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高考数学常用公式及结论203条


高考数学常用公式及结论 203 条

1. 元素与集合的关系 , 2.德摩根公式 . 3.包含关系 .

4.容斥原理

.

5. 集合 1 个;非空的真子集有

的子集个数共有 –2 个.

个; 真子集有

–1 个; 非空子集有



6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ;

(2)顶点式

;
1

(3)零点式

.

7.解连不等式

常有以下转化形式

.

8.方程



上有且只有一个实根,与

不等价,前者是后 有且只有一个实根

者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程



内,等价于

,或



,或



. 9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数 的两端点处取得,具体如下:

在闭区间

上的最值只能在

处及区间

(1)当 a>0 时,若

,则







.

2

(2)当 a<0 时,若 ,

,则 .

,若

,则

10.一元二次方程的实根分布 依据:若 ,则方程 在区间 内至少有一个实根 .



,则

(1)方程

在区间

内有根的充要条件为





(2)方程

在区间

内有根的充要条件为









(3)方程

在区间

内有根的充要条件为



.

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 的二次不等式 的子区间 (形如 , , 不同)上含参数 .

( 为参数)恒成立的充要条件是

(2)在给定区间 立的充要条件是

的子区间上含参数的二次不等式 .

( 为参数)恒成

3

(3) 12.真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真

恒成立的充要条件是



.

p或q p且q 真 真 真 假 真 假 假 假

13.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 反设词 不是 不都是 不大于 原结论 至少有一 个 至多有一 个 至少有 个 至多有 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( 个 小于 不小于 至少有( 个 对所有 , 存在某 , 成立 不成立 或 且 ) )

对任何 , 存在某 , 不成立 成立 且 或

14.四种命题的相互关系

4

15.充要条件 (1)充分条件:若 ,则 是 充分条件.

(2)必要条件:若

,则

是 必要条件.

(3)充要条件:若

,且

,则

是 充要条件.

注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 那么

上是增函数;

上是减函数.

(2)设函数 ,则

在某个区间内可导,如果 为减函数.

,则

为增函数;如果

5

17.如果函数 函数; 如果函数

和 和

都是减函数,则在公共定义域内,和函数

也是减

在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数

是增函数. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来, 如果一个函数的 图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么 这个函数是偶函数. 19.若函数 则 是偶函数, 则 . ; 若函数 是偶函数,

20.对于函数

(

),

恒成立,则函数

的对称轴是

函数

;两个函数



的图象关于直线

对称.

21.若 ,则函数

,则函数 为周期为

的图象关于点 的周期函数.

对称; 若

22.多项式函数

的奇偶性

多项式函数

是奇函数

的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数

是偶函数

的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数

的图象的对称性

(1)函数

的图象关于直线

对称

6

.

(2)函数

的图象关于直线

对称

. 24.两个函数图象的对称性 (1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.

(2)函数

与函数

的图象关于直线

对称.

(3)函数



的图象关于直线 y=x 对称.

25.若将函数 象;若将曲线 象.

的图象右移 、上移 个单位,得到函数 的图象右移 、上移 个单位,得到曲线

的图 的图

26.互为反函数的两个函数的关系 .

27.若函数

存在反函数,则其反函数为

,并不是

,而函数 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 ,



的反函数.

.

7

(2)指数函数

,

.

(3)对数函数

,

.

(4)幂函数

,

.

(5)余弦函数

,正弦函数





. 29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) ,则 的周期 T=a;

(2)









,



,则

的周期 T=2a;

(3)

,则

的周期 T=3a;

(4) 周期 T=4a;



,则



8

(5)

,则

的周期 T=5a;

(6) 30.分数指数幂

,则

的周期 T=6a.

(1)



,且

).

(2)



,且

).

31.根式的性质 (1) .

(2)当 为奇数时,



当 为偶数时, 32.有理指数幂的运算性质 (1) .

.

(2)

.

(3)

.

注:若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算 性质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
9

.

34.对数的换底公式

(

,且

,

,且

,

).

推论

(

,且

,

,且

,

,

).

35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) ;

(2)

;

(3)

.

36.设函数 则 检验. 37. 对数换底不等式及其推广 ,且 ;若 的值域为 ,则

,记 ,且

.若 .对于

的定义域为

,

的情形,需要单独



,

,

,

,则函数

(1)当

时,在





为增函数.

(2)当

时,在




10

为减函数.

推论:设





,且

,则

(1)

.

(2) 38. 平均增长率的问题

.

如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

,则对于时间 的总产值 ,有

( 数列 40.等差数列的通项公式

的前 n 项的和为

).

; 其前 n 项和公式为

. 41.等比数列的通项公式

; 其前 n 项的和公式为

11



.

42.等比差数列

:

的通项公式为

; 其前 n 项和公式为

. 43.分期付款(按揭贷款)

每次还款 44.常见三角不等式

元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).

(1)若

,则

.

(2) 若

,则

.

(3)

.

45.同角三角函数的基本关系式

12



=



.

46.正弦、余弦的诱导公式

47.和角与差角公式 ;

;

.

(平方正弦公式);

.

=

(辅助角 所在象限由点

的象限决

定,

). 48.二倍角公式 .

13

.

. 49. 三倍角公式

.

.

. 50.三角函数的周期公式 函数 ,x∈R 及函数 ,x∈R(A,ω , 为常数,且 A≠0,

ω >0)的周期

; 函数



(A,ω , 为常数, A≠0, 且

ω >0)的周期 51.正弦定理

.

. 52.余弦定理 ;

;

14

. 53.面积定理

(1)



分别表示 a、b、c 边上的高).

(2)

.

(3) 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有

.

. 55. 简单的三角方程的通解 .

.

. 特别地,有 .

.

15

. 56.最简单的三角不等式及其解集 .

.

.

.

.

. 57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( a)·b= (a·b)= a·b= a·( b);

(3)(a+b)·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理

16

如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有 且只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ,且 b 0,则 a b(b 0) .

53. a 与 b 的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ .
61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ,b= ,则 a+b= .

(2)设 a=

,b=

,则 a-b=

.

(3)设 A

,B

,则

.

(4)设 a=

,则 a=

.

(5)设 a=

,b=

,则 a·b=

.

63.两向量的夹角公式

(a= 64.平面两点间的距离公式

,b=

).

=

17

(A 65.向量的平行与垂直 设 a= ,b=

,B

).

,且 b 0,则

A||b

b=λ a

.

a

b(a 0)

a·b=0

.

66.线段的定比分公式 设 , , 是线段 的分点, 是实数,且 ,则

( 67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为

).





,则△ABC 的重心的坐

标是 68.点的平移公式

.

.

18

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 坐标为 .

上的对应点为

,且



69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 按向量 a= 平移后得到点 .

(2) 函数 为 .

的图象

按向量 a=

平移后得到图象

,则

的函数解析式

(3) 图象 解析式为

按向量 a= .

平移后得到图象

,若

的解析式

,则

的函数

(4)曲线

: .

按向量 a=

平移后得到图象

,则

的方程为

(5) 向量 m=

按向量 a=

平移后得到的向量仍然为 m=

.

70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 为 所在平面上一点,角 所对边长分别为 ,则

(1)



的外心

.

(2)



的重心

.

(3)



的垂心

.

(4)



的内心

.

19

(5)





的旁心

.

71.常用不等式: (1) (当且仅当 a=b 时取“=”号).

(2)

(当且仅当 a=b 时取“=”号).

(3) (4)柯西不等式

(5) 72.极值定理 已知 都是正数,则有

.

(1)若积

是定值

,则当

时和

有最小值



(2)若和

是定值 ,则当

时积

有最大值

.

推广 已知

,则有

(1)若积

是定值,则当

最大时,

最大;



最小时,

最小.

(2)若和

是定值,则当

最大时,
20

最小;



最小时,

最大.

73.一元二次不等式 同号,则其解集在两根之外;如果 与 间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. ;

,如果 与 异号,则其解集在两根之

. 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

.

或 75.无理不等式

.

(1)

.

(2)

.

(3) 76.指数不等式与对数不等式 (1)当 时,

.

21

;

. (2)当 时,

;

77.斜率公式

( 78.直线的五种方程 (1)点斜式



).

(直线 过点

,且斜率为 ).

(2)斜截式

(b 为直线 在 y 轴上的截距).

(3)两点式

(

)(



(

)).

(4)截距式

(

分别为直线的横、纵截距,

)

(5)一般式 79.两条直线的平行和垂直

(其中 A、B 不同时为 0).

22

(1)若





;



.

(2)若

,

,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,





② 80.夹角公式



(1)

.

(



,

)

(2)

.

(

,

,

).

直线

时,直线 l1 与 l2 的夹角是

.

81.

到 的角公式

(1)

.

23

(



,

)

(2)

.

(

,

,

).

直线

时,直线 l1 到 l2 的角是

.

82.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点 是待定的系数; 经过定点 的系数. 的直线系方程为 的直线系方程为 (除直线 ,其中 ),其中 是待定

(2)共点直线系方程:经过两直线 系方程为

, (除 ),其中λ 是待定的系数.

的交点的直线

(3)平行直线系方程:直线 线系方程.与直线 参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 ,λ 是参变量. 83.点到直线的距离

中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直 平行的直线系方程是 ( ),λ 是

(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是

(点

,直线 :

).

84.



所表示的平面区域
24

设直线

,则



所表示的平面区域是:



,当



同号时,表示直线 的上方的区域;当



异号时,表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.



,当



同号时,表示直线 的右方的区域;当



异号时,表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

85.



所表示的平面区域

设曲线



),则



所表示的平面区域是:

所表示的平面区域上下两部分;

所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 .

(2)圆的一般方程

(

>0).

(3)圆的参数方程

.

(4)圆的直径式方程 、 87. 圆系方程
25

(圆的直径的端点是

).

(1)过点

,

的圆系方程是

,其中 λ 是待定的系数.

是直线

的方程,

(2)过直线 :

与圆

: ,λ 是待定的系数.

的交点的圆系方程是

(3) 过圆 系方程是

:

与圆

:

的交点的圆 ,λ 是待定的系数.

88.点与圆的位置关系 点 与圆 的位置关系有三种

若 点 在圆外;

,则 点 在圆上; 点 在圆内.

89.直线与圆的位置关系 直线 与圆 的位置关系有三种:

;

;

.

26

其中

.

90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,

;

;

;

;

. 91.圆的切线方程 (1)已知圆 .

①若已知切点

在圆上,则切线只有一条,其方程是

.

当 点弦方程.

圆外时,

表示过两个切点的切

②过圆外一点的切线方程可设为 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线.

, 再利用相切条件求 k, 这时必

27

③斜率为 k 的切线方程可设为

,再利用相切条件求 b,必有两条切线.

(2)已知圆



①过圆上的

点的切线方程为

;

②斜率为 的圆的切线方程为

.

92.椭圆

的参数方程是

.

93.椭圆

焦半径公式

, 94.椭圆的的内外部

.

(1)点

在椭圆

的内部

.

(2)点

在椭圆

的外部

.

95. 椭圆的切线方程

(1)椭圆

上一点

处的切线方程是

.

(2)过椭圆

外一点

所引两条切线的切点弦方程是

28

.

(3)椭圆

与直线

相切的条件是

.

96.双曲线

的焦半径公式

, 97.双曲线的内外部

.

(1)点

在双曲线

的内部

.

(2)点

在双曲线

的外部

.

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为

渐近线方程:

.

(2)若渐近线方程为

双曲线可设为

.

(3)若双曲线与 轴上,

有公共渐近线,可设为



,焦点在 x

,焦点在 y 轴上).

99. 双曲线的切线方程

29

(1)双曲线

上一点

处的切线方程是

.

(2)过双曲线

外一点

所引两条切线的切点弦方程是

.

(3)双曲线 .

与直线

相切的条件是

100. 抛物线

的焦半径公式

抛物线

焦半径

.

过焦点弦长

.

101.抛物线 .

上的动点可设为 P



P

,其中

102.二次函数

的图象是抛物线:(1)顶

点坐标为

;(2)焦点的坐标为

;(3)准线方程是

.

30

103.抛物线的内外部 (1)点 在抛物线 的内部 .



在抛物线

的外部

.

(2)点

在抛物线

的内部

.



在抛物线

的外部

.

(3)点

在抛物线

的内部

.



在抛物线

的外部

.

(4) 点

在抛物线

的内部

.



在抛物线

的外部

.

104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 上一点 处的切线方程是 .

(2)过抛物线

外一点

所引两条切线的切点弦方程是

.

(3)抛物线 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 ,

与直线

相切的条件是

.

的交点的曲线系方程是

( 为参数).

31

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 时,表示椭圆; 当

,其中

.当

时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式



(弦端点

A

, 由方程

消去 y 得到



, 为直线

的倾斜角, 为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题

(1)曲线

关于点

成中心对称的曲线是

.

(2)曲线

关于直线

成轴对称的曲线是

. 108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线

,用



,用



,用



,用

代 ,用



即得方程

,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中 点方程均是此方程得到.

109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点;

32

(2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径
33

(1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面 体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b 三点共线 存在实数λ 使 a=λ b. .

、 118.共面向量定理

共线且

不共线



不共线.

向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的

存在实数对

,使



推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的

存在有序实数对

,使



或对空间任一定点 O,有序实数对

,使

.

119.对空间任一点 ( 时,若 共面. ),则当

和不共线的三点 A、B、C,满足 时,对于空间任一点 ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不

平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若

34

四点共面





共面

( 120.空间向量基本定理

平面 ABC).

如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数 组 x,y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x,y,z,使 121.射影公式 已知向量 点在 上的射影 =a 和轴 ,e 是 上与 同方向的单位向量.作 A 点在 上的射影 ,则 ,作 B .

〈a,e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 设 a= ,b= 则

(1)a+b=



(2)a-b=



(3)λ a=

(λ ∈R);

(4)a·b=



123.设 A

,B

,则

35

= 124.空间的线线平行或垂直 设 , ,则

.

; . 125.夹角公式 设 a= ,b= ,则

cos〈a,b〉=

.

推论 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 中, 与 所成的角为 ,则

,此即三维柯西不等式.

. 127.异面直线所成角

=

36

(其中 ( 128.直线

)为异面直线 与平面所成角

所成角,

分别表示异面直线

的方向向量)

(

为平面 的法向量).

129.若 成的角分别是

所在平面若 、 ,

与过若 为

的平面

成的角 ,另两边

,

与平面

的两个内角,则

.

特别地,当

时,有

.

130.若 成的角分别是

所在平面若 、 , 为

与过若

的平面

成的角 ,另两边

,

与平面

的两个内角,则

.

特别地,当

时,有

.

131.二面角

的平面角

或 132.三余弦定理



, 为平面 ,

的法向量).

37

设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 与 AC 所成的角为 ,AO 与 AC 所成的角为 .则 .

,AB

133. 三射线定理 若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 面角的棱所成的角是θ ,则有 , ; ,与二

(当且仅当 134.空间两点间的距离公式 若A ,B ,则

时等号成立).

= 135.点 到直线 距离

.

(点 136.异面直线间的距离

在直线 上, 直线 的方向向量 a=

, 向量 b=

).

( 间的距离).

是两异面直线,其公垂向量为 ,

分别是

上任一点, 为

137.点

到平面 的距离

( 为平面 的法向量, 138.异面直线上两点距离公式

是经过面 的一条斜线,

).

38

.

.

( (两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 两点 E、F, , , ).

). 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取

139.三个向量和的平方公式

140. 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 分别为 ,则有

,夹角

. (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

.

(平面多边形及其射影的面积分别是 、 142. 斜棱柱的直截面

,它们所在平面所成锐二面角的为 ).

39

已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是 和面积分别是 和 ,则



,它的直截面的周长



.



.

143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面 面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多 边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱 锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F).

(1)

=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 的多边形,则面数

F 与棱数 E 的关系:



(2)若每个顶点引出的棱数为 146.球的半径是 R,则

,则顶点数 V 与棱数 E 的关系:

.

其体积

,

其表面积



40

147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角 线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积

,外接球的半径为

.

( 是柱体的底面积、 是柱体的高).

( 是锥体的底面积、 是锥体的高). 149.分类计数原理(加法原理) . 150.分步计数原理(乘法原理) . 151.排列数公式

=

=

.( ,

∈N*,且

).

注:规定

.

41

152.排列恒等式 (1) ;

(2)

;

(3)

;

(4)

;

(5)

.

(6) 153.组合数公式

.

=

=

=

( ∈N*,

,且

).

154.组合数的两个性质 (1) = ;

(2)

+

=

.

注:规定

.

155.组合恒等式

(1)

;

42

(2)

;

(3)

;

(4)

=

;

(5)

.

(6)

.

(7)

.

(8)

.

(9)

.

(10) 156.排列数与组合数的关系 . 157.单条件排列 以下各条的大前提是从 个元素中取 (1)“在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 (着眼位置)

.

个元素的排列.

种;②某(特)元不在某位有 (着眼元素)种.

(补集思想)

43

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴: 个元在固定位的排列有 种.

②浮动紧贴: 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 题常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( 的一组互不能挨近的所有排列数有 (3)两组元素各相同的插空 个大球 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 种.

种.注:此类问

),把它们合在一起来作全排列,k 个



时,无解;当

时,有

种排法.

(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 . 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给 个人,各得 件,其分

配方法数共有 (2)(平均分组无归属问题)将相异的 其分配方法数共有
·

. 个物体等分为无记号或无顺序的 堆,

.

44

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的 件必须被分完,分别得到 , ,?, 件,且 , ,?,

个物体分给 这

个人,物

个数彼此不相等,

则其分配方法数共有

.

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 物件必须被分完,分别得到 , ,?, 件,且 , ,?,

个物体分给 这

个人,

个数中分别有

a、b、c、?个相等,则其分配方法数有

.

(5)(非平均分组无归属问题)将相异的 ,?, 件无记号的 堆,且 , ,?, 这

个物体分为任意的



个数彼此不相等,则其分配方法

数有

.

(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 , ,?, 件无记号的 堆,且 , ,?, 这

个物体分为任意的 个数中分别有 a、b、c、?

个相等,则其分配方法数有

.

(7)(限定分组有归属问题)将相异的 丙,??等 则无论 ,



)个物体分给甲、乙、 件,乙得 件,丙得 件,?时,

个人,物体必须被分完,如果指定甲得 ,?, 等

个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

. 159.“错位问题”及其推广

45

贝努利装错笺问题:信 封信与 个信封全部错位的组合数为

. 推广: 个元素与 个位置,其中至少有 个元素错位的不同组合总数为

.

160.不定方程

的解的个数

(1)方程



)的正整数解有

个.

(2) 方程



)的非负整数解有

个.

(3) 方程 负整数解有 个.



)满足条件

(

,

)的非

(4) 方程 有



)满足条件

( 个.

,

)的正整数解

161.二项式定理 二项展开式的通项公式 . 162.等可能性事件的概率

;

46

. 163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率

168.离散型随机变量的分布列的两个性质

(1)

;

(2) 169.数学期望

.

170.数学期望的性质

(1)

.

(2)若 ~

,则

.

47

(3) 若 服从几何分布,且

,则

.

171.方差

172.标准差 = .

173.方差的性质

(1)



(2)若 ~

,则

.

(3) 若

服从几何分布,且

,则

.

174.方差与期望的关系

. 175.正态分布密度函数

,式中的实数μ , 平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数



>0)是参数,分别表示个体的

.

177.对于

,取值小于 x 的概率
48

.

.

178.回归直线方程

,其中 179.相关系数

.

. |r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

(1)

.

(2)
49

.

(3) 181. 函数的极限定理



无穷等比数列

(

)的和).

. 182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足:

(1)

;

(2)

(常数),



. 本定理对于单侧极限和 183.几个常用极限 的情况仍然成立.

(1)





);

(2)



.

184.两个重要的极限

(1)



(2)

(e=2.718281845?).

185.函数极限的四则运算法则

50





,则

(1)



(2)

;

(3)

.

186.数列极限的四则运算法则



,则

(1)



(2)



(3)

(4)

( c 是常数).

187.



处的导数(或变化率或微商)

. 188.瞬时速度

. 189.瞬时加速度

51

.

190.



的导数

.

191. 函数

在点

处的导数的几何意义

函数

在点

处的导数是曲线

在 .

处的切线的斜率

,相应的切线方程是 192.几种常见函数的导数 (1) (C 为常数).

(2)

.

(3)

.

(4)

.

(5)



.

(6)

;

.

193.导数的运算法则 (1) .

52

(2)

.

(3) 194.复合函数的求导法则 设函数 导数

.

在点 处有导数 ,则复合函数 .

,函数 在点 处有导数,且

在点 处的对应点 U 处有 ,或写作

195.常用的近似计算公式(当

充小时)

(1)

;



(2)





(3)



(4)



(5)

( 为弧度);

(6)

( 为弧度);

(7)

( 为弧度)

196.判别

是极大(小)值的方法

53

当函数

在点

处连续时,

(1)如果在

附近的左侧

,右侧

,则

是极大值;

(2)如果在

附近的左侧

,右侧

,则

是极小值.

197.复数的相等 .( )

198.复数

的模(或绝对值)

=

=

.

199.复数的四则运算法则 (1) ;

(2)

;

(3)

;

(4) 200.复数的乘法的运算律 对于任何 ,有

.

交换律:

.

结合律:

.

54

分配律:

.

201.复平面上的两点间的距离公式

( 202.向量的垂直 非零复数 ,



).

对应的向量分别是



,则

的实部为零

为纯虚数

(λ 为非零实 数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ,

①若

,则

;

②若

,则

;

③若

,它在实数集

内没有实数根;在复数集

内有且仅有两个共

轭复数根

.

55


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