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湖南省株洲市2016届高三3月高考模拟数学(文)试题


2016 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷(一) 文科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写 清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,在试题 卷上作答无效 。 ... ...... 3.第 I 卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。

一、选择题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的 4 个选项中,选出符合 题目要求的一项。
1、设集合 M={x|x2-2x<0},N={x|y=lg(4-x2)},则( ) A.M∪N=M B.(?RM)∩N=R C.(?RM)∩N=? D.M∩N =M 3π 5π 2、若 θ∈( 4 , 4 ),则复数(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3、某流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( ) A.f(x)=x2 C.f(x)=ln x+2x-6 lg|x| 4、函数 y= x 的图象大致是 1 B.f(x)=x D.f(x)=sin x ( )

5、 、等比数列{an}中,Tn 表示前 n 项的积,若 T5=1,则 ( A.a1=1 B.a3=1 C.a4=1 D.a5=1

)

6、已知 f(x)=sin x+ 3cos x (x∈R),函数 y=f(x+φ)的图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值可以 是 ( ) π π π π A.2 B.3 C.4 D.6 7、若|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),则向量 a,b 的夹角为 ( )
·1·

A.45° 8、设不等式组 ?

B.60°

C.120°

D.135°

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点 ?0 ? y ? 2
(B)

的距离大于 2 的概率是 (A)

?
4

? ?2
2

(

) (C)

?
6
10 C. 9

(D)

4 ?? 4
) . 15 D. 8

→ → 9、 在△ABC 中, ∠BAC=60° , AB=2, AC=1, E, F 为边 BC 的三等分点, 则AE· AF=( 5 A.3
2 2

5 B.4

10 若曲线 C1:x +y -2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同的交点,则实数 m

的取值范围是 ( ? 3 3? A. ?- , ? 3? ? 3 ? 3 ? ? ,+∞? 3 ? ?

). ? ? ? 3 3? B. ?- ,0? ∪ ?0, ? 3? ? 3 ? ? ? ? 3 3? 3? C. ?- , ? D. ?-∞,- ? ∪ 3? 3? ? 3 ?

11、设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|= 4∶3∶2,则曲线 Γ 的离心率等于 ( ) 1 3 2 1 2 3 A. 或 B. 或 2 C. 或 2 D. 或 2 2 3 2 3 2 3 2 12、已知函数 f(x)=x +2bx +cx+1 有两个极值点 x1,x2,且 x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则 f(- 1)的取值范围是 3 A.?-2,3? ( 3 B.?2,6? ).

?

?

?

?
第Ⅱ卷

C.[3,12]

3 D.?-2,12?

?

?

注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清 楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在 . 试题卷上作答无效 。 ........ 3.第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分。

二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 1 13、在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ? ,则 sin A ? . 4 14、某顾客请一位工艺师把 A 、 B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这
项任务,每件颜料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成 后交付顾客, 两件原料每道工序所需时间 (单位: 工作日)如下:则最短交货期为 工 作日.
·2·

工序 时间 原料 粗加工 精加工

9 15 原料 A 原料 B 6 21 15、已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为
C 的准线上一点,则△ABP 的面积为___________.
16、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

?log2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2 016)的值为__________. f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0 ?

三、解答题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
17、 (本小题满分 12 分)已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),设 f(a1),f(a2),…,f(an) (n∈N*)是首项 为 4,公差为 2 的等差数列. (1)设 a 为常数,求证:{an}成等比数列; (2)若 bn=anf(an),{bn}的前 n 项和是 Sn,当 a= 2时,求 Sn.

18、 (本小题满分 12 分)对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查,根据调查得到的数据, 所绘制的二维条形图如下图. (1)根据图中数据,制作 2×2 列联表; (2)若要采用分层抽样的方法从男生中共抽取 5 名候选人,再从 5 人中选 两人分别做文体活动协调人,求选出的两人恰好是一人更爱好文娱,另一人 更爱好体育的学生的概率; (3)是否可以认为性别与是否爱好体育有关系? 参考数据: P(K2≥k) k 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

19、 (本小题满分 12 分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削 去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角 形,有关数据如图所示. (1)若 N 是 BC 的中点,证明:AN∥平面 CME; (2)证明:平面 BDE⊥平面 BCD.
·3·

(3)求三棱锥 D-BCE 的体积.

20、 (本小题满分 12 分)设直线 l:y=k(x+1) (k≠0)与椭圆 x2+3y2=a2 (a>0)相交于两个不同的 点 A、B,与 x 轴相交于点 C,记 O 为坐标原点. 3k2 (1)证明:a2> ; 1+3k2 → → (2)若AC=2CB,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.

1 21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)满足 f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+2x2. (1)求 f(x)的解析式及单调区间; 1 (2)若 f(x)≥2x2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.

请考生从第 22、23、24 题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题 号 22、 (本小题满分 10 分)如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中 点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF∥AB, 证明:(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.

23、 (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方
·4·

?x= 3cos α , 程为? (α 为参数). ?y=sin α
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半

? π? 轴为极轴)中,点 P 的极坐标为?4, ?,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2? ?
(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

24、 (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 (1)解不等式 f ( x) ? ?2 ; (2)对任意 x ? ?a,?? ? ,都有 f ( x) ? x ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

·5·

文科数学(一)参考答案
一、选择题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的 4 个选项中,选出符合 题目要求的一项。
1、答案 D 解析 依题意,化简得 M={x|0<x<2},N={x|-2<x<2},所以 M∩N=M. 3π 5π 2、B [由三角函数线知识得当 θ∈( 4 , 4 )时,sin θ+cos θ<0,sin θ-cos θ>0,故选 B.] 3、答案 D 解析 依题意知可输出的函数既是奇函数又存在零点,所选 D。 4、答案 D
5 5、B [因为{an}是等比数列,所以 a1· a5=a2· a4=a2 3,代入已知式 T5=1,得 a3=1,所以 a3 =1.]

π π 6、 .D [f(x)=2sin?x+3?,y=f(x+φ)=2sin?x+3+φ?的图象关于 x=0 对称,即为偶函数,

?

?

?

?

π π π π ∴3+φ=2+kπ,φ=kπ+6,k∈Z,当 k=0 时,φ=6.] 7.A [由 a⊥(a-b),得 a2-a· b=0,即 a2=a· b,所以|a|2=|a||b|cos θ.因为|a|=1,|b|= 2, 2 所以 cos θ= ,又 θ∈[0° ,180° ],所以 θ=45° .] 2 8、 【答案】D【解析】题目中 ?

?0 ? x ? 2 表示的区域如图正方形所示,而动点 D 可以存在的位置 ?0 ? y ? 2

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ? ? 4 为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此 P ? ,故选 D。 ? 2? 2 4 → 1 → → → → → 1 → → →

2→ 9 解析 法一 依题意, 不妨设BE=2E C , BF=2FC, 则有AE-AB=2(AC-AE), 即AE=3AB 1→ → → → → → 1→ 2→ → → ?2 → 1 → ? ?1 → 2 → ? 1 +3AC;AF-AB=2(AC-AF),即AF=3AB+3AC.所以AE· AF= 3AB+3AC ·3AB+3AC =9

?

??

?

5 → → → → 1 → → → → 1 (2AB+AC)· (AB+2AC)=9(2AB2+2AC2+5AB· AC)=9(2×22+2×12+5×2×1×cos 60° )=3, 选 A. 法二 由∠BAC=60° ,AB=2,AC=1 可得∠ACB=90° ,

3 ? ? 2 3 ?,F? 如图建立直角坐标系,则 A(0,1),E?- ? ? ?, , 0 - ? 3 ? ? 3 ,0? 2 5 3 3? → → ? 2 3 ?· ? ?=? 2 3?· ? ∴AE· AF=?- (-1)=3+1=3,选 A. ?? ? ? ?? ?+(-1)· ? 3 ,-1? ?- 3 ,-1? ?- 3 ? ?- 3 ?

·6·

10、解析 C1:(x-1)2+y2=1,C2:y=0 或 y=mx+m=m(x +1). 当 m=0 时,C2:y=0,此时 C1 与 C2 显然只有两个交点; 当 m≠0 时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1 与直线 y=m(x 3 +1)有两交点,当圆与直线相切时,m=± 3 ,即直线处于两 3 3 3 3 切线之间时满足题意,则- 3 <m<0 或 0<m< 3 .综上知- 3 <m<0 或 0<m< 3 . 答案
11.A

B

[由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,可设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k,若圆锥曲 c 1 c 线为椭圆,则 2a=6k,2c=3k,e=a=2.若圆锥曲线为双曲线,则 2a=4k-2k=2k,2c=3k,e=a= 3 2.] 12、解析 因为 f(x)有两个极值点 x1,x2,所以 f′(x)=3x2+4bx+c=0 有两个根 x1,x2,且 x1 f′?-2?≥0, ? ?f′?-1?≤0, ∈[-2,-1],x ∈[1,2],所以? f′?1?≤0, ? ?f′?2?≥0,
2

12-8b+c≥0, ? ?3-4b+c≤0, 即? 3+4b+c≤0, ? ?12+8b+c≥0,

画出可行域如图所示.因为 f(-1)=2b-c,由图知经过点 A(0,-3)时,f(-1)取得最小值 3,经 过点 C(0,-12)时,f(-1)取得最大值 12,所以 f(-1)的取值范围为[3,12]. 答案 C

第Ⅱ卷 二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13、 【答案】

1 15 【解析】 由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? 2 , 即c ? 2; 4 8
b2 ? c2 ? a 2 4 ? 4 ? 1 7 15 ?7? ? ? ,∴ sin A ? 1 ? ? ? ? 2bc 2? 2? 2 8 8 ?8?
2

cos A ?

14、 【答案】42 15、解析 如图,设抛物线方程为

p |AB| 12 y2=2px(p>0).∵当 x= 时,|y|=p,∴p= = =6.
2 2 2

·7·

1 又 P 到 AB 的距离始终为 p,∴S△ABP= ×12×6=36. 2 16、解析 由已知得 f(-1)=log22=1, f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1, f(2)=f(1)-f(0)=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0, f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1, f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0, 所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现,所以 f(2 016)=f(0)=0. 三、解答题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17、 (本小题满分 12 分)已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),设 f(a1),f(a2),…,f(an) (n∈N*)是首项 为 4,公差为 2 的等差数列. (1)设 a 为常数,求证:{an}成等比数列; (2)若 bn=anf(an),{bn}的前 n 项和是 Sn,当 a= 2时,求 Sn. (1)证明 f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,…………………………………………(2 分) + 即 logaan=2n+2,可得 an=a2n 2. a2n+2 a2n+2 an ∴ = = 2n an-1 a2?n-1?+2 a =a2 (n≥2)为定值.……………………………………………………………(4 分) ∴{an}为以 a2 为公比的等比数列.…………………………………………………(5 分) (2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2 =(2n+2)a2n+2.……………………………………………………………………(7 分) + 当 a= 2时,bn=(2n+2)( 2)2n 2 =(n+1)2n+2. + Sn=2· 23+3· 24+4· 25+…+(n+1)· 2n 2,① 2Sn=2· 24+3· 25+4· 26+…+n· 2n+2+(n+1)· 2n+3,② ①-②,得 -Sn=2· 23+24+25+…+2n+2-(n+1)· 2n+3 …………………………………(9 分) 24?1-2n-1? =16+ -(n+1)· 2n+3 1-2 =16+2n+3-24-n· 2n+3-2n+3=-n· 2n+3. + ∴Sn=n· 2n 3.……………………………………………………………………(12 分) 18、 (本小题满分 12 分)对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查,根据调查得到的数据, 所绘制的二维条形图如下图.

(1)根据图中数据,制作 2×2 列联表; (2)若要从更爱好文娱和从更爱好体育的学生中各选一人分别做文体活动协调人,求选出的 两人恰好是一男一女的概率; (3)是否可以认为性别与是否爱好体育有关系? 参考数据: P(K2≥k 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
·8·

0.05

0.02

0.01

0.00

0.001

) k 1.解 (1) 男生 女生 合计 更爱好体育 15 5 20 更爱好文娱 10 10 20 0.45 5 0.70 8 1.32 3 2.07 2 2.70 6 3.84 1

5 5.02 4

0 6.63 5

5 7.87 9

10.82 8

合计 25 15 40 ……(3 分)

(2)恰好是一人更爱好文娱,另一人更爱好体育的概率是:P(A)= 分)

3 5

…………………(6

n?ac-bd?2 (3)K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 40×?15×10-5×10?2 = 20×20×25×15 8 =3≈2.666 7…<2.706, ……(9 分) ∴我们没有足够的把握认为性别与是否更喜欢体育有关系. ……(12 分) 19、 (本小题满分 12 分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中 的侧视图、俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角 三角形,有关数据如图所示. (1)若 N 是 BC 的中点,证明:AN∥平面 CME; (2)证明:平面 BDE⊥平面 BCD. (3)求三棱锥 D-BCE 的体积. 1 (1)证明 连接 MN,则 MN∥CD,AE∥CD,又 MN=AE=2CD, ∴四边形 ANME 为平行四边形, ∴AN∥EM.∵AN?平面 CME,EM?平面 CME,∴AN∥平面 CME. (2)证明 ∵AC=AB,N 是 BC 的中点,AN⊥BC, 又平面 ABC⊥平面 BCD,∴AN⊥平面 BCD.由(1),知 AN∥EM, ∴EM⊥平面 BCD.又 EM?平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 BCD. 1 1 2 2×4 8 (3)解 VD-BCE=VE-BCD=3S△BCD· |EM|=3× 2 × 2=3. 20、 (本小题满分 12 分)设直线 l:y=k(x+1) (k≠0)与椭圆 x2+3y2=a2 (a>0)相交于两个不
·9·

同的点 A、B,与 x 轴相交于点 C,记 O 为坐标原点. 3k2 (1)证明:a2> ; 1+3k2 → → (2)若AC=2CB,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程. 1 1 (1)证明 依题意,由 y=k(x+1),得 x= y-1.将 x= y-1 代入 x2+3y2=a2, k k 1 2 消去 x,得?k2+3?y2-ky+1-a2=0.①(2 分) ? ? 由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点, 1 4 2 得 Δ=k2-4?k2+3?(1-a )>0, ? ? 1 3k2 整理得?k2+3?a2>3,即 a2> .(5 分) ? ? 1+3k2 2k (2)解 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由①得 y1+y2= , 1+3k2 -2k → → 由AC=2CB,C(-1,0),得 y1=-2y2,代入上式,得 y2= .(8 分) 1+3k2 1 于是,S△OAB=2|OC|· |y1-y2| 3 3|k| 3|k| 3 =2|y2|= = 2 ,(10 分) 2≤ 1+3k 2 3|k| 3 其中,上式取等号的条件是 3k2=1,即 k=± 3 , -2k 3 由 y2= ,可得 y2=± 3 , 1+3k2 3 3 3 3 将 k= , y2=- 及 k=- , y2= 这两组值分别代入①, 均可解出 a2=5, 所以, △OAB 3 3 3 3 的面积取得最大值时的椭圆方程是 x2+3y2=5.(12 分) 1 21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)满足 f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+2x2. (1)求 f(x)的解析式及单调区间; 1 (2)若 f(x)≥2x2+ax+b,求(a+1)b 的最大值. 解 (1)由已知得 f′(x)=f′(1)ex-1-f(0)+x.所以 f′(1)=f′(1)-f(0)+1,即 f(0)=1.

1 又 f(0)=f′(1)e-1,所以 f′(1)=e.从而 f(x)=ex-x+2x2.由于 f′(x)=ex-1+x, 故当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.从而,f(x)在(-∞,0)上单调递 减,在(0,+∞)上单调递增. (2)由已知条件得 ex-(a+1)x≥b.① 1-b (i)若 a+1<0,则对任意常数 b,当 x<0,且 x< 时,可得 ex-(a+1)x<b,因此①式不成立. a+1
·10·

(ii)若 a+1=0,则(a+1)b=0. (iii)若 a+1>0,设 g(x)=ex-(a+1)x, 则 g′(x)=ex-(a+1). 当 x∈(-∞,ln(a+1))时,g′(x)<0;当 x∈(ln(a+1),+∞)时,g′(x)>0. 从而 g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增. 故 g(x)有最小值 g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1). 1 所以 f(x)≥ x2+ax+b 等价于 b≤a+1-(a+1)· ln(a+1).② 2 因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设 h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则 1 1 h′(a)=(a+1)[1-2ln(a+1)].所以 h(a)在(-1,e2-1)上单调递增,在(e2-1,+∞)上单调 1 e e 递减,故 h(a)在 a=e -1 处取得最大值.从而 h(a)≤ ,即(a+1)b≤ . 2 2 2 1 e2 1 1 当 a=e2-1,b= 2 时,②式成立.故 f(x)≥2x2+ax+b. e 综上得,(a+1)b 的最大值为2. 22、 (本小题满分 10 分)如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF∥AB, 证明:(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. 证明 (1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DE∥BC.又已知 CF∥AB,

故四边形 BCFD 是平行四边形,所以 CF=BD=AD.而 CF∥AD,连结 AF,所 以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF. 因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC. (2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD.所以∠BGD=∠BDG. 由 BC=CD 知∠CBD=∠CDB. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC, 故△BCD∽△GBD. 23、 (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方
·11·

?x= 3cos α , 程为? (α 为参数). ?y=sin α
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半

? π? 轴为极轴)中,点 P 的极坐标为?4, ?,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2? ?
(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 解

? π? (1)把极坐标系下的点 P?4, ?化为直角坐标,得 P(0,4).因为点 P 的直角坐标(0,4) 2? ?

满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 坐标为( 3cos α,sin α),从而点 Q 到直线 l 的距

? π? 2cos?α+ ?+4 6? | 3cos α-sin α+4| π? ? ? 离为 d= = = 2cos?α+ ?+2 2, 6? ? 2 2
π? ? 由此得,当 cos?α+ ?=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. 6? ? 24、 (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 (1)解不等式 f ( x) ? ?2 ; (2)对任意 x ? ?a,?? ? ,都有 f ( x) ? x ? a 成立,求实数 a 的取值范围. 24.解: (1) f ( x)

? -2

当 x ? ?2 时, x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 2 ,∴ x ? ? ;
y 3 4 x

2 2 ,∴ ? ? x ? 1 3 3 当 x ? 1 时, ? x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 6 , ∴1 ? x ? 6 2 综上,{ x | ? ? x ? 6} ………5 分 3 ? x ? 4, x ? ?2 ? (2) f ( x) ? ?3 x,?2 ? x ? 1 函数 f ( x) 的图像如图所示: ? ? x ? 4, x ? 1 ?
当 ? 2 ? x ? 1 时, 3 x ? ?2 ,即 x ? ? ∴当- a

令 y ? x ? a , ? a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时, ? a ? 2 ;

? 2,即 a ? -2 时成立;

…………………8 分

当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,令 ? x ? 4 ? x ? a , 得 x ? 2 ? ∴a

a , 2
…………………10 分

? 2+ a ,即 a ? 4 时成立,综上 a ? -2 或 a ? 4。
2
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