∴C ?? ? A? B ? ∴c ?b ? 2.

?
6

. ??12 分

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查条件概率、 数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法, 以及数据 处理能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解法 1: 设事件 A 表示“甲厂生产的灯泡”, 事件 B 表示“灯泡为一等品”, 依题意有 P ? A ? ? 0.6 , P B A ? 0.9 , 根据条件概率计算公式得 P ? AB ? ? P ? A ??P B A ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54 .

?

?

?

?

??4

分 解法 2: 该商店储存的 50 个灯泡中是甲厂生产的灯泡有 50 ? 60% ? 30 个, 乙厂生产的灯
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泡 有 50 ? 40% ? 20 个, 其中是甲厂生产的一等品有 30 ? 90% ? 27 个, 乙厂生产的 一等品有 20 ? 80% ? 16 个, 故从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率是

P?


27 ? 0.54 . 50

??4

(2) 解: ? 的取值为 0,1, 2 , 分

??5

P ?? ? 0 ? ?

2 C23 253 ? , 2 C50 1225

P ?? ? 1? ?

1 1 C27 C23 C2 621 351 ? , P ?? ? 2 ? ? 27 ? 2 2 1225 C50 C50 1225

? ? 8 分 ∴ ? 的分布列为:

?
P

0
253 1225

1
621 1225

2
351 1225
??12

∴ E? ? 0 ? 分

253 621 351 1323 ? 1? ? 2? ? ? 1.08 . 1225 1225 1225 1225

18.(本小题满分 l4 分) (本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想 方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:∵ PA ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,∴ PA ? AB . ∵ AB ? AD , AD ? PA ? A, AD ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , ∴ AB ? 平面 PAD . ∵ PD ? 平面 PAD ∴ AB ? PD , ??3 分
M P z

∵ BM ? PD , AB ? BM ? B , AB ? 平面 ABM , BM ? 平面 ABM , ∴ PD ? 平面 ABM . ∵ AM ? 平面 ABM , ∴ AM ? PD . (2)解法 1:由(1)知, AM ? PD ,又 PA ? AD , 则 M 是 PD 的中点, ??6 分
B x A

D

y

C

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在 Rt△ PAD 中,得 AM ? 2 ,在 Rt△ CDM 中,得 MC ? ∴ S ?ACM ?

MD 2 ? DC 2 ? 3 ,

1 6 . AM ? MC ? 2 2 设点 D 到平面 ACM 的距离为 h ,由 VD ? ACM ? VM ? ACD , ??8 分 1 1 1 得 S?ACM ? ? S?ACD ? PA . h 3 3 2 6 解得 h ? , ??10 分 3 h 6 设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 ? ,则 sin ? ? , ??12 分 ? CD 3 3 ∴ cos ? ? . 3 3 ∴ 直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为 . ??14 分 3 解法 2: 如图所示,以点 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? , B ?1, 0, 0 ? , C ?1, 2, 0 ? , D ? 0, 2, 0 ? , M ? 0,1,1? . ???? ???? ? ??? ? ∴ AC ? ?1, 2, 0 ? , AM ? ? 0,1,1? , CD ? ? ?1, 0, 0 ? . ??8 分 ? 设平面 ACM 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , ? ? ???? ? ???? ? x ? 2 y ? 0, 由 n ? AC , n ? AM 可得: ? ? y ? z ? 0. 令 z ? 1 ,得 x ? 2, y ? ?1 . ? ∴ n ? (2, ?1,1) . ??10 分 ??? ? ? CD ? n 6 设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 ? ,则 sin ? ? ??? ? ? . ??12 分 ? 3 CD n
∴ cos ? ?

3 . 3 3 . 3
??14 分

∴直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为

19.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函 数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵椭圆 E :

x2 y 2 1 ? ? 1 a ? 3 的离心率 e ? , 2 a 3 2
?? 2 分

?

?



a2 ? 3 1 ? . a 2
解得 a ? 2 .

第 8 页 共 14 页

∴ 椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

?? 4 分

(2)解法 1:依题意,圆心为 C (t , 0)(0 ? t ? 2) .

? x ? t, 12 ? 3t 2 ? 2 2 2 由?x 得y ? . y 4 ? 1, ? ? 3 ?4
∴ 圆 C 的半径为 r ?

12 ? 3t 2 . 2

?? 6 分

∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d ? t ,

∴ 0?t?

12 ? 3t 2 2 21 ,即 0 ? t ? . 2 7
2 2

∴ 弦长 | AB |? 2 r ? d ? 2 ∴ ?ABC 的面积 S ?

12 ? 3t 2 2 ? t ? 12 ? 7t 2 . 4

?? 8 分

1 ? t 12 ? 7t 2 2
1 2 7 ?

?? 9 分

?

? 7t ?? 12 ? 7t
2

2

?
?

1 2 7

? 7t ? ?

? 12 ? 7t 2 2
?? 12 分

3 7 . 7
2

当且仅当 7t ? 12 ? 7t ,即 t ?

42 时,等号成立. 7
?? 14 分

∴ ?ABC 的面积的最大值为

3 7 . 7

解法 2:依题意,圆心为 C (t , 0)(0 ? t ? 2) .

? x ? t, 12 ? 3t 2 ? 2 由 ? x2 y 2 得y ? . 4 ? 1, ? ? 3 ?4

第 9 页 共 14 页

12 ? 3t 2 ∴ 圆 C 的半径为 r ? . 2
∴ 圆 C 的方程为 ( x ? t ) ? y ?
2 2

?? 6 分

12 ? 3t 2 . 4

∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d ? t ,

∴ 0?t?

12 ? 3t 2 2 21 ,即 0 ? t ? . 2 7
2 2

12 ? 7t 2 12 ? 3t 2 在圆 C 的方程 ( x ? t ) ? y ? 中,令 x ? 0 ,得 y ? ? , 2 4
∴ 弦长 | AB |? 12 ? 7t .
2

?? 8 分 ?? 9 分

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 ? t 12 ? 7t 2 2
1 2 7 ?

?

? 7t ?? 12 ? 7t
2

2

?
?

1 2 7

? 7t ? ?

? 12 ? 7t 2 2
??12 分

3 7 . 7
2

当且仅当 7t ? 12 ? 7t ,即 t ?

42 时,等号成立. 7
?? 14

∴ ?ABC 的面积的最大值为 分 20.(本小题满分 14 分)

3 7 . 7

(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法,以 及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ?

a ? ln x 的定义域为 ? 0, ?? ? . x

a 1 x2 ? x ? a ∴ F ? x? ? 1 ? 2 ? ? . x2 x x
'

① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ?

1 ' 2 时, 得 x ? x ? a ? 0 ,则 F ? x ? ? 0 . 4
第 10 页 共 14 页

∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. 分 ② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? 解得 x1 ?

??2

1 ' 时, 令 F ? x ? ? 0, 4

得 x ? x ? a ? 0,
2

?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a ? 0, x2 ? . 2 2

(ⅰ) 若 ?

?1 ? 1 ? 4a 1 ?0. ? a ? 0 , 则 x2 ? 2 4
'

∵ x ? ? 0, ?? ? , ∴ F

? x? ? 0 ,
?? 4

∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. 分 (ⅱ)若 a ? 0 ,则 x ? ? 0,

? ? ?

?1 ? 1 ? 4 a ? ' ? 时, F ? x ? ? 0 ; ? 2 ?

? ?1 ? 1 ? 4 a ? x?? , ?? ? 时, F ' ? x ? ? 0 , ? ? 2 ? ?
∴函数 F ? x ? 在区间 ? 0,

? ? ?

?1 ? 1 ? 4 a 2

? ? ?1 ? 1 ? 4 a ? , ?? ? 上单调递增. ? 上单调递减, 在区间 ? ? ? ? 2 ? ? ?
?? 6 分

综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? ; 当 a ? 0 时 , 函 数 F ? x ? 的 单 调 递 减 区 间 为 ? 0,

? ? ?

?1 ? 1 ? 4 a 2

? ? , 单调递增区间为 ? ?
?? 8

? ?1 ? 1 ? 4 a ? , ?? ? . ? ? ? 2 ? ?
分 (2) 解: 由

g ? x? x
2

? f ? x ? ? 2e , 得

ln x a ln x ? x ? ? 2e , 化为 ? x 2 ? 2ex ? a . 2 x x x

令 h ? x? ?
'

ln x 1 ? ln x ' , 则 h ? x? ? . x x2

令 h ? x? ? 0 , 得 x ? e .

第 11 页 共 14 页

当 0 ? x ? e 时, h ? x ? ? 0 ; 当 x ? e 时, h ? x ? ? 0 .
' '

∴函数 h ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增, 在区间 ? e, ?? ? 上单调递减. ∴当 x ? e 时, 函数 h ? x ? 取得最大值, 其值为 h ? e ? ? 分 而函数 m ? x ? ? x ? 2ex ? a ? ? x ? e ? ? a ? e ,
2 2 2

1 . e

?? 10

当 x ? e 时, 函数 m ? x ? 取得最小值, 其值为 m ? e ? ? a ? e .
2

?? 12

分 ∴ 当 a ? e2 ? 分

g ? x? 1 1 , 即 a ? e2 ? 时, 方程 2 ? f ? x ? ? 2e 只有一个根. x e e

?? 14

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法, 以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解: 由 y ? ? e ,设直线 ln 的斜率为 k n ,则 k n ? e n .
x
x

∴直线 l0 的方程为 y ? x ? 1 .令 y ? 0 ,得 x1 ? ?1 , 分 ∴ y1 ? e 1 ?
x

??2

1 1 , ∴ P (?1, ) . 1 e e 1 . e

∴ k1 ? e 1 ?
x

∴直线 l1 的方程为 y ? 分

1 1 ? ( x ? 1) .令 y ? 0 ,得 x2 ? ?2 . e e
xn

??4

一般地,直线 ln 的方程为 y ? e

? e xn ( x ? xn ) ,

由于点 Qn ?1 ( xn ?1 , 0) 在直线 ln 上, ∴ xn ?1 ? xn ? ?1. ∴数列 ? xn ? 是首项为 ?1 ,公差为 ?1 的等差数列. ∴ xn ? ? n . ??6 分

第 12 页 共 14 页

(2)解: Sn ?

?

?n 1 1 1 e x dx ? ( xn ? xn?1 ) yn ? e x | ? yn ? (e? n ? e? n?1 ) ? e ? n ? ( n ?1) ? ( n ?1) 2 2 2

?n

?

e?2 1 ? . 2e en

??8 分

e?2 ? 1 1 1 (3)证明: Tn ? ?? 1 ? 2 ??? n 2e ? e e e

1 1 [1 ? ( ) n ] e?2 e e?2 1 ? e ? ? ? (1 ? n ) . ?? 1 2e 2e(e ? 1) e ? 1? e
??10 分

1 1 ? n ?1 n ?1 Tn ?1 e ? e ? 1 ? 1 ? e ? 1 , xn ?1 ? ?(n ? 1) ? 1 ? 1 . ∴ ? 1 xn ?n n Tn en ?1 ? e en ?1 ? e 1? n e
要证明

Tn ?1 xn ?1 e ?1 1 ? ,只要证明 n ?1 ? ,即只要证明 en ?1 ? (e ? 1)n ? e . Tn xn e ?e n
??11 分

证法 1: (数学归纳法) ① 当 n ? 1 时,显然 (e ? 1) ? 0 ? e ? 2e ? 1 ? e ? (e ? 1) ? e 成立;
2 2 2

② 假设 n ? k 时, e

k ?1

? (e ? 1)k ? e 成立,

则当 n ? k ? 1 时, e

k ?2

? e ? ek ?1 ? e[(e ? 1)k ? e] ,

而 e[(e ? 1)k ? e] ? [(e ? 1)(k ? 1) ? e] ? (e ? 1) (k ? 1) ? 0 .
2

∴ e[(e ? 1)k ? e] ? (e ? 1)(k ? 1) ? e .

∴e

k ?2

? (e ? 1)(k ? 1) ? e .

这说明, n ? k ? 1 时,不等式也成立.

由①②知不等式

Tn ?1 xn ?1 * ? 对一切 n?N 都成立. Tn xn
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??14 分

证法 2: e

n ?1

0 1 n ?1 ? [1 ? (e ? 1)]n?1 ? Cn?1 ? Cn?1 (e ? 1) ? ? ? Cn?1 (e ? 1) n?1

0 1 ? Cn?1 ? Cn?1 (e ? 1) ? 1 ? (n ? 1)(e ? 1) ? (e ? 1)n ? e .

∴不等式

Tn ?1 xn ?1 ? 对一切 n?N * 都成立. Tn xn
x ?1

??14 分

证法 3:令 f ? x ? ? e

? ? e ? 1? x ? e ,

则f

'

? x ? ? e x ?1 ? ? e ? 1? ,
'

当 x ? 0 时, f

? x ? ? e x ?1 ? ? e ? 1? ? e ? ? e ? 1? ? 1 ? 0 ,

∴函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. ∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0 ? ? 0 .

∵ n?N , ∴ f ? n? ? 0 , 即 e
n ?1

*

? ? e ? 1? n ? e ? 0 .

∴e

n ?1

? ? e ? 1? n ? e .

∴不等式

Tn ?1 xn ?1 * ? 对一切 n?N 都成立. Tn xn

??14 分

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