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2013高考数学一轮同步训练(文科) 11.2古典概型

第二节 古典概型 强化训练当堂巩固
1.一个袋中装有大小相同,编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球,从中有放回地每次取 一个球,共 取 2 次,则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为( ) A. 1

32

B. 1

64

C. 3

32

D. 3

64

答案:D 解析:两球编号之和不小于 15 的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8). 2.一枚硬币连掷 3 次,只有一次出现正面的概率是( ) A. 3

8

B. 2

3

C. 1

3

D. 1

4

答案:A 解析:一枚硬币连掷 3 次,共有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正, 正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)8 种情况,而只有一次出现正面的 情况有:(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)3 种情况,故 P ? 3 .

8

3.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现 的点数为 n,向量 p=(m,n),q=(-2,1),则向量 p ? q 的概率为 ( ) A. 1

18

B. 1

12

C. 1

9

D. 1

6

答案:B 解析:∵向量 p ? q,∴p ? q=-2m+n=0. ∴n=2m,满足条件的(m,n)有 3 个,分别为(1,2),(2,4),(3,6), ∴ P ? 3 ? 1 ? 故选 B.

36

12

4.设 l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能地取

?2 2 ? ? 3? ? 5 ? 0? 5 ? 3? 2 2 ? 则原点到 l 的距离小于 1 的概率是 2 2 6 答案: 7
解析:由点到直线的距离公式知,原点到过点(0,1)且斜率分别为

.

?2 2 ? ? 3? ? 5 ? 0? 5 ? 3? 2 2 的直线的距离分别为 1 ? 1 ? 2 ?1? 2 ? 1 ? 1 ? 即基本事件总 3 2 3 3 2 3 2 2
数为 7,而“原点到 l 的距离小于 1”这一事件包含 6 个基本事件,故原点到 l 的距离小 于 1 的概率为 6 .

7

5.(2011 广东五校联考)已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=a x 2 ? bx ? 1? 设集合 P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数 a 和 b 得到数对(a,b). (1)列举出所有的数对(a,b),并求函数 y=f(x)有零点的概率;〔提示:函数 y=f(x)有 零点 ? 方程 f(x)=0 有实数根〕 (2)求函数 y=f(x)在区间 [1? ??) 上是增函数的概率. 解:(1)(a,b)共有 (1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1), (3,2),(3,3),(3,4)共 15 种情况.因为函数 y=f(x)有零点,所以 ? ? b 2 ? 4a ? 0? 有 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共 6 种情况满足条件,所以函数 y=f(x)有零点 的概率为 6 ? 2 .

15

5

(2)函数 y=f(x)的对称轴为 x ? b ? 又 f(x)在区间 [1? ??) 上是增函数,则 b ? 1? 有

2a

2a

(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4)共 13 种情况满足条件. 所以函数 y=f(x)在区间 [1? ??) 上是增函数的概率为 13 .

15

课后作业巩固提升 见课后作业 A

题组一 基本事件的概念 1.下列试验是古典概型的是( ) A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽? B.口袋里有 2 个白球和 2 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同,从中任取一球 C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的 D.射击运动员向一靶盘进行射击,试验结果为,命中 10 环,命中 9 环,?,命中 0 环 答案:B 解析:A 中一粒种子“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的, 故不是古典概型;B 中适合古典概型的两个基本特征,即有限性和可能性;C 中该点落在圆 内任意一个位置是随机的,有无限多种可能,故不是古典概型;D 中射击运动员命中 10 环, 命中 9 环,?,命中 0 环,射中结果的概率一般不相等. 2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是 ( ) A. 1

6

B. 1

2

C. 1

3

D. 2

3
3

答案:C 解析:甲站在中间的情况有两种,而基本事件总共有 6 种,所以 P ? 1 . 3.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁 钉的概率是 ? ( ) A. 1

5

B. 1

4

C. 4

5

D. 1

10

答案:C 解析:方法一:从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合格铁钉(记 为事件 A)包含 8 个基本事件,所以所求概率为 P ( A) ? 8 ? 4 .

10

5

方法二:本题还可以用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合 格品(记为事件 A)与取到不合格品(记为事件 B)恰为对立事件,因此 P(A)=1-P ( B ) ? 1 ? 2 ? 4 .

10

5

题组二 简单的古典概型 4.如图所示,a、b、c、d 是四个处于断开状态的开关,任意将其中两个闭合,则电路 被接通的概率为( )

A.1

B. 1

2

C. 1

4

D.0

答案:B 解析:四个开关任意闭合 2 个,有 ab、ac、ad、bc、bd、cd 共 6 种方案,电路被接通 的条件是:①开关 d 必须闭合;②开关 a、b、c 中有一个闭合,即电路被接通有 ad、bd 和 cd 共 3 种方案,所以所求的概率是 P ? 3 ? 1 .

6

2

5.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随 机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为 . 答案: 1

5

解析:在 5 个长度中一次随机抽取 2 个,则有 (2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2 .7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9)共 10 种情况,满足长度恰好相差 0.3 m 的基本事件有 (2.5,2.8),(2.6,2.9)共 2 种情况,所以它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为

P? 2 ? 1. 10 5

6.在集合{x| x ? n? ? n ? 1? 2? 3,?,10}中任取一个元素,所取元素恰好满足

6

cos x ? 1 的概率是

2

.

答案: 1 5

解析:基本事件的个数为 10,其中只有 x ? ? 和 x ? 5? 时,cos x ? 1 ? 故其概率为

3

3

2

P ? 1. 5
题组三 复杂的古典概型 7.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6), 设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为 x,y,则满足复数 x+yi 的实部大于虚部的概 率是( ) A. 1

6

B. 5

12

C. 7

12

D. 1

3

答案:B 解析:由题意知 x=y 的概率是 1 ? 故 x ? y 的概率为 5 .

6

6

又 x>y 与 y>x 的概率相等,故 x>y 的概率为 P ? 5 .

12

8.盒子中有 5 个小球,其中 3 个红球,2 个白球,从盒子中任意取出两个球,则一个是 白球、另一个是红球的概率为( ) A. 3

10

B. 2

5

C. 1

3

D. 3

5

答案:D 解析:记红球为 a,b,c,白球为 A,B,则基本事件有 ab,ac,bc,AB,aA,aB,bA,bB,cA,cB 共 10 个,而一个白球、一个红球包含的基本事件有 6 个,所以 P ? 6 ? 3 ? 选 D.

10

5

9.设 a ? {1,2,3} ? b ? {2,4,6},则函数 y=log b 1 是增函数的概率为
a

x

.

答案: 1

6

解析: 1 在定义域内是减函数,要使函数 y=log b 1 是增函数,必须 b ? 1? 有 1 种 ? b 能

x

a

x

a

a

作底的有 6 种, P ? 1 ?.

6

10.考察正方体 6 个面的中心,从中任意选 3 个点连成三角形,再把剩下的 3 个点也连 成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于 . 答案:1 解析:由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为 1. 11.设有关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2ax ? b 2 ? 0 .若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的 一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 解:设事件 A 为”方程 x 2 ? 2ax ? b 2 ? 0 有实根”.当 a ? 0? b ? 0 时,方程

x 2 ? 2ax ? b 2 ? 0 有实根的充要条件为 ? ? 4a 2 ? 4b 2 ? 0 ? a ? b .
其中基本事件共 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2), 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.而事件 A 中包含 9 个基本事件,所 以事件 A 发生的概率为 P ( A) ? 9 ? 3 .

12

4

12.某商场举行抽奖大酬宾活动,从装有编号为 0,1,2,3 四个大小相同的小球的抽奖 箱中同时摸出两个小球,两个小球号码之和为质数的中三等奖,号码之和为合数的中二 等奖,号码之和既不是质数也不是合数的中一等奖. (1)求某顾客中三等奖的概率; (2)求某顾客至少中二等奖的概率. 解:(1)设“某顾客中三等奖”为事件 A,两个小球号码之和为质数有:(0,2)、 (0,3)、(1,2)、(2,3)四种摸法,即 A 所含的基本事件数为 4,而从四个小球中任摸两个 共有:(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六种不同的摸法,即事件总数为 6, ∴ P ( A) ? 4 ? 2 .

6

3

(2)方法一:设“某顾客至少中二等奖”为事件 B, ∵从四个小球中任摸两个,号码之和只有质数、合数和既不是质数也不是合数三种 情形,又顾客中奖为必然事件, ∴P(B)=1-P ( A) ? 1 ? 2 ? 1 .

3

3

方法二:设“某顾客中二等奖”为事件 B,“中一等奖”为事件 C, ∵两球号码之和为合数的只有:(1,3)一种摸法,∴ P ( B ) ? 1 .

6

∵两球号码之和既不是质数也不是合数只有(0,1)一种摸法,∴ P (C ) ? 1 .

6

∴某顾客至少中二等奖的概率 P=P(B)+P(C) ? 1 ? 1 ? 1 .? 6 6 3

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