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湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联合考试数学(理)试题(1)


湖北省 孝感高中 2013 届高三上学期期末联合考试 理科数学
命题学校:黄冈中学 考试时间:2013 年 1 月 30 日 15:00——17:00 150 分 试卷满分:

黄冈中学

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,复数 z 满足 zi ? 2 ? i ,则 z 等于( ) A. 2 ? i B. ?2 ? i C. 1? 2i D. 1? 2i 2.设集合 U ? {( x, y) | x ? R, y ? R}, A ? {( x, y) | 2 x ? y ? m ? 0}, B ? {( x, y ) | x ? y ? n ? 0} ,那 么点 P(2,3) ? A ? (?U B) 的充要条件是( )

A. m ? ?1 且 n ? 5 B. m ? ?1 且 n ? 5 C. m ? ?1 且 n ? 5 D.m ? ?1 且 n ? 5 3.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中随机地取一点 P,则点 P 与正方体各表面的 距离都大于 A.
1 27 a 的概率为( 3


1 16

B.

C.

1 9

D.

1 3

4.设曲线 y ? x 2 与直线 y ? x 所围成的封闭区域的面积为 S ,则下列等式成立的是( A. S ? ?0 ( x 2 ? x)dx C. S ? ?0 ( y 2 ? y )dy
1 1

)

B. S ? ?0 ( x ? x 2 )dx D. S ? ?0 ( y ? y )dy )
1

1

开始
i ? 1, m ? 0, n ? 0

5.函数 f ( x) ? 2x ? lg( x ? 1) ? 2 的零点的个数为(

i ? 4?

否 输出 n 结束

A.0 B.1 C.2 D.3 6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果 是( ) A. C.
1 2


i ? i ?1
m ? m ?1
n ? n? 1 m?i

B.

2 3

3 4 D. 4 5 7.设函数 y ? f ( x) 在定义域内的导函数为 y ? f ?( x) ,若 y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则 y ? f ?( x) 的图象可能为( )

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8.已知两不共线向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,则下列说法不正确的是( ...



A. | a |?| b |? 1 B. (a ? b) ? (a ? b) C. a 与 b 的夹角等于 ? ? ? D. a 与 b 在 a ? b 方向上的投影相等 9.已知直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0(C1 ? 0) 与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0(C2 ? 0) 交于点 M, O 为坐标原点,则直线 OM 的方程为( A. ( B. ( C. (
A1 A2 B B ? )x ? ( 1 ? 2 ) y ? 0 C1 C2 C1 C2 A1 A2 B B ? )x ? ( 1 ? 2 ) y ? 0 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C C ? )x ? ( 1 ? 2 ) y ? 0 A1 A2 B1 B2 C1 C2 C C ? )x ? ( 1 ? 2 ) y ? 0 A1 A2 B1 B2



D. (

10. 若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三 角形,则该几何体的外接球的表面积为( ) A. 10? B. 25? C. 50? D. 100? 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必考题(11~14 题) 11.为了了解某校高三男生的身体状况, 抽查了部分男生的体重,将所得数据整理后, 画出了频率分布直方图(如右图) .已知图中 从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1﹕2﹕ 3,第 2 小组的频数为 12,则被抽查的男生的 人数是 . 12 .若 x ?

?
8

是 函 数 f ( x) ? a si n x? b cosx . .

? (a、b 均为常数)图象的一条对称轴,则 f ( ) 的值为 8

13.在 (1 ? ax)2 (1 ? x)6 的展开式中, x 3 项的系数为 ?16 ,则实数 a 的值为
? ? , z ? x ? 2 y ,则 z 的取值范围是 2 ?sin x ? y ? cos x, ? 0? x?

?

14.若 ?



(二)选考题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题作答结 果计分) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图,已知在△ABC 中, ?B ? 90? .O 是 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径的圆与 AB 交于点 E, AC 切于点 D,AD ? 2, AE ? 1 , CD 的长为 与 则 . 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线
C1 : ? ( 2 cos ? ? sin ? ) ? 1 与曲线 C2 : ? ? a( a ? 0) 的一个交点在极

轴上,则 a 的值为
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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | . (1)解关于 x 的不等式 f ( x)? | 3x ? 4 |? 1 ; (2)若 f ( x)? | x ? a |? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的一段图象如图所示. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x) ? cos 3x, h( x) ? f ( x)?g ( x) ,求函数 h( x) 的单调递增区间.
y 2

O

?
12

? 4

x

19. (本小题满分 12 分) 在公园游园活动中有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球,乙箱子里 装有 1 个白球和 2 个黑球, 这些球除颜色外完全相同; 每次游戏都从这两个箱子里各随机地 摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (1)在一次游戏中:①求摸出 3 个白球的概率;②求获奖的概率; (2)在两次游戏中,记获奖次数为 X :①求 X 的分布列;②求 X 的数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 如图, 四边形 PCBM 是直角梯形,?PCB ? 90? ,PM ∥ BC ,PM ? 1, BC ? 2 . AC ? 1 , 又 ?ACB ? 120?, AB ? PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60? . (1)求证: PC ? AC ; (2)求二面角 M ? AC ? B 的余弦值; (3)求点 B 到平面 MAC 的距离.

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21. (本小题满分 13 分) 已知斜率为 ?2 的直线 l1 与椭圆 C :
x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 交于 A, B 两点,且线段 AB 的中点为 a2

1 1 E ( , ) .直线 l2 与 y 轴交于点 M (0, m)(m ? 0) ,与椭圆 C 交于相异两点 P, Q ,O 为坐标原点, 2 2 ???? ? ???? ??? ? ? ???? ???? ? 且 PM ? ? MQ, OP ? ?OQ ? 4OM , ? ? R .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 ? 的值; (3)求 m 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分) 在数列 {an }(n ? N* ) 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 满足 nSn ?1 ? (n ? 3)Sn ? 0 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? 4( (3)求证:
an 2 ) ,求数列 {(?1)n bn } 的前 n 项和 Tn ; n

1 ? an 1 ? a1 1 ? a2 ? ? ?? ?9. a1 a2 an

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黄冈中学 湖北省 孝感高中
1.D 解析:∵ z ? 2.A

2013 届高三上学期期末联合考试 理科数学参考答案

2 ? i (2 ? i)i 2i ? 1 . ? ? ? 1 ? 2i ,∴选择“D” i ?1 i2
?2 ? 2 ? 3 ? m ? 0, ?m ? ?1, 得? ? 2 ? 3 ? n ? 0, ? n ? 5.

解析:∵ P(2,3) ? A ? (?U B) ,∴ P(2,3) ? A ,且 P(2,3) ? B ,∴ ? 故选择 A. 3.A 解析:符合条件的点 P 落在棱长为
a ( )3 1 P ? 33 ? .故选 A. 27 a

a 的正方体内,根据几何概型的概率计算公式得 3

4.B 解析:将曲线方程 y ? x 2 与直线方程 y ? x 联立方程组,解得 x ? 0 或 x ? 1 .结合图形可 知选项 B 正确. 5.B 1 0 1 ? 解析:方法 1:∵ f (0) ? ? ?, ()f lg2 0 ? ,∴ f ( x) 在 (0,1) 内必有一个零点.又∵ f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数,∴ f ( x) 有且仅有 1 个零点. 方法 2:由 f ( x) ? 0 得 lg( x ? 1) ? ?2x ? 2 .作出函数 g ( x) ? lg( x ? 1) 与 h( x) ? ?2 x ? 2 的图象, 知两函数的图象有且仅有一个交点,即方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个根,即函数 f ( x) 有且仅有 一个零点. 6.C 解析:
1 1 1 3 ? ? ? .故选 C. 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4

7.D 解析:∵当 x ? 0 时,函数 f ( x) 为增函数,∴当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .又∵当 x ? 0 时,随 着 x 的增大,函数值先递增,再递减,最后又递增,∴选择“D” . 8.C 解析:①A 显然正确. ②∵ (a ? b) ? (a ? b) ?| a |2 ? | b |2 ? 0 ,∴ (a ? b) ? (a ? b) ,∴B 正确.
a ?b ? a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) . | a |?| b| 当 ? ? ? ? [0, ? ] 时, ? a, b ?? ? ? ? ;当 ? ? ? ? [0, ? ] 时, ? a, b ?? ? ? ? .故 C 不正确.

③ cos ? a, b ??

④∵

a ? (a ? b) b ? (a ? b) ? ?| a |2 ?a ? b ? a ? b? | b |2 ?| a |?| b | ,∴D 正确. | a?b| | a ?b|

故选择“C” . 9.A

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l 解析:1 : 1 x ?

A C1

B1 A A B B A B y ? 1 ? 0 ,2 : 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , l 两式相减得 ( 1 ? 2 ) x ? ( 1 ? 2 ) y ? 0 . C1 C1 C2 C1 C2 C2 C2

∵点 O、M 的坐标都满足该直线的方程,∴点 O、M 都在该直线上,∴直线 OM 的方程 为(
A1 A2 B B ? ) x ? ( 1 ? 2 ) y ? 0 .故选“A” . C1 C2 C1 C2

10.C 解析:该几何体是三棱锥,将该三棱锥视为长方体的一个角,得长方体的体对角线的长 为 32 ? 42 ? 55 ? 5 2 ,∴三棱锥的外接球,即长方体的外接球的半径为
5 2 ,∴球的表面 2

积为 50? ,选择“C” . 11.48 解析:设被抽查的男生的人数为 n .∵后两组的频率之和为 (0.0125 ? 0.0375) ? 5 ? 0.25 , ∴前三组的频率之和为 0.75 .又∵前三组的频数分别为 6,12,18 ,∴
n ? 48 .
6 ? 12 ? 18 ? 0.75 ,得 n

12. ? a 2 ? b2

? 解析:∵对称轴经过函数图象的最高点或最低点,∴ f ( ) ? ? a 2 ? b2 . 8
13.2 或 3 3 5 解析:展开式中 x 3 的系数为 C6 ? 2aC64 ? a 2C6 ? ?16 ,∴ a 2 ? 5a ? 6 ? 0 ,得 a ? 2 或 3.
? 3] 6 解析:作出可行域如图所示.直线 x ? 2 y ? z 与 y 轴交于点

14. [0,

?

z ? (0, ) .设直线 x ? 2 y ? z 与曲线 y ? cos x(0 ? x ? ) 相切于点 2 2

? 3 1 ? A.∵由 y? ? ? sin x ? ? 得 x ? ,∴ A( , ) ,代入 x ? 2 y ? z 6 2 2 6

得z?

?
6

? 3 .将 O(0, 0) 代入 x ? 2 y ? z 得 z ? 0 .故 z 的取值范围为 [0,

?
6

? 3] .

15.3 解析:∵ AD 2 ? AE ? AB ,∴ AB ?
AD2 ? 4 .设 CD ? x ,则 CB ? x .∵ AB 2 ? BC 2 ? AC 2 , AE

∴ 42 ? x 2 ? ( x ? 2)2 ,得 x ? 3 ,即 CD ? 3 . 16.
2 2

解析:将极坐标方程化为普通方程,得 C1 : 2 x ? y ? 1 ? 0, C2 : x2 ? y 2 ? a 2 .在 C1 中,令
y ? 0 ,得 x ?

2 2 2 ,再将 ( ,0) 代入 C2 得 a ? . 2 2 2
x ? ?2, ? ?( x ? 2) ? (3 x ? 4) ? 1, ?

17.解: (1)由 f ( x)? | 3x ? 4 |? 1 得 | x ? 2 | ? | 3x ? 4 |? 1 ,即 ?

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或?

? ?

4 4 ? ?2 ? x ? , x? , 3 5 ? 或? 得解集为 {x | x ? , 或x ? } . 分) (6 3 3 4 2 ?( x ? 2) ? (3x ? 4) ? 1, ?( x ? 2) ? (3x ? 4) ? 1, ? ?

(2)方法 1:在数轴上,设点 A, B , M 对应的实数分别为 ?2, a, x ,则“ f ( x)? | x ? a |? 1 恒 成立” ? “ | x ? 2 | ? | x ? a |? 1 恒成立” ? “ | MA | ? | MB |? 1 恒成立” .∵ | MA | ? | MB | 的最小 值为 | AB | ,即 | a ? 2 | ,∴ | a ? 2 |? 1 ,得 a ? 2 ? 1 ,或 a ? 2 ? ?1,即 a ? ?1,或 a ? ?3 . 方法 2:由绝对值三角不等式得 | x ? 2 | ? | x ? a |?| ( x ? 2) ? ( x ? a) |?| a ? 2 | ,∴ | a ? 2| ?1 ,得 (12 分) a ? ?1,或 a ? ?3 .
2? ? ? ? 2 ? ? 18.解: (1)∵ T ? 4( ? ) ? ,∴ ? ? ? 3 ,∴ f (x) ? 2sin(3 x ?) .∵点 ( , 2) 在 T 12 4 12 3

图象上,∴ 2sin(3 ?

?
12

? ? ) ? 2 ,即 sin( ? ? ) ?1 ,∴ ? ? ? 2k? ? ( k ? Z) ,即 ? ? 2k? ? . 4 4 2 4

?

?

?

?

? 故 f ( x) ? 2sin(3x ? ) . 分) (6 4

? ? ? (2)h( x) ? 2sin(3x ? ) cos3x ? 2(sin 3x cos ? cos3x sin ) cos3x ? 2(sin 3x cos3x ? cos2 3x) 4 4 4
? ? ? 2 ? 2 .由 2k? ? ? 6 x ? ? 2k? ? (k ? Z) 得函数 h( x) 的 (sin 6 x ? cos6 x ? 1) ? sin(6 x ? ) ? 2 4 2 2 4 2 k? ? k? ? 单调递增区间为 [ ? , (12 分) ? ](k ? Z) . 3 8 3 24 19.解: (1)记“在一次游戏中摸出 k 个白球”为事件 Ak (k ? 0,1, 2,3) .
?

① P ( A3 ) ?

1 C32 C2 1 ? . 分) (3 C52 C32 5 2 1 1 1 C32 C2 ? C3C2 C2 1 7 ? ? . 分) (6 5 10 C52 C32

② P( A2 ? A3 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? (2) P( X ? 0) ? ① X 的分布列为
X
P

3 3 9 3 21 7 7 49 1 7 . 分) (9 ? ? , P( X ? 1) ? C2 ? ? , P( X ? 2) ? ? ? 10 10 100 10 10 50 10 10 100

0
9 100

1
21 50

2
49 100

② X 的数学期望 E( X ) ? 0 ? 【或:∵ X ? B(2,

9 21 49 7 (12 分) ? 1? ? 2 ? ? . 100 50 100 5

7 7 7 ) ,∴ E ( X ) ? 2 ? ? 】 10 10 5

20.解:方法 1: (1)∵ PC ? BC , PC ? AB ,∴ PC ? 平面 ABC,∴ PC ? AC . 分) (2 (2) BC 的中点 N, MN. P ? C , M ? P , MN ? 平面 ABC. NH ? 取 连 ∵ M ? N ∴ N ? C ∴ 作 AC ,交 AC 的延长线于 H,连结 MH.由三垂线定理得 AC ? MH ,∴ ?MHN 为二面角 ∵直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60? , ∴在 Rt?AMN 中, AMN ? 60? . M ? AC ? B 的平面角. ?
AN 在 ?ACN 中, ? AC 2 ? CN 2 ? 2 AC ? CN ? cos120? ? 3 .

在 Rt?AMN 中, MN ? AN ? cot ?AMN ? 3 cot 60? ? 1 . 在 Rt?NCH 中, NH ? CN ? sin ?NCH ? 1? sin 60? ?
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3 . 2

在 Rt?MNH 中,∵ MH ? MN 2 ? NH 2 ? 故二面角 M ? AC ? B 的余弦值为

NH 21 7 ? ,∴ cos ?MHN ? . MH 7 2

21 . 分) (8 7

(3)作 NE ? MH 于 E.∵AC ? 平面 MNH,∴ AC ? NE ,∴NE ? 平面 MAC,∴点 N 到 平面 MAC 的距离为 NE ?
MN ? NH 21 ? .∵点 N 是线段 BC 的中点,∴点 B 到平面 MAC 的 MH 7 2 21 . (12 分) 7

距离是点 N 到平面 MAC 的距离的两倍,为

方法 2: (1)∵ PC ? BC , PC ? AB ,∴ PC ? 平面 ABC,∴ PC ? AC . 分) (2 (2)在平面 ABC 内,过 C 作 BC 的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示.设 P(0, 0, z ) ,
??? ? ???? ? 3 1 3 3 则 CP ? (0,0, z) . AM ? (0,1, z) ? ( , ? ,0) ? (? , , z) . 2 2 2 2
???? ??? ? ? ???? ??? ? ? AM ? CP z2 ???? ? ??? |? ? ∵ cos 60? ?| cos ? AM , CP ?|?| , | AM | ? | CP | 3 ? z2 ? | z |
z z2 ? 3

且 z ? 0 ,∴

?

???? ? 1 3 3 ,得 z ? 1 ,∴ AM ? (? , ,1) .设平面 MAC 的一个法向量为 2 2 2

? 3 3 ???? ? ?n ? AM ? 0, ?? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, ? x ? ? 3 , 3 ? ? ? , ?1,1) . n ? ( x, y,1) , 则由 ? ??? 得? 得? 平面 ABC ? 3 ∴ n ? (? 3 3 1 ? n ? CA ? 0 ? ? y ? ?1, ? ? ? 2 x ? 2 y ? 0, ?
??? ? ??? ? ??? ? n ? CP 21 ????? ? ? 的一个法向量为 CP ? (0, 0,1) . cos ? n, CP ?? .显然,二面角 M ? AC ? B 为锐 7 | n | ?| CP |

二面角,∴二面角 M ? AC ? B 的余弦值为 (3)点 B 到平面 MAC 的距离 d ?|

??? ? CB ? n 2 21 |? . (12 分) |n| 7
y1 ? y2 x2 ? ?2 .∵ 12 ? y12 ? 1, x1 ? x2 a

21 . 分) (8 7

21.解: (1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? 1,

x ?x y ?y ( x ? x )( x ? x ) x2 2 ? y2 2 ? 1 ,∴两式相减得 1 2 2 1 2 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,即 1 2 2 ? ( y1 ? y2 ) 1 2 2 x1 ? x2 a a a

? 0 ,即

1 1 (4 ? 1? (?2) ? 0 ,得 a 2 ? ,∴椭圆 C 的方程为 2 x 2 ? y 2 ? 1 . 分) 2 2 a (2)解法 1:设 P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) , l2 : y ? kx ? m (∵ l2 与 y 轴相交,∴ l2 的斜率存在) . ???? ? ???? ? ? PM ? ? MQ, ? (? x3 , m ? y3 ) ? ? ( x4 , y4 ? m), ? ? x3 ? ? x4 , ? 由 ???? 得? ? ???? ???? 得 ? ? ?( x3 ? ? x4 , y3 ? ? y4 ) ? (0, 4m), ? y3 ? ? y4 ? 4m, ?OP ? ? OQ ? 4OM ?

即?

x3 ? ?? x4 ,??① 将①代入②得 (? ? 3)m ? 0 ,∵ m ? 0 ,∴ ? ? 3 . ?(kx3 ? m) ? ? (kx4 ? m) ? 4m,??② ?

解法 2:∵ PM ? ? MQ ,∴ OM ? OP ? ? (OQ ? OM ) ,∴ OP ? ?OQ ? (1 ? ? )OM ,又∵
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???? ?

???? ?

???? ??? ? ?

???? ???? ?

??? ?

????

???? ?

???? ? ???? ? ??? ? ???? ???? ? ???? ? ???? ? (8 OP ? ?OQ ? 4OM ,∴ (1 ? ? )OM ? 4OM ,∴ (? ? 3)OM ? 0 ,又∵ OM ? 0 ,∴ ? ? 3 . 分)

(3)将 y ? kx ? m 代入 2 x 2 ? y 2 ? 1 得 (k 2 ? 2) x 2 ? 2kmx ? (m2 ? 1) ? 0 .∵ ? ? 3 ,
? ? x3 ? ?3x4 , ? ?2km 2(1 ? m2 ) 2(1 ? m2 ) ? ∴由 ? x3 ? x4 ? 2 .由 ? ? 0 得 k 2 ? 2(m2 ? 1) ,即 , 消去 x3 、 x 4 得 k 2 ? ? 2 k ?2 4m ? 1 4m2 ? 1 ? ? m2 ? 1 ? x3 x4 ? 2 k ?2 ?
2(m2 ? 1) ,即
(m ? 1)(m ? 1) 1 1 (m2 ? 1)m2 ? 0 ,得 ?1 ? m ? ? ,或 ? m ? 1 . (13 分) ? 0 ,即 2 (2m ? 1)(2m ? 1) 2 2 4m ? 1 S n ?1 n ? 3 ? ( n ? N* ) ,且 S1 ? a1 ? 1 ,∴当 n ? 2 时, Sn n

22.解: (1)方法 1:∵
S n ? S1 ?

S S 2 S3 4 5 6 n ? 2 n( n ? 1)(n ? 2) ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? ,且 S1 ? 1 也适合. S1 S 2 S n ?1 1 2 3 n ?1 6

n(n ? 1) n(n ? 1) ,且 a1 ? 1 也适合,∴ an ? (n ? N* ) . 2 2 方法 2:∵ nSn ?1 ? (n ? 3) Sn ? 0 ,∴ (n ? 1) Sn ? (n ? 2) Sn ?1 ? 0 ,两式相减,得

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

n( Sn ?1 ? Sn ) ? (n ? 2)(Sn ? Sn ?1 ) ,即 nan ?1 ? (n ? 2)an ,即

an ?1 n ? 2 ? ( n ? 2) . an n

又∵可求得 a2 ? 3 ,∴ 当 n ? 2 时, an ? a1 ? ∴ an ?

a a2 n?2 ? 3 也适合上式.综上,得 n ?1 ? (n ? N* ) . a1 an n

a a2 a3 3 4 5 n ? 1 n(n ? 1) ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? ,且 a1 ? 1 也适合, a1 a2 an ?1 1 2 3 n ?1 2

n(n ? 1) (4 (n ? N* ) . 分) 2

(2) bn ? (n ? 1)2 .设 cn ? (?1)n bn ? (?1)n (n ? 1)2 . 当 n 为偶数时,∵ cn?1 ? cn ? (?1)n?1 ? n2 ? (?1)n ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1 ,
n [5 ? (2n ? 1)] n(n ? 3) ∴Tn ? (c1 ? c2 ) ? (c3 ? c4 ) ? ? ? (cn ?1 ? cn ) ? 5 ? 9 ? 13 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? . 2 2

当 n 为奇数 (n≥3) 时,Tn ? Tn?1 ? cn ? 也适合上式.

(n ?1)(n ? 2) n2 ? 3n ? 4 , T1 ? c1 ? ?4 且 ? (n ? 1)2 ? ? 2 2

? n 2 ? 3n ? 4 ??(n为奇数), ?? ? 2 综上:得 Tn ? ? (9 分) ? n(n ? 3) ??(n为偶数). ? ? 2

(3)令 f ( x) ? x ? ln(1 ? x ) .当 x ? 0 时,∵ f ?( x) ? 1 ? 函数,∴当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,得 ln(1 ? x) ? x .
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1 ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上为增 1? x

令x?
n

1 1 1 2 1 1 (i ? 1, 2,? , n) ,得 ln(1 ? ) ? ? ? 2( ? ), ai ai ai i (i ? 1) i i ?1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2(1 ? )?2, ai 2 2 3 n n ?1 n ?1

∴ ? ln(1 ?
i ?1

即 ln[(1 ?

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