kl800.com省心范文网

高一数学专题讲座一元二次方程根的分布


一元二次方程根的分布(根的限制)

姓名__________

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,在初中代数中虽有涉及, 但不够系统和完整,其包含的主要数学思想是函数与方程思想.即 ①若 y ? f ( x) 与 x 轴有交点 ? x0 ,0 ? ? f ? x0 ? ? 0 ; ②若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有交点( x0 , y0 ) ? f ( x) ? g ( x) 有解 x ? x0 .

一元二次方程根的分布的基本类型
设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 .

k 为常数,则一元二次方程根的 k 分布(即 x1 , x 2 相对于 k 的位置)或根在区间
上的分布主要有以下基本类型:

表一: (两根与 0 的大小比较)
分 布 情 况 大 致 图 象 ( )
? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ? ? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

两个负根即两根都小于 0

两个正根即两根都大于 0

? x1 ? 0, x2 ? 0 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0 ?

一正根一负根即一个根 小于 0,一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

a?0

得 出 的 结 论

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

第 1 页 共 12 页

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

f ?0? ? 0

( 不 综 讨 合 论 结 a 论 )

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?

a ? f ?0? ? 0

表二: (两根与 k 的大小比较)
分 况 布 情 大 致 图 象 ( )
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大 于 k 即 x1 ? k ? x2

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

k

k

k

a?0

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

第 2 页 共 12 页

( 不 综 讨 合 论 结 a 论 )

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ?a ? f ? k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ?a ? f ? k ? ? 0 ?

a ? f ?k ? ? 0

表三: (根在区间上的分布)
分 况 布 情 大 致 图 象 ( )
? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? f ?n? ? 0 ? ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

两根都在 ?m, n ? 内

两根有且仅有一根在 ?m, n ?

一根在 ?m, n ? 内, 另一根在 ? p, q ?

内 (有两种情况, 只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0

得 出 的 结 论 大 致 图 象 ( )

f ?m? ? f ?n ? ? 0

? f ?m? ? 0 ?f ? ? ? f ?n? ? 0 或 ? ? ?f ? ? f ? p? ? 0 ? f ?q? ? 0 ?

?m? f ?n? ? 0 ? p? f ?q? ? 0

a?0
? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

得 出 的 结 论

f ?m? ? f ?n ? ? 0

? f ?m? ? 0 ? ? f ?m? f ?n? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 或 ? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?
? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0 ?

论 论 综 a ( 合 不 ) 讨 结

——————

f ?m? ? f ?n ? ? 0

根 在 区 间 上 的 分 布 还 有 一 种 情 况 : 两 根 分 别 在 区 间 ?m, n ? 外 , 即 在 区 间 两 侧

x1 ? m, x2 ? n , (图形分别如下)需满足的条件是
(1) a ? 0 时, ?

? f ? m? ? 0 ? ; ? f ? n? ? 0 ?
第 3 页 共 12 页

(2) a ? 0 时, ?

? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0 ?

两根有且仅有一根在 ?m, n ? 内有以下特殊情况:
㈠ 若 f ? m ? ? 0 或 f ? n ? ? 0 ,则 f ? m ??f ? n ? ? 0 不成立。对这种情况可求出另一根, 然后根据此根在区间 ?m, n ? 内,求出参数的值. 如方程 mx ? ? m ? 2 ? x ? 2 ? 0 在区间 ?1, 3 ? 上有一根,∵ f ?1? ? 0 ,
2

∴ mx ? ? m ? 2 ? x ? 2 ? ? x ? 1?? mx ? 2 ? ,另一根为
2

2 2 2 ,由 1 ? ? 3 得 ? m ? 2 . m 3 m

㈡ 方程有且只有一根,且这个根在区间 ?m, n ? 内,即 ? ? 0 ,由 ? ? 0 求出参数的值, 再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内. 如方程 x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 有且一根在区间 ? ?3, 0 ? 内,求 m 的取值范围.
2

分析:①由 f ? ?3??f ? 0 ? ? 0 即 ?14m ? 15 ?? m ? 3? ? 0 得出 ?3 ? m ? ? ② 由 ? ? 0 即 16m ? 4 ? 2m ? 6 ? ? 0 得 出 m ? ?1 或 m ?
2

15 ; 14

3 . 当 m ? ?1 时 , 根 2 3 3 x ? ?2 ? ? ?3, 0 ? ,即 m ? ?1 满足题意;当 m ? 时,根 x ? 3 ? ? ?3, 0 ? ,故 m ? 不满足 2 2 15 题意;综上分析,得出 ?3 ? m ? ? 或 m ? ?1 . 14

方法点拨:主要考察四个方面
①开口方向;②对称轴;③判别式;④端点值的符号.

典型例题
例 1.已知二次方程 ? 2m ? 1? x ? 2mx ? ? m ? 1? ? 0 有一正根和一负根,求 m 的取值范围.
2

解:由

? 2m ? 1??f ? 0 ? ? 0 即 ? 2m ? 1?? m ? 1? ? 0 ,得 ?
2

1 ? m ? 1. 2

例 2.已知方程 2 x ? ? m ? 1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围.

??0 ? ?? m ? 1?2 ? 8m ? 0 ? ? m ? 3 ? 2 2或m ? 3 ? 2 2 ? ? ? ? m ? 1? ? ?0?? 解: ? ? m ? ?1 ?? 2? 2 m?0 ? ? ? ? m?0 ? f ? 0? ? 0 ? ?

? 0 ? m ? 3? 2 2 或 m ? 3? 2 2 .
第 4 页 共 12 页

例 3.已知二次函数 y ? ? m ? 2 ? x ? ? 2m ? 4 ? x ? ? 3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,
2

一个小于 1,求实数 m 的取值范围. 解:由

? m ? 2 ??f ?1? ? 0
2



? m ? 2 ??? 2m ? 1? ? 0

? ?2 ? m ?

1 . 2

例 4.已知二次方程 mx ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取 值范围. 解:由题意有方程在区间 ? 0,1? 上只有一个正根,则 f ? 0 ??f ?1? ? 0

1 ? 4?? 3m ? 1? ? 0 ? m ? ? . 3
例 5.已知关于 x 的二次方程 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 .
2

(1)若方程有两根,其中一根在区间 ? ?1,0 ? 内,另一根在区间 ?1, 2 ? 内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间 ? 0,1? 内,求 m 的范围
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解 (1)条件说明抛物线 f ( x) ? x ? 2mx ? 2m ? 1 与 x 轴的交点分别在区间 ? ?1,0 ? 和
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?1, 2 ? 内,画出示意图,得
1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ?m ? R , ? ? ?? 1 ? ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ? ? ?m ? ? 5 ? 6 ?
∴?

y

-1

o

1

2

x

5 1 ?m?? 6 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组

? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? ? ? ? ? 0, ?0 ? ? m ? 1 ?

1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ? m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ? ? 1 ? m ? 0. ?

y

o

1

x

(这里 0 ? ?m ? 1 是因为对称轴 x ? m 应在区间(0,1)内) 例 6.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a , x ? ? ?2, 2? 时,f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 若
2

第 5 页 共 12 页

解法一: (利用根的分布情况知识) 解: f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a ? 2 ? 0 ,即 f ( x) ? x ? ax ? 1 ? a ? 0 在 ? ?2, 2? 上成立.
2 2

① ? ? a ? 4 ?1 ? a ? ? 0 ??2 ? 2 2 ? a ? ?2 ? 2 2
2

? ? ? a 2 ? 4(1 ? a ) ? 0 ? ? f (2) ? 0 ? ② ? f ( ?2) ? 0 ? ?5 ? a ? ?2 2 ? 2 ? ? ? a ? 2或 ? a ? ?2 ? 2 ? 2
综上所述, ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 。 解法二: (利用在所给区间求最值) ⑴当 ?

a 5 ? ?2 ,即 a ? 4 时, g (a) ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 2 ? a ? ? ? 4, ?? ? ?a 不存在. 2 3
a a2 a ? 2 ,即 ?4 ? a ? 4 时, g (a) ? f ( ) ? ? ? a ? 3 ? 2 , 2 4 2

⑵当 ?2 ? ?

-2 2 ? 2 ? a ? 2 2 ? 2 ? ?4 ? a ? 2 2 ? 2 .
⑶当 ?

a ? 2 ,即 a ? ?4 时, g (a) ? f (2) ? 7 ? a ? 2 ,? a ? ?5 ??5 ? a ? ?4 2

综上所述 ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 . 例 7.若关于 x 的方程 lg( x ? 20 x) ? lg(8 x ? 6a ? 3) ? 0 有唯一的实根,求数 a 的取值范围.
2

? x 2 ? 20 x ? 0 ……① ? x ? ?20或x ? 0 ? 解:原方程等价于 ? 2 即? 2 ? x ? 20 x ? 8 x ? 6a ? 3 ? x ? 12 x ? 6a ? 3 ? 0……② ?
令 f ( x) = x +12 x +6 a +3 ① 若抛物线 y = f ( x) 与 x 轴相切,有△=144-4(6 a +3)=0 即a=
2

y
-6 O

11 11 11 , a = 代入式②有 x =-6 不满足式①, a ≠ 。 将 ∴ 2 2 2

-20

x

② 若抛物线 y = f ( x) 与 x 轴相交,注意到其对称 轴为 x =-6 故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的等价是 16 3 - 20 - 6 O 3

y

? f (?20) ? 0 163 1 解得 ? ?a?? . ? 6 2 ? f (0) ? 0

x

第 6 页 共 12 页

∴当 ?

163 1 ? a ? ? 时原方程有唯一解. 6 2
2

另法:原方程等价于 x +20 x =8 x -6 a -3( x <-20 或 x >0)……③ 问题转化为:求实数 a 的取值范围,使直线 y =8 x -6 a -3 与抛物线, y = x 2 +20 x ( x < -20 或 x >0)有且只有一个公共点.

巩固练习
1.若方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在 x ? (0,1) 内恰有一解,则 a 的取值范围是
2

B

A. a ? ?1

B. a ? 1
2

C. ? 1 ? a ? 1

D. 0 ? a ? 1

2.已知函数 f ( x) ? mx ? (m ? 3) x ? 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧, 则实数 m 的取值区间是
2

A. (0,1]

B. (0,1)

C. (??,1)

D. (??,1]

D C

3.函数 y ? (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 的值恒小于 0,则 a 的取值范围是 A. (??,2)
2

B. (??,?2)

C.

?? 2,2?

D. (?2,2) B

4.设 f ( x) ? x ? x ? a(a ? 0) ,若 f (m) ? 0,则f (?m ? 1) 的值为 A.正数 B.负数
2

C.非负数

D.正负不能确定

5.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示, 记 M ? a ? b ? c ? 2a ? b , N ? a ? b ? c ? 2a ? b , 则 M 与 N 的大小关系是_________________ . M ? N 6.方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是
2

. ? 2,

? 5? ? ? 2?

7 x ? 2 x ? a ? a ? 2 ? 0 对 x ?R 恒成立,则实数 a 的取值范围
4 2 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

. a ? 2或a ? ?1

8 已知二次函数 f ( x) ? 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p ? 1 ,若在区间 ? ?1,1? 内至少存在一个实
2 2
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

数 c ,使 f (c) ? 0 则实数 p 的取值范围是________________ . 解 只需 f(1)=-2p2-3p+9>0 或 f(-1)=-2p2+p+1>0
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

(-3,

3 ) 2

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

即-3<p<

3 1 3 或- <p<1 ∴p∈(-3, ) 2 2 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

9. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? ax ? 3 , 若 f ( x) 在 区 间 ?1, 4 ? 上 为 单 调 函 数 , 则 a 的 范 围
2

第 7 页 共 12 页



;a≤-8 或 a≥-2. 变式为:已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3
2

①若 y ? f ( x) 在区间 ?1, 4 ? 有最大值 10,则 a 的值为 ②若 f ( x) ? 0 在区间 ?1, 4 ? 内有两个不相等的实根,则 a 的范围为 -4≤a<-2 3 .

;a=-

9 . 4


19 ≤a≤-2 3 . 4 19 ④若 y ? f ( x) 在区间 ?1, 4 ? 内存在 x0 , f ( x0 ) ? 0 , a 的范围为 使 则 ; a>- . 4
③若 f ( x) ? 0 在区间 ?1, 4 ? 有解,则 a 的范围为 ;- ⑤若 y ? f ( x) 在区间 ?1, 4 ? 上恒为正数,则 a 的范围为 ⑥设 A ? x f ( x ) ? 0 ⑦设 A ? x f ( x ) ? 0
2

;a>-2 3 .

?

若 则 ? ,B ? ?1, 4? , A ?B, A ? B ? A , a 的范围为 若 则 ? ,B ? ?1, 4? , B ? A , a 的范围为

? ; ?4, 2 3 . ?

?

?

. -∞, ( -

19 ]. 4

10. 对于关于 x 的方程 x ? (2m ? 1) x ? 4 ? 2m ? 0 ,求满足下列条件的 m 的取值范围: (1)两个正根; . ? ??, ? ?

? ?

5? 2?

(2)有两个负根; (3)两个根都小于 ?1 ; (4)两个根都大于

. ? ,2? . ? . ? ??, ? ? . . ? .

?3 ?2

? ?

1 ; 2

? ?

5? 2?

(5)一个根大于 2,一个根小于 2 ; (6)两个根都在 ? 0, 2 ? 内; (7)两个根有且仅有一个在 ? 0, 2 ? 内 ; (8)一个根在 ? ?2,0 ? 内,另一个根在 ?1,3 ? ; (9)一个正根,一个负根,且正根绝对值较大; (10)一个根小于 2,一个根大于 4.

? ??, ?3?

? ??, ?3? ? ? 2, ?? ?
. ? . ? . ?? ,?

? 7 ? 2

5? ? 2?

第 8 页 共 12 页

11. 若 关 于 x 的 方 程 4 ? (m ? 3) ? 2 ? m ? 0 有 两 个 不 相 同 的 实 根 , 则 m 的 取 值 范
x x



. 0< m <1

提示:令 2 x = t 转化为关于 t 的一元二次方程有两个不同的正实根。 12.已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ? 2 与 x 轴的非负半轴至少有一个交点,求 a 的取
2 2

值范围. 解法一:由题知关于 x 的方程 x ? (2a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 至少有一个非负实根,
2 2

?? ? 0 9 ? 设根为 x1 , x2 则 x1 x2 ? 0 或 ? x1 x2 ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 ?x ? x ? 0 ? 1 2
? f (0) ? 0 ? ?(2a ? 1) 9 ? 解法二:由题知 f (0) ? 0 或 ? ? ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 2 4 ? ?? ? 0 ?
13.方程 x ?
2

3 x ? k 在 (?1,1) 上有实根,求 k 的取值范围. 2 3 2 解法一: (1)方程 x ? x ? k ? 0 在(- 1,1)上有两实根, 2 ?? ? 0 ? ? f ?1? ? 0 9 1 ? 则 ? f ? ?1? ? 0 ? ? ? k ? ? . 16 2 ? b ??1 ? ? ? 1 ? 2a ? 3 2 (2)方程 x ? x ? k ? 0 在(- 1,1)上有一实根, 2
则 f ?1? ? f ?? 1? ? 0 或 ?

? f ?? 1? ? 0 ? f ?1? ? 0 1 5 或? 得? ? k ? . 2 2 ? f ?1? ? 0 ? f ?? 1? ? 0

综上, k ? ??

? 9 5? , ?. ? 16 2 ?
?? ? 0 3 9 5 即 k ? [? , ) ? ?? 1,1?为已知,? 只需 ? 4 16 2 ? f ?? 1? ? 0
2

解法二:?对称轴 x ?

解法三:最宜采用函数思想,即求 f ( x) ? x ?

3 9 5 x(?1 ? x ? 1) 的值域. k ? [? , ) . 2 16 2

选做题
第 9 页 共 12 页

1.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0) ,设方程 f ( x) ? x 的两个实数根为
2

x1 和 x 2 .(1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f (x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ;
(2)如果 x1 ? 2 , x 2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围. 解:设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? (b ? 1) x ? 1 ,则 g ( x) ? 0 的二根为 x1 和 x 2 .
2

(1)由 a ? 0 及 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,可得

? g (2) ? 0 ?4a ? 2b ? 1 ? 0 ,即 ? , ? ?16 a ? 4b ? 3 ? 0 ? g (4) ? 0

b 3 ? ?3 ? 3 ? 2a ? 4a ? 0, b ? 即? 两式相加得 ? 1 ,∴ x0 ? ?1 ; 2a ?? 4 ? 2 ? b ? 3 ? 0, ? 2a 4a ?
(2)由 ( x1 ? x 2 ) ? (
2

b ?1 2 4 ) ? , 可得 2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 . a a

1 ? 0 ,∴ x1 , x 2 同号. a ? ? ?0 ? x1 ? 2 ? x2 ? x2 ? ?2 ? x1 ? 0 ∴ x1 ? 2 , x 2 ? x1 ? 2 等价于 ? 或? , ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ? ?
又 x1 x 2 ?

? g (2) ? 0 ? g (?2) ? 0 ? ? ? ? 即 ? g (0) ? 0 或 ? g (0) ? 0 ? ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ? ?
解之得 b ?

1 7 或b ? . 4 4
2

2 二次函数 f ( x) ? px ? qx ? r 中实数 p、q、r 满足
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

p q r ? ? ? 0 ,其中 m ? 0 , m ? 2 m ?1 m
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

求证 (1) pf (
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

m ) ? 0 ;(2)方程 f ( x) ? 0 在 ? 0,1? 内恒有解. m ?1
m m 2 m ) ? p[ p( ) ? q( ) ? r] m ?1 m ?1 m ?1

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

证明 (1) pf (
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

pm q r pm p m(m ? 2) ? (m ? 1) 2 2 ? pm[ ? ? ] ? pm[ ? ] ? p m[ ] (m ? 1) 2 m ? 1 m (m ? 1) 2 m ? 2 (m ? 1) 2 (m ? 2)
? pm 2

m ?1 ,由于 f ( x) 是二次函数,故 p ? 0 ,又 m ? 0 ,∴ pf ( )?0 2 (m ? 1) ( m ? 2) m ?1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2)由题意,得 f(0)=r,f(1)=p+q+r
第 10 页 共 12 页

①当 p<0 时,由(1)知 f( 若 r>0,则 f(0)>0,又 f(

m )<0 m ?1

m m )<0,所以 f(x)=0 在(0, )内有解; m ?1 m ?1 p r p r 若 r≤0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(- ? )+r= ? >0, m?2 m m?2 m m m 又 f( )<0,所以 f(x)=0 在( ,1)内有解 m ?1 m ?1
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

②当 p<0 时同理可证
2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,方程 f ( x) ? x 的两根 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? (Ⅰ)若 x ? ? 0, x1 ? ,求证: x ? f ( x) ? x1 ; (Ⅱ)设函数 f ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ?

1 . a

x1 . 2

证明:∵ x1 , x2 是方程 f(x)-x=0 的两根, ∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以 f(x)>x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+ ∴f(x)<x1.综上,x<f(x)<x1. (Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, ∴x0=
a( x1 ? x 2 ) ? 1 x1 ? x 2 1 ? ? , 2a 2 2a
x1 x x 1 1? 1? ? 2 ? ? ? x 2 ? ? ? 0 ,所以 x0 ? 1 . 2 2 2a 2 ? a? 2

1 ]<0, a

∴ x0 ?

4.设函数 f ( x) ? x 2 ? 2bx ? c(c ? b ? 1) , f (1) ? 0 且方程 f ( x) ? 1 ? 0 有实根. (1)证明: ?3 ? c ? ?1 ; (2)证明: b ? 0 ; (3)若 x0 是方程 f ( x) ? 1 ? 0 的一个实根,判断 f ( x0 ? 4) 的正负,并加以证明. 证明:(1)? f (1) ? 2b ? c ? 1 ? 0,? b ? ?
c ?1 , 2 c ?1 1 ? c ? b ? 1,? c ? ? ? 1.??3 ? c ? ? . 2 3

∵方程 f(x)+1=0,即 x2+2bx+c+1=0 有实根∴Δ =4b2-4(c+1)≥0, 即(c+1)2-4(c+1)≥0.∴c≤-1 或 c≥3. ∴-3<c≤-1.
第 11 页 共 12 页

(2)由(1)知 c≤-1,∴c+1≤0, b ? ?

c ?1 ? 0. 2

(3)f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1). ∵x0 是方程 f(x)+1=0 的根, ∴f(x0)+1=0,f(x0)=-1<0, ∴(x0-c)( x0-1)<0,c<x0<1, 即 c-4<x0-4<-3<c, ∴f(x0-4)=(x0-4-c)(x0-4-1)>0. 故 f(x0-4)为正值.

第 12 页 共 12 页


赞助商链接

高中数学专题一元二次方程实数根的分布

高中数学专题一元二次方程实数根的分布_数学_高中教育_教育专区。一元二次方程实数根的分布 教学目标:使学生掌握一元二次方程根分布问题的处理,加强求解一元二...

一元二次方程根的分布教学设计

一元二次方程根的分布教学设计 大庆一中高中部 一、 教学分析 孙庆夺 (一)教学内容分析 本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的...

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程根的分布情况归纳总结 - 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况 2 设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 ,...

高中数学教案——一元二次方程实根的分布

高中数学教案——一元二次方程根的分布 - 课 题:一元二次方程根的分布 教学目的: 1.掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法 2.培养分类...

一道题横扫一元二次方程根的分布问题

一道题横扫一元二次方程根的分布问题一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点,很多函数问题,方程问题最后都能转 化为根的分布问题.而这块内容初中不讲,...

第七讲_一元二次方程根的分布

第七讲_一元二次方程根的分布_数学_自然科学_专业资料。一元二次方程根的分布一.知识要点二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根从几何意义上来说就是抛物线...

一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布_高一数学_数学_高中教育_教育专区。潮阳一中明光学校文科数学学案 张盛武 一元二次方程根的分布一.知识要点二次方程 ax 2 ? bx ? c ?...

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程根的分布情况归纳总结 - 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况 2 设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 ,...

一元二次方程根的分布(WORD含答案)

一元二次方程根的分布(WORD含答案)_数学_高中教育_教育专区。一元二次方程根的分布一.知识要点二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根从几何意义上来说就是抛...

一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布 - 方程根的分布专题讲义 一.知识要点 二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根从几何意义上来说就是抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c ...