kl800.com省心范文网

江苏省栟茶高级中学2010届高三数学练习(二)

栟茶高级中学 2010 届高三数学练习(二)
班级 一、填空题(本题满分 70 分) 姓名 审核编辑:刘艳娥 学号

1.设集合 P ? ?x | x ? 1?,集合 Q ? ? x |

?x x ? 0?

? ?

1 ? ? 0? ,则 P ? Q ? x ?



2.若复数 z (1 ? i) ? a ? 3i ( i 是虚数单位, a 是实数),且 z ? z ( z为z的共轭复数) , 则a ? .-3 3.若非空集合 A,B,C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的子集,则“x∈C”是“x∈A”的 条件.必要但不充分 4.下图是 2009 年举行的某次民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统 计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 .

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3
答案: 85 , 1.6 5.记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4, S 4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? 6.在长为 1 的线段上任取两点,则这两点之间的距离小于 .3 .

1 的概率为 2

3 4

7. 已知抛物线 y =4x 的准线与双曲线

2

x2 ? y 2 ? 1交于 A、B 两点,点 F 为抛物线的焦点, 2 a

若△FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率是 _____________. 3 8 . 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB |=2 , | BC |=1 , | CA |=
AB · BC + BC · CA + CA · AB 的值等于_________.答案:-4

3 ,则

解析:∵| BC | +| CA | =| AB | , ∴△ABC 为直角三角形且∠C=90°. ∴ AB · BC + BC · CA + CA · AB

2

2

2

=| AB || BC |cos(π -∠B)+0+| CA || AB |cos(π -∠A)=-4.

?x+y≥0 ? 9.在平面直角坐标系中, 不等式组?x-y+4≥0 (a 为常数)表示的平面区域面积是 9, 那 ?x≤a ?
么实数 a 的值为 .1 10.在△ABC 中,已知向量 AB与 AC满足 ( 若△ABC 的面积是 2 15 ,则 BC 边的长是
2

AB | AB |

?

AC | AC |

) ? BC ? 0且

AB

| AB | | AC |

?

AC

?

1 , 4

.2 6 .(0,2)

11.设 f ? x ? ? 2 ? x ,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 ab 的取值范围是 12. 已知 f ( x) ? sin(? x ?

?

无最大值,则 ? =_________.14/3 13.对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,有下述命题: ①若 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0)对称; ③若对 x ? R ,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x), 则f ( x) 的周期为 2; ④函数 y ? f ( x ? 1)与y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 0 对称. 其中正确命题的序号是
2

)( ? ? 0), f ( ) ? f ( ) ,且 f ( x) 在区间 ( , ) 有最小值, 3 6 3 6 3

?

?

? ?

②若函数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 f ( x) 为偶函数;

.答案:① ② ③

14.函数 f ( x) ? mx ? x ? 1 在 (0,1) 内恰有一个零点,则实数 m 的取值范围是 . (2,??)

二、解答题:本大题 6 小题,共 90 分,解题时要写出必要的文字说明、解题步 骤.
15.(本小题满分 14 分)已知集合 A= ?x |
? ? 6 ? ? 1, x ? R ?, B= ?x | x 2 ? 2 x ? m ? 0?, x ?1 ?

(1)当 m=3 时,求 A ? (RB) ; (2)若 A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4? ,求实数 m 的值. 解 由
6 x?5 ? 1, 得 ? 0. ∴-1<x≤5,∴A= ?x | ?1 ? x ? 5? . x ?1 x ?1

(1)当 m=3 时,B= ?x | ?1 ? x ? 3? ,则 RB= ?x | x ? ?1或x ? 3? , ∴A ? (RB)= ?x | 3 ? x ? 5? . 2 (2)∵A= ?x | ?1 ? x ? 5?, A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4?, ∴有 4 -2×4-m=0,解得 m=8. 此时 B= ?x | ?2 ? x ? 4? ,符合题意,故实数 m 的值为 8. 16.(本小题满分14分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c= 7 , 且 4 sin
2

A? B 7 ? cos 2C ? .(1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 2 2

16.解: (1)求角 C 的大小; ∵A+B+C=180°

A? B 7 C 7 ? cos 2C ? 得4 cos 2 ? cos 2C ? ????1 分 2 2 2 2 1 ? cos C 7 ? (2 cos 2 C ? 1) ? ∴4? ??????3 分 2 2 1 整理,得 4 cos2 C ? 4 cosC ? 1 ? 0 ????4 分 解得: cos C ? 2 ∵ 0? ? C ? 180 ? ∴C=60° ??????6 分
由 4 sin
2

??5 分

(2)求△ABC 的面积. 2 2 2 2 2 由余弦定理得:c =a +b -2abcosC,即 7=a +b -2ab ????7 分 ∴ 7 ? (a ? b) 2 ? 3ab ????8 分 =25-3ab 9分

? ab ? 6 ????10 分
∴ S ?ABC ?

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

????12 分

17. (本小题满分 14 分) 如图,已知三棱锥 A—BPC 中,AP⊥PC, AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中点, 且△PMB 为正三角形。 (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D—BCM 的体积。 17. (本小题满分 14 分) 证明: (I)由已知得, MD 是 ? ABP 的中位线

? MD ∥ AP
? MD ? 面APC, AP ? 面APC

? MD ∥ 面APC
(II)? ?PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点

??????????4 分

? MD ? PB ,? AP ? PB
又? AP ? PC, PB ? PC ? P

? AP ? 面PBC

???????????????6 分

? BC ? 面PBC

? AP ? BC

又? BC ? AC, AC ? AP ? A

? BC ? 面APC ? BC ? 面ABC

?????????????8 分

? 平面 ABC⊥平面 APC

????????????10 分

(III)由题意可知, MD ? 面PBC ,? MD 是三棱锥 D—BCM 的高,

? VM ? DBC ? Sh ? 10 7

1 3

?????????????14 分

18(本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? x ? a , g ( x) ? ax(a ? R) (1)判断函数 f ? x ? 的
2 对称性和奇偶性; (2)当 a ? 2 时,求使 g ? x ? f ( x) ? 4x 成立的 x 的集合; (3)若 a ? 0 ,

记 F ? x ? ? g ( x) ? f ( x) ,且 F ? x ? 在 ? 0, ??? 有最大值,求 a 的取值范围. 解析: (1)由函数 f ? x ? ? ?

当 a ? 0 时,函数 f ? x ? ? x 是一个偶函数;当 a ? 0 时,取特值:
2

? x ? a( x ? a) 可知,函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? a 对称; ?? x ? a( x ? a )

f ? ?a ? ? 0, f (a) ? 2 a ? 0 ,故函数 f ? x ? ? x ? a 是非奇非偶函数.
(2) 由题意得 x x ? 2 ? x , 得 x ? 0 或 x x ? 2 ? 1; 因此得 x ? 0 或 x ? 1 或 x ? 1 ? 2 , 故所求的集合为 0,1,1 ? 2 . (3)对于 a ? 0 , F ? x ? ? g ( x) ? f ( x) ? ax ? x ? a ? ?

?

?

若 a ? 1 , F ? x ? 在区间 ? 0, a ? , ? a, ??? 上递增,无最大值; 若 a ? 1 , F ? x? ? ?

?(a ? 1) x ? a(0 ? x ? a) ?(a ? 1) x ? a( x ? a)

若 0 ? a ? 1 ,F ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上递增, 在 ?a, ??? 上递减,F ? x ? 有最大值 F ? a ? ? a ;
2

?2 x ? 1( x ? 1) 有最大值 1 ?1( x ? 1)

综上所述得,当 0 ? a ? 1 时, F ? x ? 有最大值. 19.(本小题满分 16 分) 某城市有一条公路,自西向东经过 A 点到市中心 O 点后转向东北方向 OB,现要修建 一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,现要求市 中心 O 与 AB 的距离为 10 km,问把 A、B 分别设在公路上离中心 O 多远处才能使|AB|最短?

并求其最短距离.
B L A O

解:在△AOB 中,设 OA=a,OB=b. 因为 AO 为正西方向,OB 为东北方向,所以∠AOB=135°. 则|AB| =a +b -2abcos135°=a +b + 2 ab≥2ab+ 2 ab=(2+ 2 )ab,当且仅当 a=b 时, “=”成立.又 O 到 AB 的距离为 10,设∠OAB=α ,则∠OBA=45°-α .所以 a=
10 , sin?
2 2 2 2 2

b=

10 10 10 100 , ab= · = sin (45? ? ?) sin (45? ? ?) sin? ? sin (45? ? ?) sin?

=

100 sin?(

2 2 2 2 cos ? ? sin?) sin 2? ? ( 1 ? cos 2?) 2 2 4 4 400 400 = ≥ , 2 sin (2? ? 45?) ? 2 2? 2 当且仅当α =22°30′时, “=”成立.
所以|AB| ≥
2

=

100

400 (2 ? 2) 2 =400( 2 +1) , 2? 2

当且仅当 a=b,α =22°30′时, “=”成立. 所以当 a=b=
10 =10 ( 时,|AB|最短,其最短距离为 20( 2 +1) , 2 2 ? 2) sin 22?30?

即当 AB 分别在 OA、OB 上离 O 点 10 ( 2 2 ? 2) km 处,能使|AB|最短, 最短距离为 20( 2 -1).

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ?1 x

(1) 试判断函数 f ( x) 的单调性; (2) 设 m ? 0 ,求 f ( x) 在 [ m,2m] 上的最大值; (3) 试证明:对 ?n ? N ,不等式 ln( 20. (本小题满分 16 分)
?

1? n e 1? n ) ? n n

解: (I)函数 f ( x) 的定义域是: (0,??)
' 由已知 f ( x ) ?

1 ? ln x x2

????????2 分

令 f ' ( x) ? 0 得, 1 ? ln x ? 0 ,?x ? e

? 当 0 ? x ? e 时, f ' ( x) ?

1 ? ln x 1 ? ln x ? 0 ,当 x ? e 时, f ' ( x) ? ? 0 ,6 分 2 x x2

? 函数 f ( x) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e,??) 上单调递减 ? 当 x ? e 时,函数有最大值 f ( x) max ? f (e) ?
1 ? 1 ?????????8 分 e

(II)由(I)知函数 f ( x) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e,??) 上单调递减 故①当 0 ? 2m ? e 即 0 ? m ?

e 时, f ( x) 在 [ m,2m] 上单调递增 2

? f ( x) ? f ( x)

max

? f ( 2 m) ?

ln 2m ? 1 ????????????????9 分 2m

②当 m ? e 时, f ( x) 在 [ m,2m] 上单调递减

ln m ? 1 ?????????????????10 分 m e ③当 m ? e ? 2m ,即 ? m ? e 时 2 ? f ( x) max ? f (e) ? 1 ? 1???????????????????11 分 e 1 (III)由(I)知,当 x ? (0,??) 时, f ( x ) max ? f (e) ? ? 1 e ? 在 (0,??) 上恒有 f ( x) ? ln x ? 1 ? 1 ? 1 ,即 ln x ? 1 且当 x ? e 时“=” x e x e
max

? f ( m) ?

成立

?
?

对 ?x ? (0,??) 恒有 ln x ?

1 x ?????????????13 分 e

1? n 1? n ? 0, ?e n n
?

? ln

1? n 1 1? n 1? n 1? n ? ? ? ln( )e ? n e n n n

即对 ?n ? N ,不等式 ln(

1? n e 1? n ) ? 恒成立;?????16 分 n n