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课件-高一数学2.2《对数函数-基本运算》


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3.2.1对数及其运算

bqr6401@126.com 2014年8月13日

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第一课时

bqr6401@126.com

一、复习引入
普 通 高 中 课 程 标 准 小学到初中,我们对数的运算有了深入的了解, 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等运算已经 成为我们所熟知的了。我们知道:加法与减法、乘 法与除法、乘方与开方之间是互逆的运算。 进入高中我们对指数运算也有了一个全新的认 识,对于指数运算推广到了指数幂为实数的形式了。 指数运算的逆运算又是什么呢?
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一、问题:
1、庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭。 普 通 (1)取5次,还有多长? 高 (2)取多少次,还有0.125尺?
中 课 程 标 准

抽象出:1.

??

1 5 2

?

1 32

;

?1? ? ? ? 0.125 ?2?

x

?

x=?

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2 、假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果 普 通 高 中 课 程 标 准

每年平均增长 8% ,那么经过多少年国民生产总值
是2002年的2倍?

抽象出:

?1 ? 8% ?

x

?2 ?

x=?

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1、对数的定义:一般地,如果a(a>0,a≠1) 的b次幂等于N, 就是ab=N 那么数 b叫做以 a 为底 N的对数, 记作 log N ? b ,a叫做对 a 数的底数,N叫做真数。
说 明 ① .注意底数的限制, a>0且 a ≠ 1; b N a ? N ? log ②. a ?b ③. 注意对数的书写格式. log a N
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对数式与指数式的互化:

负数和零没有对数;
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例1:将下列指数式写成对数式:
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(1) 2 ? 16 ;
4

(3) 5 ? 20 ;
a

1 (2) 3 ? ; 27 1 b (4) ( ) ? 0.45; 2
?3

例2:将下列对数式写成指数式:

(1) log5 125 ? 3 ; (3) log10 a ? ?1.069 .

(2) log 1 3 ? ?2 ;
3

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例3:求下列各式的值:
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(1)log2 64 ;
思考:

(2) log9 27 ;

① .为什么对数的定义中要求底数a>0且 a≠1 ; ②.是否是所有的实数都有对数呢?

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课堂练习 ? ? ? ?
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将下列指数式写成对数式: (1) (3) 26.2=73.5167; 0.53=0.125 ;
1 (2) 10 ? ; 1000
?3

(4) ? ? 1 ;
0

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两个重要对数:
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①.常用对数(common logarithm):以10 为底的对数log10N, 简记为: lgN . ②. 自然对数(natural logarithm):以无理 数e=2.71828… 为底的对数的对数logeN ;简记 为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的 对数)
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课堂练习 ? ? ? ?
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将下列对数式写成指数式:

(1) log2 6 ? 2.5850 ; (2) log3 0.8 ? ?0.2031 ;
(3) lg 3 ? 0.4771 ; (4) ln 3 ? 1.0986 ;

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巩固练习:P97/1、2、3、4、5 普 通 高 中 课 程 标 准

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探索与发现:
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求下列各式的值:

(1) log31= 0

(2) lg1= 0

(3) log0.51= 0 (4) ln1= 0

你发现了什 么?

“1”的对数等于零,即loga1=0
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探索与发现:
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求下列各式的值: (1) log33= 1 (2) lg10=1

(3) log0.50.5= 1 (4) lne= 1

你发现了什 么?

底数的对数等于“1”,即logaa=1
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探索与发现:
求下列各式的值:
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(1) 2

log 2 3

?

3

(2) 7

log7 0.6

? 0.6

(3) 0.4

log0.4 89

? 89
loga N

你发现了什 么?

对数恒等式:

a

?N

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探索与发现:
求下列各式的值:
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(1) log3 3 ?
4

4
5

(2) log0.9 0.9 ?
(3) ln e ?
8

5

你发现了什 么?

8

对数恒等式:

loga a ? n
n

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对数的基本性质
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1.负数和零没有对数; 2.“1”的对数等于零,即loga1=0 3.底数的对数等于“1”,即logaa=1

4. 对数恒等式:a log a N 5.

?N n 对数恒等式: loga a ? n
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思考题:
(1)已知x满足等式
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log5[log3 (log2 x)] ? 0, 求log16x的值. 1 ? ln e (2)求值:log 2.5 6.25 ? lg 100 3x+2y 的值. (3)已知 loga 2 ? x,loga 3 ? y, 求 a

(4) 求下列各式的值 2
2log 2 5

2

? log 2 3

3

2log9 5

3

1? 2log3 4

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三、归纳小结,强化思想
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1、 引入对数的必要性;

2 、指数与对数的关系;
3、 对数的基本性质. 四、布置作业: P60 习题2.3(1)1、2、3、4
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第二课时
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定义: 一般地,如果
的b次幂等于N, 就是
b

a ? a ? 0, a ? 1?
,那么数 b叫做

普 通 高 以a为底 N的对数,记作 log a N ? b 中 a叫做对数的底数,N叫做真数。 课 程 标 准

a ?N

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有关性质: ⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) 普 通 高 中 课 程 标 准



loga 1 ? 0,

loga a ? 1,
log a N

⑶对数恒等式 课前练习: ⑴ ⑵ ⑶

a

? N , loga a ? n
n

log3 1 ? log3 3 ? log 3 27 ? 4 ln e ? lg100 ? 3 lg 2 ? lg 5 ? ?
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对数的运算性质

如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:
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loga (MN ) ? loga M ? loga N ⑴

M log a ? log a M ? log a N ⑵ N n loga M ? n loga M (n ? R) ⑶
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
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对数的运算性质
说明: 普 通 高 中 课 程 标 准 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”?? 2) 有时可逆向运用公式 3)真数的取值必须是(0,+∞) 4)注意

loga (MN ) ≠ loga M ? loga N

loga (M ? N ) ≠ loga M ? loga N
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讲解范例
普 通 高 中 课 程 标 准 例1 计算 (1) log2 (25 ? 47 )

解 : log2 (2 ? 4 )
5 7

? log 2 25 ? log2 47
? log 2 2 ? log2 2
5 14

=5+14=19

1 2 ? lg10 lg 100 解 : 5 2 ? lg10 5 2 ? 5
5

(2) lg 5 100

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讲解范例

例2 用
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log a x, log a y, loga z 表示下列各式:

x2 y xy (1)log a ; (2) log a 3 z z xy 解(1) log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z log a 解(2) x2 y
3

z

?

log a ( x y ) ? log a z
2
2 1 2

1 2

1 3
1 3

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3
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? loga x ? loga y ? loga z

解法一:

7 例3计算: (1) lg14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg18 3
解法二:

普 7 通 lg14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg18 3 高 中 7 2 课 ? lg14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg18 3 程 标 ? lg 14 ? 7 准 7 2

7 lg14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg18 3 7 ? lg(2 ? 7) ? 2 lg 3 ? lg 7 ? lg(2 ? 32 )

( ) ?18 3 ? lg1 ? 0

? lg 2 ? lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ? lg 7 ? (lg 2 ? 2lg 3)
?0

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普 通 高 中 ⑵ 课 程 标 准 ⑶

3 x ? ______ 1 ⑴ 若 lg x ? lg a ? 2lg b ? 3lg c, 则 c

提高练习:

2 ab

1 log 6 12 ? log 6 2
2 _____________

1 2 2 的值为______

log 2 8 ? 4 3 ? log 2 8 ? 4 3 ?

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log4 (3x ?1) ? log4 ( x ?1) ? log4 ( x ? 3).
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2.解方程

解:原方程可化为

1 3x ? 1 ? ( x ? 1)(3 ? x) x ? 3 1 2 x? x ? x?2 ? 0 3

解得:

x?2



x ? ?1

(舍去)

? 方程的解是 x ? 2
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log m N 3.对数换底公式: log a N ? log m a
普 通 高 中 课 程 标 准 ( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0) 证明:

log a N ? x
x

, 则

a ?N
x

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

logm a ? logm N ? x logm a ? logm N
两边取以m 为底的对数:
log m N 从而得: x ? log m a log m N log a N ? ∴ log m a
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王新敞
奎屯

新疆

2.两个常用的推论:


loga b ? logb a ? 1 , loga b ? logb c ? logc a ? 1
n log a m b ? log a b( a, b > 0且均不为1) m
n

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

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证:①

lg b lg a log a b ? logb a ? ? ?1 lg a lg b
log am
n lg b n lg b n n b ? ? ? log a b m lg a m lg a m



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三、讲解范例: 例1 求log89.log2732的值. 分析:利用换底公式统一底数:

一般情况下,可换成常用对数,也可根据真、 底数的特征,换成其它合适的底数.
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例2.已知 log 3 ? a,log 7 ? b ,用 a, b 表示 log42 56 2 3 普 通 高 中 课 程 标 准
1 解:因为 则 log2 3 ? a , ? log 3 2 又∵ log3 7 ? b a , log3 56 log3 7 ? 3 ? log 3 2 ab ? 3 log 42 56 ? ? ? log3 42 log3 7 ? log3 2 ? 1 ab ? b ? 1



例3计算:①

5

1? log 0.2 3

4 log 3 ? log 2 ? log ② 4 9 1 32 2

解:①原式 =

5 5
log0.2 3

?

5 5
log5 1 3

5 ? ? 15 1 3

1 1 5 1 5 3 ②原式 = 2 log 2 3 ? 2 log3 2 ? 4 log 2 2 ? 4 ? 4 ? 2 bqr6401@126.com

课堂小结: 普 通 高 中 课 程 标 准

对数的运算性质

1 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

M log a ? log a M ? log a N ⑵ Nn loga M ? n loga M (n ? R) ⑶

loga (MN ) ? loga M ? loga N ⑴

2 对数运算性质的功能主要有两个: 一是化复杂的真数(积或商的形式)为简单的真 数;二是将多个同底对数式的和差合为一个对数 式。
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课后作业:
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1.第101页,练习A,1、2、3、4、5,练习B1,2, 3 ,4 2.补充作业:
⑴ 利用关系式

loga N ? a ? N
b

log m N 证明换底公式 log a N ? log m a
⑵ 利用⑴中的换底公式证明

loga b logb c logc a ? 1
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