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首都师范大学2000数学分析考试试卷


首都师范大学 2000 数学分析考试试卷 一.用极限定义证明 1. lim
x →1

x2 + x ? 2 =0 x

2. lim

ax = 0 ( a > 0) x →∞ n !

二.计算下列各题 1.求极限 lim b1 + b2 + ??? + bk
n n n →∞

(

n n

)

,其中 b1 , b2 , ???, bk 为 k 的正数

2.将 f ( x ) =

x2 展开为 x 的幂级数 2? x

3.改变累次积分的次序 4.计算

∫ dy ∫
0

1

2y

0

f ( x, y ) dx + ∫ dy ∫
3 1

3? y

0

f ( x, y ) dx

∫∫∫ dxdydz , V 是由上半球面 z =
V

4 ? x 2 ? y 2 与抛物面 x 2 + y 2 = 3 z 围成的立体

5.求幂级数

∑ n +1 x
n =1



( ?1)

n n +1

的和函数

6.求极限 lim ?

1 1 ? ? 1 + + ??? + ? n →∞ n + 1 n+2 2n ? ?

7.计算第二型曲面积分 上侧

∫∫

S

ydydz + ( x + z ) dxdy , S 为平面 x + y + z = 2 在第一卦限部分的

? sin xy ? 2 三.设 f ( x, y ) = ? x + y 2 ? 0 ?

x2 + y 2 ≠ 0 x2 + y2 = 0

证明 f ( x, y ) 在 R 2 上连续

四.用致密性定理证明:若 f ( x ) 在 [ a, b ] 上有界 五.设 f ( x ) 在 [ 0,1] 上满足李普希茨条件,即对任何 x, y ∈ [ 0,1] 有 f ( x ) ? f ( y ) ≤ M x ? y , 其中 M 是常数,证明



1

0

1 n ?1? M f ( x ) dx ? ∑ f ? ? ≤ n i =1 ? n ? n

六.设 f ( x ) 在 R 上连续, g ( x ) 在 R 上一致连续且有界,证明 f ? g ( x ) ? 在 R 上一致连续 ? ? 七.设函数项级数

∑ u ( x ) 在 D 上一致收敛于 S ( x ) ,函数 g ( x ) 在 D 上有界,证明
n =1 n



∑ g ( x ) u ( x ) 在 D 上一致收敛于 g ( x ) S ( x )
n =1 n



八.设 f ( x ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的正值连续偶函数,令 g ( x ) = 1.证明 g ′ ( x ) 在 [ ? a, a ] 上严格递增 2.求 g ( x ) 在 [ ? a, a ] 上的最小值



a

?a

x ? t f ( t )dt , ( a > 0 )


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