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浙江省2015届高三六校联考数学(文科)


2015 届浙江省六校联考

数学(文科)试题卷
一、选择题(本题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.已知集合 M ? ? x A. ( 0,1 )

? 1 ? ? 1?, N ? y y ? 1 ? x 2 ,则 M x ? ?
B. [0,1] C. [0,1)

?

?

N ?( ▲ )
D. (0,1]

2.若 a 是实数,则“ a2 ? 4 ”是“ a ? 2 ”的( ▲ ) A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件

3.将函数 y ? cos( x ?

?
3

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移

? 个 3

单位,所得函数图象的一个对称中心为( ▲ ) A. (0,0) B. (

?
4

, 0)

C. (

?
2

, 0)

D. (? ,0)

4.下列命题中错误 的是( ▲ ) .. A.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? 平面 ? D.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内有且只有一条直线垂直于平面 ? 5.设实数列 {an }和 {bn }分别为等差数列与等比数列,且 a1 ? b1 ? 8, a4 ? b4 ? 1,则以下结论正确的 是( ▲ ) A. a2 ? b2 B. a3 ? b3 C. a5 ? b5 D. a6 ? b6

6. 设 A1 , A2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点 P ,使得 a 2 b2

1 k PA1 ? k PA2 ? ? ,则该椭圆的离心率的取值范围是( ▲ ) 2
A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

B. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

C. ?

? 2 ? ? 2 ,1? ? ? ?

D. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

数学(文科)试题卷·第 1 页(共 4 页)

? ?2 x , x ? ? 0,1? 1 ? 7. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 当 x ? 0 时,f ( x) ? ? x ? 1 , 则函数 F ( x) ? f ( x) ? ? ?1 ? x ? 3 , x ? ?1, ?? ? ?
的所有零点之和为( ▲ ) A.

1 2? ? 1

B.

1 1 ? 2?

C.

4? ? 1

?

D.

1 ? 4?

?

8.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1 , P 为 BC 的中点, Q 为线段 CC 1 上的动点,过点

A , P , Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S .
①当 0 ? CQ ?

1 时, S 为四边形 2

②截面在底面上投影面积恒为定值

3 4

③存在某个位置,使得截面 S 与平面 A 1BD 垂直 ④当 CQ ?

3 1 时, S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1 R1 ? 4 3

(第 8 题图)

其中正确命题的个数为( ▲ ) A.1 B.2 C.3 D. 4

二、填空题(第 9 题至第 12 题,每小题 6 分;第 13 题至第 15 题每小题 4 分,共 36 分) 9.函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小正周期为 ▲ ,单调增区间为 ▲ ,

f (?

π )? 12



.

10. 已 知 点 M ( 2, 1) 及 圆 x2 ? y 2 ? 4 , 则 过 M 点 的 圆 的 切 线 方 程 为

▲ .

,若直线

ax ? y ? 4 ? 0 与圆相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 3 ,则 a ?
11.某空间几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 则其体积是 ▲



cm3 , 表面积是



cm2 .

? y ? ?2 x, ? 12. 设实数 x, y 满足 ? y ? x, 则动点 P( x, y) 所形成区域的面积 ? y ? x ? 4, ?
为 ▲ , z ?| x ? 2 y ? 2| 的取值范围是 ▲ .

(第 11 题图)

数学(文科)试题卷·第 2 页(共 4 页)

13.已知点 P 是双曲线 y ?
2

x2 ? 1 上任意一点,过点 P 分别作两渐近线的垂线,垂足分别为 A 、B , 3

2 2

则线段 AB 的最小值为

. A

14. 已知实数 x 、 y 满足 4x ? y ? xy ? 1 ,且不等式

2x ? y ? c ? 0 恒成立,则 c 的取值范围是



. B

P

. O

Q C

l

15. 如 图 , 圆 O 为 Rt?ABC 的 内 切 圆 , 已 知

(第 14 题图)

O 的直线 l 交圆 O 于 A C? 3 , B C ? 4 , A? B ,过圆心 5

P 、 Q 两点,则 BP ? CQ 的取值范围是



.

三、解答题(第 16 题至第 19 题,每题 15 分;第 20 题 14 分,共 74 分) 16.如图,在 ?ABC 中, D 为 AB 边上一点, DA ? DC ,已知 B ?

?
4

, BC ? 1 C

6 (Ⅰ)若 ?ABC 是锐角三角形, DC ? ,求角 A 的大小; 3
(Ⅱ)若 ?BCD 的面积为

1 ,求边 AB 的长. 6

A

D (第 16 题图)

B

17.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 Sn ? 2 ? 2an (n ? N * ) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)令 bn ? log2 an , Tn ?

b 15 b1 b2 ? ? ??? ? n ,求满足 Tn ? 的最大正整数 n 的值. 8 a1 a2 an

数学(文科)试题卷·第 3 页(共 4 页)

18.等腰梯形 ABCD , AB / /CD, DE ? AB, CF ? AB, AE ? DE ? 2 ,沿 DE , CF 将梯形折叠使 , G 为 AC 上一点, FG ? 平面 ACE . A, B 重合于点 A (如图) (Ⅰ)求证: AE ? AF ; (Ⅱ)求 DG 与平面 ACE 所成角的正弦值.

D 2

C

D 2 A 2 E

C G F 2 A

E F B

19.已知抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) 上的点 M 到直线 l : y ? x ? 1的最小距离为 上,过点 N 作直线与抛物线相切,切点分别为 A 、 B . (Ⅰ)求抛物线方程; (Ⅱ)当原点 O 到直线 AB 的距离最大时,求三角形 OAB 的面积.

2 .点 N 在直线 l 4

20.已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ?1) x ? 4(a ? 5), g ( x) ? ax2 ? x ? 5 ,其中 a ? R. (Ⅰ)若函数 f ( x) 、 g ( x) 存在相同的零点,求 a 的值; (Ⅱ)若存在两个正整数 m 、 n ,当 x0 ? (m, n) 时,有 f ( x0 ) ? 0 与 g ( x0 ) ? 0 同时成立,求 n 的最 大值及 n 取最大值时 a 的取值范围.

数学(文科)试题卷·第 4 页(共 4 页)


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