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四川省眉山等四市高中2016届高三第一次诊断性联考理科数学试题


眉山市高中 2016 届第一次诊断性考试 数 第I卷 学(理工类) (选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的。 1.已知集合 A={x|-1≤x≤1) ,集合 B={x|x2-2x≤0) ,则集合 A B = A. [-1,0] B. [-1,2]

C.[0,1] D.(一∞,1] [2,+∞) 2.已知 i 是虚数单位,则复数 i(1+i)的共轭复数为 A.1+i B.l-i C.-l+i D.-l-i 3.某单位有职工 750 人,其中青年职 T 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人. 为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的 青年职工为 7 人,则样本容量为 A.15 B.20 C.25 D.30 4.设函数 f(x)=3x 十 bcosx,x∈R,则“b=0”是“函数 f(x)为奇函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设 a = sin 46°,b=cos46° ,c=tan46°.则 A. c>a>b B. a>b>c C. b>c>a D. c>b>a 6.如图,在△OAB 中,点 P 在边 AB 上,且 AP:PB-3:2.则

??? ? OP =
? 2 ??? ? 3 ??? OB 5 5 ??? ? ? 3 2 ??? C. OA ? OB 5 5
A. OA ?

? 3 ??? ? 2 ??? OA ? OB 5 5 ??? ? ? 2 3 ??? D. OA ? OB 5 5
B.

7.在等比数列{an)中,al =1,公比|q|≠1,若 am=a2a5a10, ,则 m= A.15 B.16 C.17 D.18 8.从某学习小组的 5 名男生和 4 名女生中任意选取 3 名学生进行视力检测,其中至 少要选到男生与女生各一名,则不同的选取种数有 A.35 B.70 C.80 D.140 9.已知集合 A-{1,2,3,4,5,6,7,8,9) ,在集合 A 中任取三 个元素,分别作为一个三位数的个位数,十位数和百位数, 记这个三位数为 a,现将组成 a 的三个数字按从小到大排 成的三位数记为 I(a) ,按从大到小排成的三位数记为 D(a) (例如 a= 219,则 I(a)=129,D(a)= 921) ,阅读如图 所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个 a,则输 出 b 的值为 A. 792 B.693 C.594 D.495

10.已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x k , g ( x) ? (k∈N*) ,若对任意的 c>l,存在实数 a,b 满 x ?1 x

足 0<a<b<c,使得 f(c)=f(a)=g(b),则 k 的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.5

第Ⅱ卷

(非选择题

共 1 00 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.若(ax-l)6 展开式中 x3 的系数为 20,则 a 的值为 . 12.设 x,y 满足约束条件 则目标函数 z=x+y 的最大值为____.

13.在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC, CB 的长,则该矩形面积不小于 9 cm2 的概率为____. 14.已知函数 f(x)= sin (2x+

? ? ) ,将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得 3 3

到函数 g(x)的图象,若动直线 x=t 与函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值为____. 15.已知函数 f(x)= 若方程 f(x)=a(a∈R)有四个不同的解 x1,x2,x3,

x4,且 x1<x2<x3<x4,则(x1+x2)x4 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演 步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a=(2cosx,1),向量 b=(cosx, (I)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)当 x∈[ ? ,设函数 f(x)=a·b,x∈R. 3 sin 2x)

? ?
6 3
,

]时,求函数 f(x)的值域.

17.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 3Sn+2=4an(n∈N*). (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2an,数列{

1 1 }的前 n 项和为 Tn,证明:Tn< . 2 bn ? bn ?1

18.(本小题满分 12 分) 如图,在平面四边形 ABCD 中,AB= 5 2 ,∠CBD=75°, ∠ABD=30°,∠CAB=45°,∠CAD=60°. (I)求△ABC 的面积 S△ABC; (Ⅱ)求 CD 的长.

19.(本小题满分 12 分) 今年冬季,我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气,对我们的身体健康产 生了巨大的威胁,私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生 活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾 出一份力,为此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众 对“车辆限行”的态度,随机抽查了 50 人,将被调查的人数及其中赞成“车辆限 行”的人数按年龄段进行整理后制成下表:

(I)完成被调查人员的频率分布直方图;

(Ⅱ)若从年龄在[15,25) ,[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查, 记选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ,求随机变量 的分布列和数 学期望. 20.(本小题满分 13 分) 如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD.在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ 始终为 45°(其 中点 P,Q 分别在边 BC,CD 上) ,设 BP=t. (I)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△CPQ 的周长 l 是否为 定值; (Ⅱ)设探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S(平 方百米) ,求 S 的最大值. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x) =lnx,g(x)=ex,其中 e 是白然对数的底数,e=2. 71828.... (I)若函数 ? ( x) ? f ( x) ?

x ?1 , 求函数 ? ( x) 的单调区间; x ?1

(Ⅱ)若 x≥0,g(x)≥kf(x+1)+1 恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设直线 l 为函数 f(x)的图象上一点 A(x0,f(x0)处的切线,证明:在区间 (1,+∞)上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切,


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