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2015北京市丰台区高三二模理科数学试题及答案(word版)


北京市丰台区 2015 年高三二模 数学(理科)
第一部分 (选择题 共 40 分)

2015.5

选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知 A ? {x x ? 1} , B ? {x x2 ? 2x ? 0} ,则 A (A) {x x ? 0 或 x ? 1} (B) {x 1 ? x ? 2}

B? (

) (D) {x x ? 0}

(C) {x x ? 0 或 x ? 1}

2. “a=0”是“复数 z ? a ? bi (a,b∈R)为纯虚数”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3.直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? x 2 ? x ? 1 所围成的封闭图形的面积为 (A)

22 3

(B)

28 3

(C)

32 3

(D)

34 3

4.函数 f ( x ) ? ? (A) 1 ? ?? (C) 1 ? ?

? ? x ? 1, x ? 0, 的所有零点的和等于 2 cos x ? 1, ? 2 ? ? x ? 0 ? ?
3? (B) 1 ? 2 ? (D) 1 ? 2
9 2 3 (D) 2
(B)

3

3 正视图

1

5.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则其左视图面积为 (A) 6 (C) 3

2

2

? 6.平面向量 a 与 b 的夹角是 ,且 a ? 1 , b ? 2 ,如果 AB ? a ? b , AC ? a ? 3b ,D 是 BC 3
的中点,那么 AD ?
(A)

俯视图

3

(B) 2 3

(C) 3

(D) 6

7.某生产厂家根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 5 天计算)生产 A,B,C 三种 产品共 15 吨(同一时间段内只能生产一种产品) ,已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表: 产品名称 天 产值(单位:万元) 则每周最高产值是 (A) 30 A B C

1 2
4

1 3 7 2
(C) 47.5

1 4
2

(B) 40

(D) 52.5

丰台区高三数学第二学期统一练习(二) (理科)第 1 页 共 10 页

8. 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , 经过 F 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , 与准线 l 交于点 B , 且 AK ⊥ l 于 K ,如果 | AF |?| BF | ,那么 △ AKF 的面积是 (A) 4 (B) 3 3 (C) 4 3 (D) 8

第二部分 (非选择题 共 110 分)
一、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知正实数 x , y 满足 xy ? 3 ,则 2 x ? y 的最小值是 10.直线 l 的斜率是 ? 1 ,且过曲线 ? 11.已知函数 f ( x ) ?
则 f ?( ) ?



? x ? 2 ? 2cos ? , ( ? 为参数)的对称中心,则直线 l 的方程是 ? y ? 3 ? 2sin ?



1 sin 2 x ? 3 cos2 x ,则 f ( x ) 的最小正周期是 2

;如果 f ( x ) 的导函数是 f ?( x) ,

? 6



12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是
开始



S ? 0,n ?1

P D C E B

1 S?S? n( n ? 1)
否 输出 S 结束

A

n ? 20


O

n ? n ?1

PA 是⊙ O 的切线, PB ? PA , BE ? PE ? 2 PD ? 4 , 13. 如图所示, △ ABC 内接于⊙ O , 则 PA ? _____, AC ? . 14. 已知非空集合 A , B 满足以下四个条件: ① A B ? {1,2,3,4,5,6,7} ;② A B ? ? ;③ A 中的元素个数不是 A 中的元素;④ B 中的元素个数 不是 B 中的元素. (ⅰ)如果集合 A 中只有 1 个元素,那么 A ? ______; (ⅱ)有序集合对( A , B )的个数是______.

丰台区高三数学第二学期统一练习(二) (理科)第 2 页 共 10 页

二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 在△ ABC 中, A ? 30 , BC ? 2 5 ,点 D 在 AB 边上,且 ?BCD 为锐角, CD ? 2 ,△ BCD 的 面积为 4. (Ⅰ)求 cos ?BCD 的值; (Ⅱ)求边 AC 的长.
?

16.(本小题共 13 分) 长时间用手机上网严重影响着学生的健康,某校为了解 A,B 两班学生手机上网的时长,分别从这两 个班中随机抽取 6 名同学进行调查,将他们平均每周手机上网时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示 (图中的茎表示十位数字, 叶表示个位数字) . 如果学生平均每周手机上网的时长超过 21 小时, 则称为“过 度用网”. A班 B班 (Ⅰ)请根据样本数据,分别估计 A,B 两班的学生平均每周上网时 长的平均值; (Ⅱ)从 A 班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据,求恰有 1 个数据 为“过度用网”的概率; (Ⅲ)从 A 班、B 班的样本中各随机抽取 2 名学生的数据,记“过度 用网”的学生人数为 ? ,写出 ? 的分布列和数学期望 E? . 9 3 4 1 0 7 0 1 2 3 1 1 6 2 5 7

17.(本小题共 14 分)

? A1 B1C1 D1 中 , AA1 ? 底 面 A B C D, BD ? AC 于 O , 且 如图所示,在四棱柱 ABCD
AA1 ? OC ? 2OA ? 4 ,点 M 是棱 CC1 上一点.
(Ⅰ)如果过 A1 , B1 , O 的平面与底面 ABCD 交于直线 l ,求证: l / / AB ; (Ⅱ)当 M 是棱 CC1 中点时,求证: AO ? DM ; 1 (Ⅲ)设二面角 A 1 ? BD ? M 的平面角为 ? ,当
A1 B1 D1

cos ? ?

2 5 时,求 CM 的长. 25

C1 A B O M D

C

丰台区高三数学第二学期统一练习(二) (理科)第 3 页 共 10 页

18.(本小题共 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 10 , an ? ? (Ⅰ)写出 a3 , a4 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求 Sn 的最大值.

?2an ?1 ,

n ? 2k ,

? ?1 ? log 2 an ?1 , n ? 2k ? 1

(k ? N* ) ,其前 n 项和为 Sn .

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的焦距为 2 ,其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个 a 2 b2

顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)动点 P 在椭圆 C 上,直线 l : x ? 4 与 x 轴交于点 N, PM ? l 于点 M ( M , N 不重合) ,试 PM ? PTN 问在 x 轴上是否存在定点 T ,使得 的平分线过 中点,如果存在,求定点 T 的坐标;如果不存 在,说明理由.

20.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

ln ax ? 1 ( a ? 0 ). x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)如果关于 x 的方程 ln x ? 1 ? bx 有两解,写出 b 的取值范围(只需写出结论) ;
* (Ⅲ)证明:当 k ? N 且 k ? 2 时, ln

k 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ln k . 2 2 3 4 k

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区高三数学第二学期统一练习(二) (理科)第 4 页 共 10 页

丰台区 2015 年高三年级第二学期数学统一练习(二)


题号 答案 1 D 2 B

学(理科)参考答案
3 C 4 A 5 C 6 A 7 D 8 C

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

一、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 2 6 12. 10. x ? y ? 5 ? 0 13.4; 5 2 11. ? ; ?1 14. {6} ;32

21 22

注:第 11,13,14 题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 二、解答题: 15.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 S ?BCD ?

1 BC ? CD ? sin ?BCD ? 4 , 2

所以 sin ?BCD ?

2 5 . 5

因为 ?BCD 为锐角, 所以 cos ?BCD ? 1 ? (

2 5 2 5 . ) ? 5 5
2 2

????????6 分

(Ⅱ)在 ?BCD 中,因为 DB ? CD ? BC ? 2CD ? BC ? cos?BCD ,
2

所以 DB ? 4 . 因为 DB ? CD ? BC ,
2 2 2

所以 ?CDB ? 90? . 所以 ?ACD 为直角三角形.
? 因为 A ? 30 ,所以 AC ? 2CD ? 4 ,即 AC ? 4 .

????????13 分

16.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)A 班样本数据的平均值为

1 (9 ? 11 ? 13 ? 20 ? 24 ? 37) ? 19 , 6

由此估计 A 班学生每周平均上网时间 19 小时; B 班样本数据的平均值为

1 (11 ? 12 ? 21 ? 25 ? 27 ? 36) ? 22 , 6
????????2 分

由此估计 B 班学生每周平均上网时间 22 小时.

(Ⅱ)因为从 A 班的 6 个样本数据中随机抽取 1 个的数据,为“过度用网”的概率是

1 , 3

所以从 A 班的样本数据中有放回的抽取 2 个的数据,恰有 1 个数据为“过度用网”的概率为

丰台区高三数学第二学期统一练习(二) (理科)第 5 页 共 10 页

2 4 1 1 P ? C2 ( )?( ) ? . 3 3 9
(Ⅲ) ? 的可能取值为 0,1,2,3,4.

????????5 分

P(? ? 0) ?

2 2 C4 C3 2 ? , 2 2 C6 C6 25

P(? ? 1) ?

1 1 2 2 1 1 C4 C2C3 ? C4 C3C3 26 , ? 2 2 C6 C6 75

2 2 2 2 1 1 1 1 C2 C3 ? C4 C3 ? C4 C2C3C3 31 , P(? ? 2) ? ? 2 2 C6 C6 75 2 1 1 1 1 2 2 2 C2 C3 C2 C3C3 ? C4 C2C3 11 1 , ? P ( ? ? 4 ) ? ? . 2 2 2 2 C6 C6 75 C6 C6 75

P(? ? 3) ?

? 的分布列是:
?
P 0 1 2 3 4

2 25

26 75

31 75

11 75

1 75
????????13 分

E? ? 0 ?

2 26 31 11 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? . 25 75 75 75 75 3

17.(本小题共 14 分)

证明: (Ⅰ)因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 是棱柱,所以 A1 B1 BA 是平行四边形.
所以 A1 B1 // AB . 因为 A1 B1 ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , 所以 A1 B1 // 平面 ABCD . 因为平面 A1 B1O ? 平面 ABCD ? l ,
B1 z A1 D1

所以 l // A1B1 . 所以 l // AB .??????4 分 (Ⅱ)因为 DB ? AC 于 O ,如图建立空间直角坐标系. 因为 AA 1 ? 4 ,且 OC ? 2 AO ? 4 ,
B A O C1 M D y

所以 O(0,0,0) , C (4,0,0) , A( ?2,0,0) ,
C

A1 (?2,0,4) .
因为 M 是棱 CC1 中点,所以 M (4,0,2) .

x

丰台区高三数学第二学期统一练习(二) (理科)第 6 页 共 10 页

设 D(0, b,0) ,所以 DM ? (4, ?b,2) , OA 1 ? (?2,0,4) . 所以 DM ? OA 1 ? ?8 ? 0 ? 8 ? 0 . 所以 AO ? DM . 1 ????????8 分

(Ⅲ)设 D(0, b,0) , B(0, c,0) ,平面 A1BD 的法向量为 m ? ( x, y, z) , 又因为 A 1D ? (2, b, ?4) , A 1B ? (2, c, ?4) , 所以 ?

? ?m ? A1 D ? 0

?2 x ? by ? 4 z ? 0 . ?? 2 x ? cy ? 4 z ? 0 m ? A B ? 0 ? ? ? 1

因为 b ? c ,所以 y ? 0 ,令 z ? 1 ,则 x ? 2 ,所以 m ? (2,0,1) . 设 M (4,0, h) ,所以 MD ? (?4, b, ?h) , MB ? (?4, c, ?h) . 设平面 MBD 的法向量为 n ? ( x1, y1, z1 ) , 所以 ?

? ?n ? MD ? 0

??4 x1 ? by1 ? hz1 ? 0 ?? . ? 4 x ? cy ? hz ? 0 n ? MB ? 0 ? 1 1 1 ? ?
h h ,所以 n ? ( ? ,0,1) . 4 4

因为 b ? c ,所以 y1 ? 0 ,令 z1 ? 1,则 x1 ? ? 又因为 cos ? ?

2 5 , 25 2 5 2 5 ,即 ? ? 25 25 n m

所以 cos ? m, n ? ?

m?n

1?

h 2

h2 5? ?1 16



解得 h ? 3 或 h ?

7 . 6 7 6

所以点 M (4,0,3) 或 M (4, 0, ) . 所以 CM ? 3 或 CM ?

7 . 6

????????14 分

18.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 a1 ? 10 , 所以 a2 ? 2a1 ? 210 ,

a3 ? ?1 ? log2 a2 ? ?1 ? log2 210 ? 9 ,
a4 ? 29 ? 512 .
(Ⅱ)当 n 为奇数时, an ? ?1 ? log2 an?1 ? ?1 ? log2 2 即 an ? an?2 ? ?1 .
丰台区高三数学第二学期统一练习(二) (理科)第 7 页 共 10 页
an?2

????????3 分

? an?2 ?1 ,

所以 {an } 的奇数项成首项为 a1 ? 10 ,公差为 ?1 的等差数列. 所以当 n 为奇数时, an ? a1 ? (

n ?1 21 ? n ) ? (?1) ? . 2 2

a 当 n 为偶数时, an ? 2 n ?1 ? 2
n 11? 2

21?( n ?1) 2

?2

11?

n 2



? ? 2 , n ? 2k , (k ? N* ) 所以 an ? ? 21 ? n ? , n ? 2k ? 1. ? 2
(Ⅲ)因为偶数项 an ? 2
11? n 2

????????10 分

? 0 ,奇数项 an ?

21 ? n 为递减数列, 2

所以 Sn 取最大值时 n 为偶数. 令 a2 k ? a2 k ?1 ? 0 ( k ? N ), 即 2
*

11? k

?

21 ? 2k ? 1 ? 0. 2

所以 211?k ? k ? 11 . 得 k ? 11 . 所以 Sn 的最大值为 S22 ? (2 ? 2 ?
10 9

? 21 ? 20 ) ? (10 ? 9 ?

? 0) ? 2102 .
????????13 分

19.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)因为椭圆 C 的焦距 2c ? 2 , 所以 c ? 1 . 因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形, 所以 b ? 3c ? 3 , a ? b2 ? c2 ? 2 . 所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

????????4 分

(Ⅱ)假设存在点 T ,使得 ?PTN 的平分线过 PM 中点. 设 P( x0 , y0 ) , T (t ,0) , PM 的中点为 S . 因为 PM ? l 于点 M ( M , N 不重合) ,且 ?PTN 的平分线过 S , ? PTS ? ? STN ? ? PST 所以 . 又因为 S 为 PM 的中点,

1 PM . 2 1 2 2 即 ( x0 ? t ) ? ( y0 ? 0) ? x0 ? 4 . 2
所以 PT ? PS ? 因为点 P 在椭圆 C 上,所以 y0 ? 3(1 ?
2 2 x0 ), 4

代入上式可得 2 x0 (1 ? t ) ? (t ? 1) ? 0 .
2

丰台区高三数学第二学期统一练习(二) (理科)第 8 页 共 10 页

因为对于任意的动点 P, ?PTN 的平分线都过 S , 所以此式对任意 x0 ? (?2, 2) 都成立. 所以 ?

?1 ? t ? 0
2 ?t ? 1 ? 0



解得 t ? 1 . 所以存在定点 T ,使得 ?PTN 的平分线过 PM 中点, 此时定点 T 的坐标为 (1, 0) . ????????14 分

20.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)函数的定义域为 {x x ? 0}.

ln ax ? 1 , x ? ln ax 所以 f ?( x) ? . x2
因为 f ( x ) ?

1 . a 1 1 当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增; a a 1 1 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 ( , ?? ) 上单调递减. a a 1 1 所以当 x ? 时, f ( x )最大值 ? f ( ) ? a . ????????6 分 a a (Ⅱ)当 0 ? b ? 1 时,方程 ln x ? 1 ? bx 有两解. ????????8 分 ln x ? 1 1 ? 1 ,变形得 1 ? x ? ln ,当 x ? 1 等号成立.所以 (Ⅲ)由(Ⅰ)得 x x 1 1 ? ? ln 2 , 2 2 3 1 ? ? ln , 3 2
因为 a ? 0 ,所以当 f ?( x) ? 0 时, x ? ??

1?

k ?1 k ? ln , k k ?1 1 1 1 1 ? ? ? ?????? ? ? ln k . ????????10 分 2 3 4 k

* 所以得到 当 k ? N 且 k ? 2 时,

由(Ⅰ)得

ln x ? 1 ? 1 ,变形得 ln x ? x ? 1 ,当 x ? 1 等号成立.所以 x

3 ? 2 4 ln ? 3 5 ln ? 4 ln

3 ?1 , 2 4 ?1 , 3 5 ?1 , 4
丰台区高三数学第二学期统一练习(二) (理科)第 9 页 共 10 页

??

ln

k ?1 k ?1 ? ? 1, k k k ?1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?????? ? . 2 2 3 4 k

* 所以得到 当 k ? N 且 k ? 2 时, ln

又因为 ln

k k ?1 ? ln , 2 2 k 1 1 1 1 ? ? ? ? ?????? ? ? ln k . ????????13 分 2 2 3 4 k

* 所以当 k ? N 且 k ? 2 时, ln

(若用其他方法解题,请酌情给分)

丰台区高三数学第二学期统一练习(二) (理科)第 10 页 共 10 页


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