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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教案


§ 平面向量的数量积 2.4 第 7 课时 一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可 引导学生推导数量积的运算律, 然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量 积的认识.主要知识点: 平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的 5 个重要性质;平面向量数量积的运算律. 教学过程: 一、复习引入: 1. 向量共线定理
? ? 实数λ ,使 b =λ a . ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零

2.平面向量基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于

? 这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ
3.平面向量的坐标表示

2 使 a =λ 1 e1

?

+λ 2 e 2

分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a , 由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 4.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) ,b ? ( x2 , y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , 则

?a ? (?x, ?y) .
若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y 2 ? y1 ?

? ? ? 5. a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
6.线段的定比分点及λ P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数λ , 使
P1 P = λ PP2 , λ 叫 做 点 P 分 P1 P2 所 成 的 比 , 有 三 种 情 况 :

λ >0(内分) 7. 定比分点坐标公式:

(外分) λ <0 (λ <-1)

( 外分)λ <0 (-1<λ <0)

若点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),λ 为实数,且 P1 P =λ PP2 ,则点 P 的坐标为 (
x1 ? ?x2 y1 ? ?y 2 ) ,我们称 λ 为点 P 分 P1 P2 所成的比. , 1? ? 1? ?

8. 点 P 的位置与 λ 的范围的关系: ①当 λ>0时, P1 P 与 PP2 同向共线,这时称点 P 为 P1 P2 的内分点. ②当 λ<0( ? ? ?1 )时, P1 P 与 PP2 反向共线,这时称点 P 为 P1 P2 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式: 在平面内任取一点 O, OP1 =a,OP2 = 设

b,
可得 OP =
a ? ?b 1 ? ? a? b. 1? ? 1? ? 1? ?

10.力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角. 二、讲解新课: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫

a与b的夹角.
说明: (1)当 θ=0时,a与b同向; (2)当 θ=π 时,a与b反向;

(3)当 θ=

? 时,a与b垂直,记a⊥b; 2

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0?≤?≤180?

C

2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是 θ ,则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. ?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b, 而 a?b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不 是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0, 不能推出 b=0.因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c =c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但a?c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一 般 a 与 c 不共线. 3. “投影”的概念:作图 a

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负

值;当?为直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos? 2? a?b ? a?b = 0 3? 当 a 与 b 同向时, = |a||b|; a 与 b 反向时, = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 a?b 当 a?b 或 | a |? a ? a
a?b | a || b |

4? cos? = 5?

|a?b| ≤ |a||b|

三、讲解范例: 例 1 已知|a|=5, |b|=4, a 与 b 的夹角 θ=120o,求 a· b. 例 2 已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60o 求(a+2b)· (a-3b). 例 3 已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相 垂直. 例 4 判断正误,并简要说明理由. ①a· 0=0;②0· =0;③0- AB = BA ;④|a· |=|a||b|;⑤ a b 若a≠0, 则对任一非零b有a· ≠0; a· =0, a与b中至少有一个为 0; b ⑥ b 则 ⑦对任意向量a,b,с 都有(a· )с=a(b· ;⑧a与b是两个单位向量, b с) 则a2=b2. 解:上述 8 个命题中只有③⑧正确; 对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 0· =0;对于②:应有0· a a =0; 对于④:由数量积定义有| a · |=| a |· b |· b | |cosθ|≤| a || b|, 这里 θ 是a与b的夹角, 只有 θ=0或 θ=π 时, 才有|a· |=|a|· b | b|; 对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a· =0; b 对于⑥:由a· =0可知a⊥b可以都非零; b 对于⑦:若a与 с 共线,记a=λс. 则a· =(λс)· =λ(с· )=λ(b· , b b b с) ∴(a· )· b с=λ(b· с)с=(b· с)λс=(b· a с) 若a与 с 不共线,则(a· )с≠(b· a. b с)

评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例 6 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角 是 60° 时,分别求a· . b 解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角 θ=0° , ∴a· =|a|· b|cos0° b | =3× 1=18; 6× 若a与b反向,则它们的夹角 θ=180° , ∴a· =|a||b|cos180° b =3× (-1)=-18; 6× ②当a⊥b时,它们的夹角 θ=90° , ∴a· =0; b ③当a与b的夹角是 60° 时,有
1 2

a· =|a||b|cos60° b =3× 6× =9
评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0° ,180° ,因此, ] 当a∥b时,有 0° 180° 或 两种可能. 四、课堂练习: 1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° B.30° C.135° D.45° )

2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为 A.2 B.2 3 C.6

? ,那么向量 m=a-4b 的模为( 3
D.12 )



3.已知 a、b 是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 4.已知向量 a、b 的夹角为 B.必要但不充分条件?

D.既不充分也不必要条件

? ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|· |a-b|= 3

.

5.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的 单位向量,那么 a· b= . 6.已知 a⊥b、 与 a、 的夹角均为 60° 且|a|=1, c b , |b|=2, |c|=3, 则(a+2b-c) =______. 7.已知|a|=1,|b|= 2 ,(1)若 a∥b,求 a· b;(2)若 a、b 的夹角为60° ,求|a+b|; (3)若 a-b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角. 8.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹 角. 9.对于两个非零向量 a、b,求使|a+tb|最小时的 t 值,并求此时 b 与 a+tb 的夹角. 五、小结(略)


六、课后作业(略) 七、教学后记:


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