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【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题4 第20练 平面向量中的线性问题 理


第 20 练

平面向量中的线性问题

[题型分析?高考展望] 平面向量是初等数学的重要内容, 兼具代数和几何的“双重特性”, 是解决代数问题和几何问题的有力工具, 与很多知识联系较为密切, 是高考命题的热点.多与 其他知识联合命题,题型有选择题、填空题、解答题,掌握好向量的基本概念、基本运算性 质是解题的关键. 常考题型精析 题型一 平面向量的线性运算及应用 → → 例 1 (1)(2015?课标全国Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则( 1→ 4→ → A.AD=- AB+ AC 3 3 → 4→ 1→ C.AD= AB+ AC 3 3 → 1→ 4→ B.AD= AB- AC 3 3 → 4→ 1→ D.AD= AB- AC 3 3 )

→ → (2)如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 AB,AC 的中点,BF 与 CD 交于点 O,设AB=a,AC=

b,试用 a,b 表示向量AO.



点评 平面向量的线性运算应注意三点:
1

(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. → → → (3)OA=λ OB+μ OC(λ ,μ 为实数),若 A、B、C 三点共线,则 λ +μ =1. 变式训练 1 (1)(2015?杭州模拟)如图, 两块全等的直角边长为 1 的等腰直角三角形拼在一 → → → 起,若AD=λ AB+kAC,则 λ +k 等于( )

A.1+ 2 C.2

B.2- 2 D. 2+2

→ → → (2)在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别为 CD,BC 的中点,若AB=λ AM+μ AN,则 λ +μ =________. 题型二 平面向量的坐标运算 例 2 (1)(2015?江苏)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,n∈R), 则

m-n 的值为_______________________________________________________________.
(2)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题: ①求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; ②若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; ③若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d.

2

点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1=0;②若 a∥b(a≠0),则 b=λ a. (2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非 零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. (3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐 标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 变式训练 2 (1)(2014?湖南)在平面直角坐标系中, O 为原点, A(-1,0), B(0, 3), C(3,0), → → → → 动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是________. → → → (2)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),若点 A、B、C 能构成三角 形,则实数 m 满足的条件是________. 高考题型精练 1.(2015?四川)设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x 等于( A.2 C.4 B.3 D.6 )

→ → 2.(2015?安徽)△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足AB=2a,AC=2a+b, 则下列结论正确的是( A.|b|=1 C.a?b=1 ) B.a⊥b → D.(4a+b)⊥BC

3.(2015?长春调研)已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,|OC|=2 2, π → → → 且∠AOC= ,设OC= λ OA+OB(λ ∈R),则 λ 的值为( 4 A.1 C. 1 2 B. D. 1 3 2 3 )

→ → 4.(2014?课标全国Ⅰ)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB+FC等 于( → A.BC → C.AD ) 1→ B. AD 2 1→ D. BC 2
3

5.(2015?潍坊模拟)设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),则“a=(4,2)”是“a∥b”成 立的( )

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两 1 4 → → → → 点 M,N,若AB=mAM,AC=nAN (m,n>0),则 + 的最小值为(

m n

)

A.2 B.4 C. 9 2

D.9 λ 7.向量 a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示, 若 c=λ a+μ b(λ , μ ∈R), 则 =________. μ

→ → → 8.已知 A(-3,0),B(0, 3),O 为坐标原点,C 在第二象限,且∠AOC=30°,OC=λ OA+OB, 则实数 λ 的值为______. 9.(2014?北京)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λ a+b=0(λ ∈R),则|λ |= ________. π 10.(2014?陕西)设 0<θ < ,向量 a=(sin 2θ ,cos θ ),b=(cos θ ,1),若 a∥b,则 2 tan θ =________. → → → → → → → 11.(2015?北京)在△ABC 中, 点 M, N 满足AM=2MC, BN=NC.若MN=xAB+yAC, 则 x=________,
4

y=________.
→ → → 12.(2015?常州模拟)已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t1OA+t2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线; → → 2 (3)若 t1=a ,求当OM⊥AB且△ABM 的面积为 12 时 a 的值.

答案精析 第 20 练 平面向量中的线性问题

常考题型精析 例1 A → → → → → → [∵BC=3CD,∴AC-AB=3(AD-AC),

1→ 4→ → → → → 即 4AC-AB=3AD,∴AD=- AB+ AC.] 3 3 (2)解 由 D,O,C 三点共线,可设 → → → → ? ? DO=k1DC=k1(AC-AD)=k1?b- a?

?

1 2 ?

1 =- k1a+k1b(k1 为实数), 2 →

BO=k2BF=k2(AF-AB)=k2( b-a)
1 =-k2a+ k2b(k2 为实数),① 2 1 1 → → → 又BO=BD+DO=- a+(- k1a+k1b) 2 2 1 =- (1+k1)a+k1b,② 2 1 1 由①②,得-k2a+ k2b=- (1+k1)a+k1b, 2 2 1 ?1 ? 即 (1+k1-2k2)a+? k2-k1?b=0. 2 ?2 ?
5







1 2

又 a,b 不共线,所以 1 ? ?2?1+k -2k ?=0, ?1 ? ?2k -k =0
1 2 2 1

1 k= , ? ? 3 ?? 2 k= . ? ? 3
1 2

2 1 → 所以BO=- a+ b. 3 3 → → → ? 2 1 ? 1 所以AO=AB+BO=a+?- a+ b?= (a+b). ? 3 3 ? 3 4 变式训练 1 (1)A (2) 5 解析 根据向量的基本定理可得 → → → → → → AD=AC+CD=AC+(ED-EC) 2→ → → =AC+( 2AC- BC) 2 2 → → → → =AC+ 2AC- (AC-AB) 2 =?1+

? ?

2→ 2? → ??AC+ 2 AB. 2? 2 2 ,k=1+ .所以 λ +k=1+ 2.故选 A. 2 2

所以 λ =

(2)依题意得 → → → → → → 1→ AM=AB+BC+CM=AB+BC- AB 4 3→ → = AB+BC, 4 → → → → 1→ AN=AB+BN=AB+ BC; 2 → → → 又AB=λ AM+μ AN, → ?3→ →? 于是有AB=λ ? AB+BC?+μ ?4 ? 1→? ?→ ?AB+2BC? ? ?

μ ?→ ?3 ? → ? =? λ +μ ??AB+?λ + ?BC; 2? ?4 ? ? 3 λ +μ =1, ? ? 4 → → 又AB与BC不共线,因此有? μ λ + =0, ? ? 2
6

4 4 由此解得 λ =- ,μ =-2λ ,所以 λ +μ =-λ = . 5 5 例 2 (1)-3
? ?2m+n=9, 解析 ∵a=(2,1), b=(1, -2), ∴ma+nb=(2m+n, m-2n)=(9, -8), 即? ?m-2n=-8, ?

解得?

? ?m=2, ?n=5, ?

故 m-n=2-5=-3. (2)解 ①由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 5 ? ?m=9, 得? 8 ? ?n=9.

? ?-m+4n=3, ∴? ?2m+n=2, ?

②a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), ∴2?(3+4k)-(-5)(2+k)=0, 16 ∴k=- . 13 ③设 d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
? ?4?x-4?-2?y-1?=0, 由题意得? 2 2 ??x-4? +?y-1? =5, ?

解得?

?x=3, ? ?y=-1 ?

或?

?x=5, ? ?y=3. ?

∴d=(3,-1)或 d=(5,3). 变式训练 2 (1) 7+1 1 (2)m≠ 2

→ → 2 2 解析 (1)设 D(x,y),由CD=(x-3,y)及|CD|=1 知(x-3) +y =1,即动点 D 的轨迹为以 点 C 为圆心的单位圆.

→ → → → → → 又 O A + OB + OD = ( - 1,0) + (0 , 3) + (x , y) = (x - 1 , y + 3) ,∴| OA + OB + OD | =
?x-1? +?y+ 3? . 问题转化为圆(x-3) +y =1 上的点与点 P(1,- 3)间距离的最大值. ∵圆心 C(3,0)与点 P(1,- 3)之间的距离为 ?3-1? +?0+ 3? = 7, 故 ?x-1? +?y+ 3? 的最大值为 7+1.
2 2 2 2 2 2 2 2

7

→ → → → → (2)因为OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),所以AB=(3,1),BC=(-m-1, -m). → → 由于点 A、B、C 能构成三角形,所以AB与BC不共线, 3 1 1 → → 而当AB与BC共线时,有 = ,解得 m= , -m-1 -m 2 1 故当点 A、B、C 能构成三角形时实数 m 满足的条件是 m≠ . 2 高考题型精练 1.B [a=(2,4),b=(x,6),∵a∥b,∴4x-2?6=0, ∴x=3.] → → → 2.D [在△ABC 中,由BC=AC-AB=2a+b-2a=b,得|b|=2. → 2 又|a|=1, 所以 a?b=|a||b|cos 120°=-1, 所以(4a+b)?BC=(4a+b)?b=4a?b+|b| → =4?(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥BC,故选 D.] 3.D [过 C 作 CE⊥x 轴于点 E(图略). π 由∠AOC= ,知|OE|=|CE|=2, 4 → → → → → 所以OC=OE+OB=λ OA+OB, → → 即OE=λ OA, 2 所以(-2,0)=λ (-3,0),故 λ = .] 3 → → 4.C [如图,EB+FC → → → → =EC+CB+FB+BC → → 1 → → =EC+FB= (AC+AB) 2 1 → → = ?2AD=AD.] 2 5.C [若 a=(4,2),则|a|=2 5,且 a∥b 都成立; ∵a∥b,设 a=λ b=(2λ ,λ ),由|a|=2 5,知 4λ +λ =20,∴λ =4,∴λ =±2, ∴a=(4,2)或 a=(-4,-2). 因此“a=(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件.] → → → 6.C [MO=AO-AM
2 2 2

8

AB+AC 1→ ?1 1?→ 1→ = - AB=? - ?AB+ AC. 2 m 2 ?2 m?
→ ?1 1?→ 1→ 同理NO=? - ?AC+ AB,又 M,O,N 三点共线, 2 ?2 n?

→ →

?1 1?→ 1→ 故? - ?AB+ AC=λ 2 ?2 m?

1→? ??1-1?→ AC+ AB?, ? ?? 2 ? ??2 n?

1 1 λ → → ?1 1 λ ?→ ?1 λ λ ?→ 即? - - ?AB+? - + ?AC=0, 由于AB, AC不共线, 根据平面向量基本定理得 - - 2 m 2 ?2 m 2 ? ?2 2 n ? 1 λ λ =0 且 - + =0,消掉 λ 即得 m+n=2, 2 2 n 1 4 1 ?1 4? 故 + = (m+n)? + ? m n 2 ?m n? 1? n 4m? 1 9 = ?5+ + ?≥ (5+4)= .(当且仅当 n=2m 时,等号成立)] m n? 2 2? 2 7.4 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建直角坐标系(图略),则 a=(-1,1),b=(6,2),c=(- 1,-3),根据 c=λ a+μ b? (-1,-3)=λ (-1,1)+μ (6,2)有-λ +6μ =-1,λ +2μ 1 λ =-3,解之得 λ =-2 且 μ =- ,故 =4. 2 μ 8.1 → → 解析 由题意知OA=(-3,0),OB=(0, 3), → 则OC=(-3λ , 3), 由∠AOC=30°知以 x 轴的非负半轴为始边, OC 为终边的一个角为 150°, 3 3 3 ∴tan 150°= ,即- =- ,∴λ =1. -3λ 3 3λ 9. 5 解析 ∵λ a+b=0,∴λ a=-b, ∴|λ a|=|-b|=|b|= 2 +1 = 5, ∴|λ |?|a|= 5.又|a|=1,∴|λ |= 5. 1 10. 2 解析 因为 a∥b, 所以 sin 2θ =cos θ ,2sin θ cos θ =cos θ . π 1 因为 0<θ < ,所以 cos θ >0,得 2sin θ =cos θ ,tan θ = . 2 2 1 1 11. - 2 6
9
2 2 2 2

→ → → 解析 MN=MC+CN 1→ 1→ = AC+ CB 3 2 1→ 1 → → = AC+ (AB-AC) 3 2 1→ 1→ = AB- AC, 2 6 1 1 ∴x= ,y=- . 2 6 → → → 12.(1)解 OM=t1OA+t2AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2). 当点 M 在第二或第三象限时,
? ?4t2<0, 有? ?2t1+4t2≠0, ?

故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)证明 当 t1=1 时, → 由(1)知OM=(4t2,4t2+2). → → → ∵AB=OB-OA=(4,4), → → → → AM=OM-OA=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB, ∴不论 t2 为何实数,A、B、M 三点共线. → 2 2 (3)解 当 t1=a 时,OM=(4t2,4t2+2a ). → → → 又AB=(4,4),OM⊥AB, ∴4t2?4+(4t2+2a )?4=0, 1 2 → 2 2 ∴t2=- a ,故OM=(-a ,a ). 4 → 又|AB|=4 2, 点 M 到直线 AB:x-y+2=0 的距离
2

d=

|-a -a +2| 2 = 2|a -1|. 2

2

2

∵S△ABM=12, 1 1 2 ∴ |AB|?d= ?4 2? 2|a -1|=12, 2 2 解得 a=±2,故所求 a 的值为±2.

10


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