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首都师范大学2007数学分析考试试卷


首都师范大学 2007 数学分析考试试卷 一 1.求极限 lim

tan x ? sin x x →0 sin 3 x
?1

1 ? ? 2.判断:当 x → 0 时函数 f ( x ) = ?1 + e x ? 的极限是否存在,说明理由 ? ?

二.用 ε ? δ 定义证明: lim

x2 ? 1 = ?2 x →1 3 x 2 ? 7 x + 4

三.设函数 f ( x ) 在 I = ( a, b ) 上连续, f ( x ) = 0, x ∈ I ,且对任意收敛数列 { xn } ? I ,数列

{ f ( x )} 都收敛且极限不为零
n

1.证明: lim f ( x ) 和 lim f ( x ) 都存在,且 lim f ( x ) ? lim f ( x ) > 0 + ? + ?
x→a x →b x→a x →b

2.证明:存在 C > 0 ,使得

1 ≤ C, x ∈ I f ( x)

四.设函数 f ( x ) 在 I = [ a, +∞ ) 上可导, f ( a ) = 0, f + ( a ) > 0 1.证明:存在 δ > 0 ,使得 f ( x ) > 0, x ∈ ( a, a + δ ) 2.证明:存在 ξ1 > a ,使得 f ′ (ξ1 ) > 0

( x ? 3) ,研究 f x 的如下性态 五.设 f ( x ) = ( ) 4 ( x ? 1)
2

1.求 f ( x ) 的单调区间和极值点 2.求 f ( x ) 的凸凹区间 3.求 f ( x ) 的渐近线方程,作 f ( x ) 的图像(要求标出图像与坐标轴的交点) 六.设 f ( x ) 在 [ a, +∞ ) 上单调递减,且无穷限积分 1.证明 f ( x ) ≥ 0, x ∈ [ a, +∞ ) 2.证明 f ( x ) = o ?
+∞

∫ f ( x ) dx 收敛
a

?1? ? ( x → +∞ ) ?x?

七.1.证明函数项级数

∑ ne
n =1



? nx

在 ( 0, +∞ ) 上收敛

2.证明

∑ ne
n =1



? nx

的和函数 S ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上连续

3.求 S ( x ) 八.计算第二型曲面积分

∫∫ zx dydz + ( x
2 S

2

y ? x3 ) dzdx + ( 2 xy + y 2 z ) dxdy ,其中曲面 S 是

z = a 2 ? x 2 ? y 2 ( a > 0 ) 和 z = 0 围成体的表面,外法线为正向
九.验证微分式

2 x (1 ? e y )

(1 + x )

2 2

dx +

ey dy , ( x, y ) ∈ R 2 存在原函数,并求它的原函数 2 1+ x

十.设 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上可导,且导函数 f ′ ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上一致连续,定义

f n ( x ) = n ? f ( x + n ?1 ) ? f ( x ) ? , x ∈ ( ?∞, +∞ ) , n = 1, 2, ??? ? ?
1.证明: f n ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上一致收敛于 f ′ ( x ) 2.证明:对任意 a, b ∈ ( ?∞, +∞ ) ,有 lim
n →∞ a

{

}



b

f n ( x ) dx = f ( b ) ? f ( a )
n →∞

十一.设函数 f ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 上一致连续,且对任意 x > 0 有 lim f ( x + n ) = 0 ( n 为正整数) 试证: lim f ( x ) = 0
x →∞


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