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浙江卷高考真题汇编-三角恒等变换及解三角形(含答案)

浙江卷高考真题汇编

三角恒等变换及解三角形
1、 【2016 高考浙江卷理第 16 题】 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已 知 b ? c ? 2a cos B (Ⅰ)证明: A ? 2 B (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ?

a2 ,求角 A 的大小. 4

答案: (I)由正弦定理得 sin ? ? sin C ? 2sin ? cos ? , 故 2sin ? cos ? ? sin ?? sin ? ?? ?? ? sin ?? sin ? cos ?? cos ? sin ? , 于是 sin ? ? sin ? ???? . 又 ? , ?? ? 0, ? ? ,故 0 ? ? ? ? ? ? ,所以

? ? ? ? ? ? ? ?? 或 ? ? ? ? ? ,
因此 ? ? ? (舍去)或 ? ? 2? , 所以, ? ? 2? . (II)由 S ?

a2 1 a2 得 ab sin C ? ,学.科.网故有 4 2 4

1 sin ? sin C ? sin 2? ? sin ? cos ? , 2 因 sin ? ? 0 ,得 sin C ? cos ? .
又 ? , C ? ? 0, ? ? ,所以 C ? 当??C ? 当C?? ?

?
2

??.

? ?
2

时, ? ? 时, ? ? 或? ?

? ?
2 4

; .

2

综上, ? ?

?
2

?
4



2、 【2016 高考浙江卷文第 16 题】 (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已 知 b+c=2acos B. (Ⅰ)证明:A=2B; (Ⅱ)若 cos B=

2 ,求 cos C 的值. 3
1

答案: (1)由正弦定理得 sin B ? sin C ? 2sin A cos B , 故 2sin A cos B ? sin B ? sin( A ? B) ? sin B ? sin A cos B ? cos A sin B , 于是, sin B ? sin( A ? B) , 又 A, B ? (0, ? ) ,故 0 ? A ? B ? ? ,所以 B ? ? ? ( A ? B) 或 B ? A ? B , 因此, A ? ? (舍去)或 A ? 2 B , 所以, A ? 2 B . (2)由 cos B ?

2 1 5 2 ,得 sin B ? , cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ? , 3 9 3

故 cos A ? ?

1 4 5 , sin A ? , 9 9

cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ?

22 . 27

3、 【2015 高考浙江卷理第 16 题】 (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= 1、 2、 求 tanC 的值; 若 ?ABC 的面积为 7,求 b 的值。

? 2 2 1 2 ,b ? a = c . 2 4

答案: (1) 2 ; (2) b ? 3 .

2

4、 【2015 高考浙江卷文第 16 题】 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已 知 tan(

?
4

? A) ? 2 .

(1)求

sin 2 A 的值; sin 2 A + cos 2 A

(2)若 B ?

?

4

, a ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

答案:(1)

2 ;(2) 9 5

5、 【2014 高考浙江卷理第 18 题】 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知

a ? b, c ? 3 , cos2 A - cos2 B ? 3 sin A cos A - 3 sin B cos B.
(I)求角 C 的大小; (II)若 sin A ?

4 ,求 ?ABC 的面积. 5

答案: (I)由题意得,

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 3 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B ,即 2 2 2 2

3

3 1 3 1 sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 B ? cos 2 B , 2 2 2 2
sin(2 A ? ) ? sin(2 B ? ) ,由 a ? b 得, A ? B ,又 A ? B ? ? 0, ? ? ,得 2 A ? ? 2 B ? ? ? ,即 6 6 6 6 2? ? A? B ? ,所以 C ? ; 3 3 4 a c 8 3 ? (II)由 c ? 3 , sin A ? , 得 a ? ,由 a ? c ,得 A ? C ,从而 cos A ? ,故 5 sin A sin C 5 5

?

?

?

?

sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ? 1 8 3 ? 18 . S ? ac sin B ? 2 25

4?3 3 ,所以 ?ABC 的面积为 10

6、 【2014 高考浙江卷文第 18 题】 (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 4sin 2 (1)求角 C 的大小; (2)已知 b ? 4 , ?ABC 的面积为 6,求边长 c 的值.

A? B ? 4sin Asin B ? 2 ? 2 2

答案: (1)由已知得 2[1 ? cos(A ? B)] ? 4 sin Asin B ? 2 ? 2 , 化简得 ? 2 cos A cos B ? 2 sin A sin B ? 2 , 故 cos(A ? B) ? ?

3? 2 ,所以 A ? B ? , 4 2

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 C ? (2)因为 S ? ?

?
3

.

1 ? ab sin C ,由 S?ABC ? 6 , b ? 4 , C ? ,所以 a ? 3 2 , 2 3
2 2 2

由余弦定理得 C ? a ? b ? 2ab cosC ,所以 c ? 10 .

4

7、 【2013 高考浙江卷理第 6 题】已知α ?R,sin α +2cos α = 4 A. 3 3 C.? 4 答案:C 3 B. 4 4 D.? 3

10 ,则 tan2α = 2

2 2 sin α +4cos α +4sin α cos α 10 ? 10? 2 由(sin α +2cos α ) =? ? 可得 = ,进一步整理可得 3tan α ?8tan 2 2 sin α +cos α 4 ? 2 ? 2

2

1 2tan α 3 α ? 3=0,解得 tan α =3 或 tan α =? ,于是 tan2α = =? . 2 3 1? tan α 4 8、 【2013 高考浙江卷理第 16 题】 1 在△ABC,?C=90?,M 是 BC 的中点.若 sin?BAM= ,则 sin?BAC=. 3 6 3
2 2 2 2

答案:

设 BC=2a, AC=b, 则 AM= a +b , AB= 4a +b , sin?ABM= sin?ABC= = =

AC AB

b BM , 在△ABM 中, 由正弦定理 2 2 sin ?BAM 4a +b

AM a a2+b2 BC 2a 6 2 2 ,即 = ,解得 2a =b ,于是 sin?BAC= = = . sin?ABM 1 b AB 4a2+b2 3 3 4a2+b2

9、 【2013 高考浙江卷文第 18 题】 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2asinB= 3b . ks5u (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.ks5u 答案:

10、 【2012 高考浙江卷理第 18 题】
5

2 (本小题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= , 3

sinB= 5 cosC. (Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

答案:
2 5 (Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =
2 5 cosC+ sinC. 3 3

整理得:tanC= 5 . (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故 c ? 3 . (1) 对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b ? 3 orb= ∴ ? ABC 的面积为:S=
b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3
5 . 6

a c , ? sin A sin C

3 (舍去). 3

5 . 2

11、 【2012 高考浙江卷文第 18 题】 (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 答案: (1)? bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,即得 tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.

2 2 2 (2)? sinC=2sinA , 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , 由 余 弦 定 理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,

9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos

?
3

,解得 a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .

12、 【2011 高考浙江卷理第 18 题】 (本题满分 14 分)在 ? ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.
6

已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? , 且 ac ? (Ⅰ)当 p ?

1 2 b . 4

5 , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4

(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围; 答案: (Ⅰ)解:由题设并利用正弦定理,得 ?

?a ? c ? ? ac ?
1 4

5 4

解得 ?

?a ? 1 ?a ? 1 4 或? 1 c ? c ? 1 ? 4 ?
2 2 2

(Ⅱ)解:由余弦定理,b =a +c -2ac cosB 2 =(a+c) -2ac cosB
2 1 2 =p b - 1 即p ? 2 b ? 2 b cos B,
2 2

2

3 1 ? cos B, 2 2

因为 0 ? cos B ? 1, 得 p ? ( , 2) ,由题设知 p ? 0 ,所以
2

3 2

6 ? p? 2 2

7


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