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湖北省宜昌市部分示范高中2015-2016学年高二(元月)期末联考数学(文)试卷

宜昌市部分示范高中教学协作体 2015 年秋期末联考
高二(文科)数学试题
命题人: (卷面满分:150 分 审题人: 考试时间:120 分钟)
) 一、选择题 (每小题 5 分,共 60 分) 1.若直线 l 经过点 A(2,5)、B(4,3),则直线 l 倾斜角为( A.

?
6

B.

?
3

C.

5? 6
2

D.

3? 4


2.“命题 P:对任何一个数 x ? R , 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0 C. ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0 3.已知 x 、 B. ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0 D. ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0

y 都是正实数,那么“ x ? 2 或 y ? 2 ”是“ x 2 ? y 2 ? 8 ”的(
B.必要不充分条件 C.充要条件



A.充分不必要条件 条件

D. 既不充分又不必要

4.下表是某厂 1 ~ 4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 4.5 4 3 2.5 由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是 月份 x 用水量 y 1 2 3 4

^ y ? ?0.7 x ? a ,则 a 等于(
A.10.5 B.5.15

) C.5.2 D.5.25 开始

5.为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的 92 家销售连锁店 中抽取 30 家了解情况。若采用系统抽样法, 则抽样间隔和随机剔除 的个体分别为( ) A.3、2 B.2、3 C.2、30 D.30、2 6.从 1、2、3、4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另 一个数的两倍的概率是( ) A.

输入 P(a,b,c)

a>b ? 否


e=a a=b b=e

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

3 4

7.设抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F, 过点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两 点,若线段 AB 的中点 E 到 y 轴的距离为 3, 则弦 AB 的长为( A.5 B.8 C. 10 D. 12 )

a>c? 否

是 e=a a=c c=e 是 e=b b=c c=e

b>c? 8.如图所示程序框图,其作用是输入空间直角坐标平面中一点 , p (a, b, c) ,则输出相应的点 Q(a, b, c) 。若 P 的坐标为(2,3,1) 则 P、 Q 间的距离为( ) 否 输出 Q(a,b,c)
1

结束

A. 0

B. 2

C. 6

D. 2 2
第8题

9.已知双曲线 的距离为( A.6 或 14

x2 y2 则 PF1 的中点 N 到坐标原点 O ? ? 1 上一点 P 到左焦点 F1 的距离为 10, 4 5
) B.3 或 7
3 2

C.3

D.7

10.函数 f ( x ) ? x ? 3x ? 3x 的极值点的个数是( A.0 B.1 C.2
3



D.3
2

11.若 a ? 0 、 b ? 0 ,且函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极值,则 ab 的最大值 等于( A.2 ) B.3 C.6 D.9

12. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 和 g ( x) 满足 g ( x) ? 0 , f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ,

f (1) f (?1) 5 f ( n) 15 令 an ? , 则使数列 ?an ?的前 n 项和 sn 超过 ? ? , f ( x) ? a x ? g ( x) , 16 g (1) g (?1) 2 g ( n)
的最小自然数 n 的值为( A.5 B.6 ) C.7 D.8

二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分) 13.已知圆心坐标为(1,2),且与 x 轴相切的圆的标准方程为

14. 已 知 函 数 f ( x) 的 图 像 在 点 M(1, f (1) ) 处 的 切 线 方 程 是 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 , 则

f (1) ? f ?(1) ?

.

15.在区间 ?? 1,1? 上随机取一个数 x , cos

?

1 x 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2

16.已知. f1 ( x) ? sin x ? cos x ,

f 2 ( x) ? f1?( x) ,
f 3 ( x) ? f 2?( x) ,

2

f n ( x) ? f n??1 ( x)

(n ? N ? , n ? 2) 。

则 f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ? ? f 2016 ( ) 的值为

?

?

?

4

4

4

.

三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)命题 P:关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立;命题 q:指数 函数 f ( x) ? ?3 ? 2a ? 是增函数。若 p ? q 为真; p ? q 为假,求实数 a 的取值范围。
x

18.(12 分)已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 和圆外一点 M(4,-8) ,过 M 作圆的割线交 圆于 A、B 两点,若 AB ? 4 ,求直线 AB 的方程。

19.(12 分)某班几位同学组成研究性学习小组,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一 次日常生活中是否具有环保意识的调查。若生活习惯具有环保意识的称为“环保族” ,否则 称为“非环保族” 。 得到如下统计表: 组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55] 环保族人群 120 195 100 占本组的频率 0.6 0.65 0.5 0.4 0.3 0.3 本组占样本的频率 0.2

q
0.2 0.15 0.1 0.05

a
30 15

(1)求 q、n、a 的值。 (2)从年龄段在[40,55]的“环保族”中采用分层抽样法抽取 7 人参加户外环保活动,其 中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[45,50)的概率。
3

20.(12 分)某商场销售某种商品的经验表明:该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销 售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数。 x ?3

已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。 (1)求 a 的值。 (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得 的利润最大。

21.(12 分)已知椭圆 C 的对称轴为坐标轴,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程。 (2)设直线 y ? kx ? 2 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 OM 若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆外,求 k 的取值范围。

1 3 ,且经过点(1, )。 2 2

2 1 ? OA , ON ? OB , 3 3

22.(12 分)已知函数 f ( x ) ? ln

3 2a ex ? f ( x) (其中 a ? R ). ? f ?(1) ? x , g ( x) ? x ? 2 2 x
4

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 g ( x ) 在区间 ?2,?? ? 上为增函数,求 a 的取值范围。

宜昌市部分示范高中教学协作体 2015 年秋期末联考

高二(文科)数学答案
一.选择题: 题 号 答 案 1 D 2 C 3 B 4 D 5 A 6 B 7 C 8 C 9 B 10 A 11 D 12 A

二.填空题: 13.

?x ? 1?2 ? ( y ? 2) 2 ? 4
2

14.

5 3

15.

1 3

16.

0

三.解答题: 17.解:设 g ( x) ? x ? 2ax ? 4 ,由于关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 对于一切 x ? R 恒成 立,所以,函数 g ( x) 的图像开口向上且与 x 轴没有交点。

? ? ? 4a 2 ? 16 ? 0 ? ?2 ? a ? 2
x

2分

函数是 f ( x) ? (3 ? 2a ) 增函数,则有

3 ? 2a ? 1 ?a ? 1
? p ? q为真,p ? q为假 ? p、q为一真一假 ?? 2 ? a ? 2 当p真q假时,有? ? a ?1 ?1 ? a ? 2

4分

5分

7分

?a ? ?2或a ? 2 当p假q真时,有? a ?1 ?

? a ? ?2

9分

综上所述:所求实数 a 的取值范围是 a 1 ? a ? 2或a ? ?2 18.解:圆的标准方程为: (x ? 2) ? ( y ? 1) ? 8
2 2

?

?

10 分

圆心 P (2,?1), 半径r ? 2 2

1分
5

若割线的斜率存在,设 AB: y ? 8 ? k ( x ? 4),即kx ? y ? 4k ? 8 ? 0 设 AB 的中点为 N,则 PN ?

2分

2k ? 1 ? 4k ? 8 k 2 ?1

?

2k ? 7 k 2 ?1

4分

由 PN ? (

2

AB 2

2 ) ? r 2得:k ? ?

45 28
2

6分 8分 11 分 12 分

AB 的直线方程为 45 x ? 28 y ? 44 ? 0 若割线的斜率不存在,AB: x ? 4 代入圆的方程得 y ? 2 y ? 3 ? 0

y1 ? 1, y2 ? ?3 符合题意。
综上得直线 AB 的方程为 x ? 4或45 x ? 28 y ? 44 ? 0

19.解: (1)第二组的频率为:q=1-(0.2+0.2+0.15+0.1+0.05)=0.3. 1 分 第一组的人数为 120÷0.6=200, 第一组的频率为 0.2, 所以:n=2000÷2=1000, 3分 第四组人数 1000×0.15=150; 所以:a=150×0.4=60. 5分 (2)因为[40,55)年龄段的“环保族”人数中采用分层抽样法抽取 7 人, [40,45)和[50,55)年龄段的有 5 人,[45,50)年龄段的有 2 人; 6分 设[40,45)和[50,55)年龄段的 5 人为 a、b、c、d,e、[45,50)年龄段的 2 人为 m,n. 则选取 2 人作为领队的有: (a,b) 、 (a,c) 、 (a,d) 、 (a,e) 、 (a,m) 、 (a,n) ; (b,c) 、 (b,d) 、 (b,e) (b,m) 、 (b,n) ; (c,d) 、 (c,e) 、 (c,m) 、 (c,n); (d,e) 、 (d,m) 、 (d,n); (e,m) 、 (e,n) ; (m,n) ,共 21 种; 9分 其中恰有 1 人年龄在[45,50)的有(a,m) 、 (a,n) 、 (b,m) 、 (b,n) 、 (c,m) 、 (c,n) 、 (d,m) 、 (d,n) , (e,m) 、 (e,n) ;共 10 种. 11 分 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[45,50)的概率为 20.解: (1)? 当 x ? 5 时, y ? 11

10 . 21

12 分

a ? 10(5 ? 6) 2 ? 11 5?3 ?a ? 2 ?
(2)由( 1)可知,该商品每日的销售量y ?

3分

2 ? 10( x ? 6) 2 (3 ? x ? 6) x ?3

? 该商场每日销售的利润是:

? 2 ? (3 ? x ? 6) f ( x) ? ? ? 10( x ? 6) 2 ? ( x ? 3) = 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ?x ?3 ?

6分

? f ?( x) ? 10 ( x ? 6) 2 ? 2( x ? 3)( x ? 6) ? 30( x ? 4)( x ? 6)

?

?

8分
6

当x变化时,f ( x)、f ?( x)的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(3,4)

4

(4,6)


单调递增

0
极大值 42


单调递减

由上表可得, x ? 4是函数f ( x)在区间(3,6)内的极大值点 ,也是最大值点。

?当x ? 4时,函数f ( x)取得最大值,且最大值为42 。
答:当销售价格定为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大。

11 分 12 分

x2 y2 21.解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
? c 1 ? ,? a ? 2c, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 a 2
2分

?

x2 y2 ? ?1 4c 2 3c 2

3 ? 椭圆C经过点( 1, ) 2 ?c ? 1

4分 5分

故椭圆C的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

? y ? kx ? 2 ? 消去y并整理得: (2)由? x 2 y 2 ? ?1 ? 3 ?4

(4k 2 ? 3) x 2 ? 16kx ? 4 ? 0
由于直线与椭圆 C 有两个交点

? ? ? (16k ) 2 ? 16(4k 2 ? 3) ? 0
?k 2 ? 1 4
6分

(x1 , y1 ) ,B (x2 , y2 ) ,则 设A
x1 ? x2 ? 16k 4 , x1 x2 ? 2 2 4k ? 3 4k ? 3
7分

? 原点 O 在以 MN 为直径的圆外

? ?MON为锐角
7

?

OM

1 ON 2 ? , ? OA 3 OB 3

? ?AOB为锐角

? OA ? OB ? 0

9分

? OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( kx1 ? 2)( kx 2 ? 2)
? (k 2 ? 1) 4 16k ? 12k 2 ? 16 ? 2 k ? ? 4 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

1 ? k2 ? ? 2 3 1 1 2 3 4 ?? ?? ?k?? 或 ?k? 2 ? 16 3 2 2 3 ? ? 12k ?0 2 ? 4k ? 3
即的取值范围为 ? ?

11 分

? 2 3 1? ?1 2 3? ? ? , ? ? ? ? ?? 2, 3 ? 3 2 ? ? ? ?

12 分

1 ? f ?(1),? f ?(1) ? 1 ? f ?(1) x 1 ex 1 ? f ?(1) ? ? f ( x ) ? ln ? x 2 2 2 1 1 2? x 故 ? f ( x) ? ? ? x 2 2x
22.解: (1) ? f ?( x ) ?

2 分, 3分 5分

当 ? 0 ? x ? 2 时, ? f ?( x ) ? 0 ;当 ? x ? 2 时, ? f ?( x ) ? 0 .

? f ( x ) 的单调增区间为 (0,2) ,单调减区间为 ( 2,??) .
(2) g ( x ) ? 2 x ?

6分

1 2a 2 x 2 ? x ? 2a 2a ex ? ,则 , 8分 g ( x ) ? 2 ? ? ? ? ln x x2 x2 x 2

由题意可知

2 x 2 ? x ? 2a ? 0 在 [2,??) 上恒成立, x2
9分

即 2 x 2 ? x ? 2a ? 0 在 [2,?? ) 上恒成立, 因函数 u ( x ) ? 2 x ? x ? 2a 开口向上,且对称轴为 x ?
2

1 , 4

故 u ( x ) 在 [2,?? ) 上单调递增, 因此只需使 u ( 2) ? 0 ,解得 a ? ?3 ; 11 分

8

易知当 a ? ?3 时, g ?( x ) ? 0 且不恒为 0. 故 a ? ?3 . 12 分

9