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2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-四川卷


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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动、用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答第Ⅱ卷时,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 ..... ......... 4. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么

球的表面积公式

P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ?
如果事件 A、B 相互独立,那么

S ? 4? R2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B?
如果事件 A 在一次实验中发生的概率是 p ,那么

4 V ? ? R3 3
其中 R 表示球的半径

n 次独立重复实验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn ? k ? ? Cn p k ?1 ? p ? n?k

, ? k ? 0,1, 2,? , n ?

第Ⅰ卷
一.选择题: 1.设集合 U ? ?1,2,3,4,5? , A ? ?1,2,3?, B ? ?2,3,4? ,则 ? ? A ? B ? ? ( U (A) ?2,3? 2.复数 2i ?1 ? i ? ? (
2

) (D) ?1,5?

(B) ?1, 4,5? ) (B) 4
2

(C) ?4,5?

(A) ?4

(C) ? 4i

(D) 4i

3. ? tan x ? cot x ? cos x ? ( (A) tan x

) (C) cos x (D) cot x )

(B) sin x
0

4.直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 ,再向右平移1个单位,所得到的直线为( (A) y ? ?

1 1 x? 3 3

(B) y ? ?

1 x ?1 3

(C) y ? 3x ? 3 )

(D) y ?

1 x ?1 3

5.设 0 ? ? ? 2? , 若sin ? ? 3 cos? ,则 ? 的取值范围是:(

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(A) ?

?? ? ? , ? ?3 2?

(B) ?

?? ? ,? ? ?3 ?

(C) ?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

(D) ?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?

6.从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加, 则不同的挑选方法共有( ) (A) 70 种 (B) 112 种 (C) 140 种 (D) 168 种 7.已知等比数列 {an} 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( (A) ? ??, ?1 (C) ?3, ?? ? )

?

(B) ? ??,0? ? ?1, ??? (D) ? ??, ?1? ? ?3, ???

8. M , N 是球 O 半径 OP 上的两点, NP ? MN ? OM , 设 且 分别过 N , M , O 作垂直于 OP 的平面,截球面得三个圆,则这三个圆的面积之比为:( ) (A)3:5:6 (B)3:6:8 (C)5:7:9 (D)5:8:9
0 9.直线 l ? 平面 ? ,经过平面 ? 外一点 A 与 l , ? 都成 30 角的直线有且只有:(

)

(A)1条

(B)2条

(C)3条

(D)4条 )

10.设 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? ,其中 ? ? 0 ,则 f ? x ? 是偶函数的充要条件是( (A) f ? 0? ? 1 (B) f ? 0? ? 0 (C) f
'

? 0? ? 1

(D) f

'

? 0? ? 0
)

11.设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 13 ,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 99? ? ( (A) 13 (B) 2 (C)

13 2

(D)

2 13

2 12 . 已 知 抛 物 线 C : y ? 8x 的 焦 点 为 F , 准 线 与

x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且

AK ? 2 AF ,则 ?AFK 的面积为(
(A) 4 (B) 8

) (C) 16 (D) 32

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。
2 13. ?1 ? 2 x ? ?1 ? x ? 展开式中 x 的系数为_______________。
3 4

14.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 距离的最小值
2 2

为_____________。 15.已知正四棱柱的对角线的长为 6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为
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3 ,则该正四 3

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棱柱的体积等于________________。 16.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为___________。 三.解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。

18. (本小题满分 12 分) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种商品的概率为 0.6 , 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅲ)记 ? 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求 ? 的 分布列及期望。 19. (本小题满分 12 分) 如图,平面 ABEF ? 平面 ABCD ,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,

?BAD ? ?FAB ? 900 , BC

// ?

1 AD , BE 2

// ?

1 AF 2

(Ⅰ)证明: C , D, F , E 四点共面; (Ⅱ)设 AB ? BC ? BE ,求二面角 A ? ED ? B 的大小; 20. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n
n ?1 (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)求 ?an ? 的同项公式 21. (本小题满分 12 分) 设椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 离心率 e ? , 右准线为 l , 2 a b 2

M , N 是 l 上的两个动点, F1M ? F2 N ? 0
(Ⅰ)若 F1M ? F2 N ? 2 5 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 MN 取最小值时, F M ? F2 N 与 F1F2 共线。 1

????? ???? ?

?????

???? ?

????? ???? ?

???? ?

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22. (本小题满分 14 分) 已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ?10x 的一个极值点。
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围。

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学参考答案(理工农医类) 第Ⅰ卷
一.选择题: 1.B 2.A 3.D 4.A 5.C 6.C 11.C 12.B 7.D 8.D 9.B 10.D

第Ⅱ卷
二.填空题: 13. ?6 14. 2 15. 2 16. 4

三.解答题: 17. 解: y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x
2 4

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11? 中的最大值为 ,
2

zm a x? ? ? ?1 1 ?
最小值为

2

?6 ?1 0

zm i n? ?1 ? 1 ?

2

?6 ?6

故当 sin 2 x ? ?1 时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6

18. 解:记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品, 记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种, 记 D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种, (Ⅰ) C ? A ? B ? A ? B

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P ? C? ? P A B A B ? ? ? ? P A? B ? P A? B

?

?

?

? ? ? ?

?

? P ? A? ? P B ? P ? A ? ? P ? B ?

? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5
(Ⅱ) D ? A ? B

P D ? P A? B ? P A ?P B

? ?

?

?

? ? ? ? ? ?

? 0.5 ? 0.4 ? 0.2
P ? D? ? 1 ? P D ?0 . 8
(Ⅲ) ? ? B ? 3,0.8? ,故 ? 的分布列

P ?? ? 0? ? 0.23 ? 0.008
1 P ?? ? 1? ? C3 ? 0.8? 0.22 ? 0.096 2 P ?? ? 2? ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.384

P ?? ? 3? ? 0.83 ? 0.512
所以 E? ? 3 ? 0.8 ? 2.4

19. 解法一:

1 (Ⅰ)延长 DC 交 AB 的延长线于点 G ,由 BC // AD 得
?

2

GB GC ? ? GA GD

B C1 ? A D2
'

延长 FE 交 AB 的延长线于 G 同理可得

G ' E G ' B BE 1 ? ? ? G ' F G ' A AF 2
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G ' B GB ? ,即 G 与 G ' 重合 ' G A GA

因此直线 CD、EF 相交于点 G ,即 C , D, F , E 四点共面。 (Ⅱ)设 AB ? 1 ,则 BC ? BE ? 1 , AD ? 2 取 AE 中点 M ,则 BM ? AE ,又由已知得, AD ? 平面 ABEF 故 AD ? BM , BM 与平面 ADE 内两相交直线 AD、AE 都垂直。 所以 BM ? 平面 ADE ,作 MN ? DE ,垂足为 N ,连结 BN 由三垂线定理知 BN ? ED,?BNM 为二面角 A ? ED ? B 的平面角。

B M?

2 1A D A E ? , M? ? N ? 2 2 DE BM 6 ? MN 2 6 2

3 3

故 tan ?BNM ?

所以二面角 A ? ED ? B 的大小 arctan

解法二: 由平面 ABEF ? 平面 ABCD , AF ? AB ,得 FA ? 平面 ABCD ,以 A 为坐标原点, 射线 AB 为 x 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系 A ? xyz (Ⅰ)设 AB ? a,BC ? b, BE ? c ,则

B ? a 0 , ,0 ? a , b , ? 0 E, ? a ? c , D , , ? C , 0 ? ?
??? ? ??? ? EC ? ? 0, b, ?c ? , FD ? ? 0, 2b, ?2c ?
故 EC ?

?

0 , 2? F 0 , c 0 , 0 , 2 b ,

??? ?

? 1 ??? FD ,从而由点 E ? FD ,得 EC // FD 2

故 C , D, F , E 四点共面 (Ⅱ)设 AB ? 1 ,则 BC ? BE ? 1 ,

B ?1,0,0? , C ?1,1,0? , D ?0,2,0? , E ?1,0,1?
在 DE 上取点 M ,使 DM ? 5ME ,则 M ? , , ?

???? ?

????

?5 1 5? ?6 3 6?

从而 MB ? ? , ? , ? ?

????

?1 ?6

1 3

5? 6?

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???? ???? ???? 又 DE ? ?1, ?2,1? , MB ? DE ? 0, MB ? DE
在 DE 上取点 N ,使 DN ? 2 NE ,则 N ?

????

??? ?

?2 2 2? , , ? ?3 3 3?

从而 NA ? ? ? , ? , ?

??? ?

? 2 ? 3

2 3

? 2 ? ??? ???? , NA ? DE ? 0, NA ? DE ? 3?

故 MB 与 NA 的夹角等于二面角 A ? DE ? B 的平面角,

????

??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? MB ? NA 10 cos MB ? NA ? ???? ??? ? ? 5 MB ? NA
所以二面角 A ? DE ? B 的大小 arccos

10 5

20. 解:由题意知 a1 ? 2 ,且

ban ? 2n ? ?b ?1? Sn ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1
n

即 an?1 ? ban ? 2n



(Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n 于是 an?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?
n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 当 b ? 2 时,由由①得

n?1

an ?1 ?

1 1 ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 2?b 2?b b ? ban ? ? 2n 2?b

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1 ? ? ? b ? an ? ? 2n ? 2?b ? ?
因此 an ?1 ?

1 1 ? ? ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ?

?

2 ?1 ? b ? n ?b 2?b

得 an ? ? 1

? ?

2

n ?1 n?2

n n ?1 ? 2 ? b ? 2 ? ? 2 ? 2b ? b ? ? ? ?

21.
2 2 2 解:由 a ? b ? c 与 e ?

a 2 ,得 a 2 ? 2b2 ? c 2

? ? ? 2 ? 2 F1 ? ? a,?,F2 ? 0? a,? , l 的方程为 x ? 2a 0? ? 2 ? 2 ? ? ? ?
设M

?

2a,y1 ,N

?

?

2a,y2

?

则 F1M ? ? ?

?????

? ?3 2 ? ???? ? 2 ? a,y1 ?,2 N ? ? F a,y2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

由 F M ? F2 N ? 0 得 1

????? ???? ?

3 y1 y2 ? ? a 2<0 ① 2 ????? ???? ? (Ⅰ)由 F1M ? F2 N ? 2 5 ,得

?3 2 ? 2 ? ? 2 a ? ? y1 ? 2 5 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 a ? ? y2 ? 2 5 ? ? ?
2

2





2 由①、②、③三式,消去 y1 , y2 ,并求得 a ? 4

故 a ? 2, b ?

2 ? 2 2

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(Ⅱ) MN

2

? ? y1 ? y2 ? ? y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? ?2 y1 y2 ? 2 y1 y2 ? ?4 y1 y2 ? 6a 2
2

当且仅当 y1 ? ? y2 ?

6 6 a 或 y2 ? ? y1 ? a 时, MN 取最小值 6a 2 2
???? ? ?3 2 ? ? 2 ? a,y1 ? ? ? a,y2 ? ? 2 2a, y1 ? y2 ? 2 2a, 0 ? 2 F1F2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

此时, F1M ? F2 N ? ?

????? ???? ?

?

? ?

?

故 F M ? F2 N 与 F1F2 共线。 1

????? ???? ?

???? ?

22.
' 解: (Ⅰ)因为 f ? x ? ?

a ? 2 x ? 10 1? x a ' 所以 f ? 3? ? ? 6 ? 10 ? 0 4 因此 a ? 16

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

f ? x? ? 1 6 l ? ? x ? 2x ? 1 0 x? ? 1, ? n 1 ? x ,? ? ?
f ? x? ?
'

2 ? x 2 ? 4x ? 3 ? 1? x
'

当 x? ? ?1,1? ? ? 3, ??? 时, f 当 x ? ?1,3? 时, f
'

? x? ? 0

? x? ? 0

所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? ?1,1? , ?3, ???

f ? x ? 的单调减区间是 ?1,3?
(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调增加,在 ?1,3? 内单调减少,在 ?3,??? 上单调 增加,且当 x ? 1 或 x ? 3 时, f
'

? x? ? 0

所以 f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? 16ln 2 ? 9 ,极小值为 f ?3? ? 32ln 2 ? 21 因为 f ?16? ? 16 ? 10 ?16 ? 16ln 2 ? 9 ? f ?1?
2

f ? e?2 ? 1? ? ? 2 ? 1 1 ? ?2 1 ? 3 f?

?

3

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ?3, ??? 直线 y ? b 有 y ? f ? x ? 的图象各有一 个交点,当且仅当 f ? 3? ? b ? f ?1?
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因此, b 的取值范围为 ?32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9? 。

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