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山东省枣庄市2013届高三二模文科数学试题


二 O 一三届高三模拟考试 数学试题(文科)
2013.4 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 4 页.第 I 卷 1~3 页,第 II 卷 3~5 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂写在答 题卡上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,不能答在试卷上. 3.考试结束后,监考人员将答题卡和第 II 卷的答题纸一并收回. 参考公式:球的表面积 S ? 4? R2 , R 是球的半径. eax ?b

?

?? ? ae

ax ?b

, 这里a, b为实常数.

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1, 1.已知集合 A= ?0,2?,B = x x ? 2a, a ? A , 则A ? B 中元素的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知 i 是虚数单位,若纯虚数 z 满足 ? 2 ? i ? z ? 4 ? 2ai ,则实数 a 的值为 A. ?2 B.2 C. ?4 D.4

?

?

3.“ ?n ? N * , an?12 ? an an?2 ”是“数列 ?an ? 为等比数列”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4.已知函数 f ? x ? ? ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?log 2 x, x ? 0 ?3 ,
1 9
x

? 则f ? x ? 0, ?
D. ?9

? 1 ?? f ? ?? ? ? 4 ??

A.

1 9

B.9

C. ?

? x ? y ? 1 ? 0, ? 5.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则2 x ? y 的最大值为 ? x ? 0, ?
A.

1 2

B.0

C. ?1

D. ?

1 2

6.右图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 A.6 B.27 C.124 D.168 7.一名蓝球运动员在 5 场比赛中的得分为:14,16,21,24,25, 则这组数据的平均数与标准差分别为

-1-

A.18,18,8 C.20, 18.8

B.20,18.8 D.18, 18.8

8.若双曲线

1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? ?? b ? ? ? 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则此双 2 4 a b

曲线的渐近线方程为 A. y ? ?

15 x 15

B. y ? ? 15x

C. y ? ? 3x

D. y ? ?

3 x 3

9.如图所示是一几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为 A.3 ? B.4 ? C.8 ? D.9 ? 10. 已 知 A,B 是

?ABC

的 两 个 内 角 , 向 量

A? B A? B ? 6 ? a ? ? 2 cos ,sin , 则 tan A ? tan B ? ?,且 a ? 2 2 ? 2 ?
A.3 B.

1 3

C. ?3

D. ?

1 3

11.函数 y ? cos x ?

1 x 的大致图象为 2

12. 已知 函 数 f ? x ? 对任意x ? R都有f ? x ? 6? ? f ? x ? ? 2 f ?3? , y ? f ? x ?1? 的 图 象关 于点(1,0)对称,则 f ? 2013? ? A.10 B. ?5 C.0 D.5

-2-

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

注意事项:第 II 卷所有题目的答案须用 0.5mm 黑色签字笔答在“答题纸”指定的位置上。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知圆 C 经过 A ? 5,1? , b ?1,3? 两点,圆心 C 在 x 轴上,则圆 C 的标准方程为_________. 14.若对于任意的实数 x, ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是_________. 15.如图所示,墙上挂有一块边长为 2 的正方形木板,它的四个角的空白部分 都是以正方形的顶点为圆心,半径为 1 的扇形.某人向此木板投镖,假设每次 都能击中木板,且击中为________.
? 16. ?ABC 中 , AB ? 3, A ? 60 ,? A的 平 分 线 AD 交 边 BC 于 点 D , 且

???? 1 ???? ??? ? AD ? AC? ? AB ,则 AD 的长为__________. 3
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 12 分) 某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果 (人数分布)如下表:

按学历状况用分层抽样的方法在 35~55 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本, 将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率.

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos ??x ? ? ??? ? 0, ? ? ? ? 2? ? 为偶函数,且其图象上相邻最高点与最低 点之间的距离为 4 ? ? 2 . (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ?0, 4? ? 内的所有零点之和.

-3-

19.(本题满分 12 分) 一多面体的三视图和直观图如下图所示,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图 为直角梯形(尺寸如图所示)直观图中的平面 BEFC 水平放置. (1)求证:AE//平面 DCF; (2)当 AB ?

9 时,求该多面体的体积. 2

20.(本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足: 2 1 ? 2 2 ???? ? 2
a a an?1

? 2an ? 2n?1 ? 2, n ? N ? .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .若存在实数 ? ,使得 ? ? Tn ,试求出实数 ? an an?1

的最小值. 21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 f ? ?1? e
x?1

? x, e ? 2.7 .

(1)已知函数 f ? x ? 的解析式及单调区间; (2)若对任意的 x ? ? , ?? ? , 22.(本题满分 14 分) 已知抛物线 x ? 2 py 上点 ? 2, 2 ? 处的切线经过椭圆 E :
2

?1 ?2

e? ? e ? f ? x ? ? ? a ? ? x ? 1恒成立,求实数 a 的取值范围. 2? ? 2 ?

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个顶点. a 2 b2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过椭圆 E 的上顶点 A 的两条斜率之积为 ?4 的直线与该椭圆交于 B、C 两点.请问:是否存 在一点 D,使得直线 BC 恒过该点?若存在,请求出定点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,过点 A 作直线 BC 的垂线,垂足为 H,求点 H 的轨迹方程.

-4-

由题意, 又

? x1 ? x2 ? ? ?1 ? 1?
2

2

? 4 ? ? 2 , 解得 x1 ? x2 ? ?

1 2? 1 2? x1 ? x2 ? ? , 所以有 ? =? .解得? =1. ??????????????7 分 2 ? 2 ?

所以,

f ? x ? ? cos ? x ? ? ? ? ? cos x .????????????????????8 分
-5-

注:由

f ? x ? ? cos ??x ? ? ??? ? 0? 为偶函数,? ? ? ? 2? f ? x ? 在?0,4? ? 内的所有零点为:

,直接写出 ? = ? 不扣分.

(2)函数

? 3?
2 , 2

, 2? ?

?
2

, 2? ?

3? . ?????10 分 2

f ? x ? 在?0, ? 内的所有零点之和为 4?
19.(1)证法 1:过点 E 作 EG

?
2

?

3? ? ?? ? 3? ? ? 2? ? ? ? ? 2? ? 2 ? 2? ? 2

? ? =8? ?12 分 ?

? CF于G,连结DG.

由题设条件可得四边形 BCGE 为矩形,又 ABCD 为矩形, 所以 AD//EG,且 AD=EG. 从而四边形 ADGE 为平行四边形,故 AE//DG???4 分 又因为 AE ? 平面 DCF,DG ? 平面 DCF, 所以 AE//平面 DCF.??????????????6 分 证法 2:因为四边形 BEFC 为梯形,所以 BE//CF. 又因为 BE ? 平面 DCF, CF ? 平面 DCF, 所以 BE//平面 DCF.?????????????????????????2 分 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AB//DC.同理可证 AB//平面 DCF. 又因为 BE 和 AB 是平面 ABE 内的两相交直线, 所以平面 ABE//平面 DCF.??????????????????????4 分 又因为 AE ? 平面 ABE,所以 AE//平面 DCF?????????????6 分 (2) 由三视图知 AB ? 平面 BEFC,AD ? 平面 DCF, 所以 AB、 分别为四棱锥 A ? BEFC 和三棱锥 A-DCF AD 的高.??????????????????????7 分 在 Rt ?EGF 中,因为 EG ? 所以 ?GFE

BC ? 3, EF ? 2 ,

? 60? , 且GF ? 1.
? 90? , 故CF = EF 2 ? ? 4. cos ?CFE cos 60?

又因为 ?CEF

从而 BE=CG=3.????????????????9 分 多面体的体积 V=V 四棱锥 A-BEFC+V 三棱锥 A-DCF

1 1 ? S梯形BEFC AB ? S ?DCF ? AD 3 3

1 ?1 9? ? 9 1 ?1 = ? ? ? ?3 ? 4? ? 3 ? ? ? ? ? ? 4 ? ? ? 3 3 ?2 2? ? 2 3 ?2 =


33 3 4

.??????????????????????????????????12

-6-

-7-

-8-

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- 10 -


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