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26.3实际问题与二次函数2


26.3 实际问题与二次函数(1) 教学目标:
1.使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数 y=ax 的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 3.让学生体验二次函数的函数关系式的应用,提高学生用数学意识。
2

重点难点:
重点:已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数 2 2 y=ax 、y=ax +bx+c 的关系式是教学的重点。 难点:已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。

教学过程:
一、创设问题情境 如图,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线 AOB)的薄壳屋顶。它的 拱高 AB 为 4m,拱高 CO 为 0.8m。施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的 轮廓线呢? 分析:为了画出符合要求的模板,通常要先建 立适当的直角坐标系,再写出函数关系式,然后根据 这个关系式进行计算,放样画图。 如图所示,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,以过点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴,建立直角坐标系。这时,屋 顶的横截面所成抛物线的顶点在原点, 对称轴是 y 轴, 开口向下,所以可设它的函数关系式为: y=ax2 (a<0) (1) 因为 y 轴垂直平分 AB,并交 AB 于点 C,所以 CB= =2(cm),又 CO=0.8m,所以点 B 的坐标为(2,-0.8)。 因为点 B 在抛物线上,将它的坐标代人(1),得 -0.8=a× 2
2

AB 2

所以 a=-0.2 因此,所求函数关系式是 y=-0.2x2。 请同学们根据这个函数关系式,画出模板的轮廓线。 二、引申拓展 问题 1:能不能以 A 点为原点,AB 所在直线为 x 轴,过点 A 的 x 轴的垂线为 y 轴,建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的,以 A 点为原点,AB 所在的直 线为 x 轴,过点 A 的 x 轴的垂线为 y 轴,建立直角坐标系也是可行的。

问题 2,若以 A 点为原点,AB 所在直线为 x 轴,过点 A 的 x 轴的垂直为 y 轴, 建立直角坐标系,你能求出其函数关系式吗? 分析: 按此方法建立直角坐标系, 则 A 点坐标为(0, 0), B 点坐标为(4, 0),OC 所在直线为抛物线的对称轴,所以有 AC=CB,AC=2m,O 点坐标为(2;0.8)。 即把问题转化为:已知抛物线过(0,0)、(4,0);(2,0.8)三点,求这个二次 函数的关系式。 二次函数的一般形式是 y=ax +bx+c,求这个二次函数的关系式,跟以前 学过求一次函数的关系式一样,关键是确定 o、6、c,已知三点在抛物线上,所 以它的坐标必须适合所求的函数关系式;可列出三个方程,解此方程组,求出三 个待定系数。 解:设所求的二次函数关系式为 y=ax +bx+c。 因为 OC 所在直线为抛物线的对称轴, 所以有 AC=CB, AC=2m, 拱高 OC=0.8m, 所以 O 点坐标为(2,0.8),A 点坐标为(0,0),B 点坐标为(4,0)。 由已知,函数的图象过(0,0),可得 c=0,又由于其图象过(2,0.8)、(4,
?4a+2b=0.8 0),可得到? 解这个方程组,得 ?16+4b=0
2 2

?a=-1 5 ? 4 ?b=5

1 2 4 所以,所求的二次函数的关系式为 y=- x + x。 5 5 问题 3:根据这个函数关系式,画出模板的轮廓线,其图象是否与前面所画 图象相同? 问题 4:比较两种建立直角坐标系的方式,你认为哪种建立直角坐标系方式 能使解决问题来得更简便?为什么? (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便,这是因为所设函数关系 式待定系数少,所求出的函数关系式简单,相应地作图象也容易) 请同学们阅渎 P18 例 7。 三、课堂练习: P18 练习 1.(1)、(3)2。 四、综合运用 例 1.如图所示,求二次函数的关系式。 分析:观察图象可知,A 点坐标是(8,0),C 点坐 标为(0,4)。从图中可知对称轴是直线 x=3,由于抛 物线是关于对称轴的轴对称图形,所以此抛物线在 x 轴上的另一交点 B 的坐标是 (-2,0),问题转化为已知三点求函数关系式。 解:观察图象可知,A、C 两点的坐标分别是(8,0)、(0,4),对称轴是直线 x=3。因为对称轴是直线 x=3,所以 B 点坐标为(-2,0)。 设所求二次函数为 y=ax +bx+c,由已知,这个图象经过点(0,4),可以
?64a+8b=-4 得到 c=4,又由于其图象过(8,0)、(-2,0)两点,可以得到? 解 ?4a-2b=-4
2

?a=-1 4 这个方程组,得? 3 ?b=2
1 2 3 所以,所求二次函数的关系式是 y=- x + x+4 4 2 练习: 一条抛物线 y=ax +bx+c 经过点(0,0)与(12,0),最高点的纵坐标是 3,求这 条抛物线的解析式。 五、小结: 二次函数的关系式有几种形式,函数的关系式 y=ax +bx+c 就是其中一种常见 的形式。二次函数关系式的确定,关键在于求出三个待定系数 a、b、c,由于已 知三点坐标必须适合所求的函数关系式, 故可列出三个方程, 求出三个待定系数。 六、作业 1.P19 习题 26.2 4.(1)、(3)、5。 2.选用课时作业优化设计, 每一课时作业优化设计 1. 二次函数的图象的顶点在原点,且过点(2,4),求这个二次函数的关系式。 2.若二次函数的图象经过 A(0,0),B(-1,-11),C(1,9)三点,求这个 二次函数的解析式。 3.如果抛物线 y=ax +Bx+c 经过点(-1,12),(0,5)和(2,-3), ;求 a +b+c 的值。 4.已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,求这个二次函数的关系 式;
2 2 2 2

1 3 2 5.二次函数 y=ax +bx+c 与 x 轴的两交点的横坐标是- , ,与 x 轴交点 2 2 的纵坐标是-5,求这个二次函数的关系式。

实际问题与二次函数(2) 教学目标:
1.复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 2.使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。

重点难点:
根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点,也是难 点。

教学过程:
一、复习巩固 1.如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2.已知二次函数的图象经过 A(0,1),B(1,3),C(-1,1) 。 (1)求二次函数的关系式, (2)画出二次函数的图象; (3)说出它的顶点坐标和对称轴。 1 1 3 答案:(1)y=x2+x+1,(2)图略,(3)对称轴 x=- ,顶点坐标为(- , )。 2 2 4 3.二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴,顶点坐标各是什么? b b 4ac-b [对称轴是直线 x=- ,顶点坐标是(- , )] 2a 2a 4a 二、范例 例 1.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这 个二次函数的关系式。 分析:二次函数 y=ax2+bx+c 通过配方可得 y=a(x+h)2+k 的形式称为顶 点式,(-h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8, 9),因此,可以设函数关系式为: y=a(x-8)2+9 由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出 a 的值。 请同学们完成本例的解答。 练习:P18 练习 1.(2)。 例 2.已知抛物线对称轴是直线 x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次 函数的关系式。 解法 1:设所求二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点 (0,-5),可求得 c=-5,又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线
2

?- b =2 ? x=2,可以得? 2a ? ?9a+3b=6
?a=-2 解这个方程组,得:? ?b=8

所以所求的二次函数的关系式为 y=-2x2+8x-5。

解法二;设所求二次函数的关系式为 y=a(x-2)2+k,由于二次函数的图象经
?a(3-2) +k=1 过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到? 2 ?a(0-2) +k=-5 ?a=-2 解这个方程组,得:? ?k=3
2

所以,所求二次函数的关系式为 y=-2(x-2)2+3,即 y=-2x2+8x-5。 例 3。已知抛物线的顶点是(2,-4),它与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4,求 函数的关系式。 解法 1:设所求的函数关系式为 y=a(x+h)2+k,依题意,得 y=a(x-2)2-4 因为抛物线与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4,所以抛物线过点(0,4),于是 a(0-2)2-4=4,解得 a=2。所以,所求二次函数的关系式为 y=2(x-2)2-4, 即 y=2x2-8x+4。 解 法 2 : 设 所 求 二 次 函 数 的 关 系 式 为 y = ax2 + bx + c? 依 题 意 , 得 b - =2 ? ? 2a ? ?a=2 4ac - b 解这个方程组,得: ?b=-8 ? =-4 ?c=4 4a ? ? ?c=4
2

所以,所求二次函数关系式为 y=2x2-8x+4。 三、课堂练习 1. 已知二次函数当 x=-3 时,有最大值-1,且当 x=0 时,y=-3,求二次函数 的关系式。 解法 1:设所求二次函数关系式为 y=ax2+bx+c,因为图象过点(0,3),所以

?- b =-3 ? 2a c=3,又由于二次函数当 x=-3 时,有最大值-1,可以得到:? 12a-b2 ? ? 4a =-1
4 ? ?a=9 解这个方程组,得:? 8 ? ?b=3 4 8 所以,所求二次函数的关系式为 y= x2+ x+3。 9 3 解法 2:所求二次函数关系式为 y=a(x+h)2+k,依题意,得 y=a(x+3)2-1 因为二次函数图象过点(0,3),所以有 3=a(0+3)2-1 解得 a= 4 9

4 8 所以,所求二次函数的关系为 y=44/9(x+3)2-1,即 y= x2+ x+3. 9 3 小结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值,就 是已知该函数顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大。 2.已知二次函数 y=x2+px+q 的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数

关系式。

?-p=5 ? 2 简解:依题意,得? 4q-p2 ? ? 4 =-2
解得:p=-10,q=23 所以,所求二次函数的关系式是 y=x2-10x+23。 四、小结 1,求二次函数的关系式,常见的有几种类型? [两种类型:(1)一般式:y=ax2+bx+c (2)顶点式:y=a(x+h)2+k,其顶点是(-h,k)] 2.如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通 常需要三个已知条件。在具体解题时,应根据具体的已知条件,灵活选用合适的 形式,运用待定系数法求解。 五、作业: 1. 已知抛物线的顶点坐标为(-1,-3),与 y 轴交点为(0,-5),求二次函数的关 系式。 2.函数 y=x2+px+q 的最小值是 4,且当 x=2 时,y=5,求 p 和 q。 3.若抛物线 y=-x2+bx+c 的最高点为(-1,-3),求 b 和 c。 4.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A(0,1),B(-1,0),C(1,0), 那么此函数的关系式是______。如果 y 随 x 的增大而减少,那么自变量 x 的变化 范围是______。 5.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过 A(0,-5),B(5,0)两点,它的 对称轴为直线 x=2,求这个二次函数的关系式。 6.如图是抛物线拱桥,已知水位在 AB 位置时,水面宽 4 6米,水位上升 3 米就达到警戒线 CD,这时水面宽 4 3米,若洪水到来时,水位以每小时 0.25 米 速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?


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