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高三数学三角形中的数列问题


三角形中的数列问题(研究性学习) 一、范例研究: 设在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 范例 1:已知 a,b,c 成等差数列

(1)证明: 范例 2:已知 a,b,c 成等比数列



(2)证明:



(3)求角 B 的范围.

(1)证明:cos(A-C)+cosB+cos2B=1;(2)证明: 角 B 的范围. 1、探索:运用正弦定理对已知条件变形、转化与延伸. (1)第一次探索 a,b,c 成等差数列

; (3)求







注:范例 1(3)求角 B 的范围请同学们自己思考 (2)第二次探索 a,b,c 成等比数列 (第一阶段的转化与延伸)

(第二阶段转化与延伸的开始)

(第二阶段的转化与延伸) ∴ 注:范例 2 的(2)、(3)小问请同学们练习

2、小结 小结 1:在△ABC 中,若 a,b,c 成等差数列,则有

(1)2b=a+c;

(2)



(3)

.

小结 2:在△ABC 中,若 a,b,c 成等比数列,则有

(1) 二、联想

; (2)

; (3)

.

联想是探索的先驱,人们在学习与研究中,总是在实践中获取真知,在认知中产生联想,进而由联想引 发新的探索,由新的探索与发现促进认知的再次升华.注意到“等差数列”与“等比数列”仅一字之差,他们的性 质大多有惊人的相似之处.由此我们联想到,上面已经认知的等差(或等比)数列条件下的三角等式两边,在 等比(或等差)数列的条件下会是何种关系呢? 循着“相等”与“不等”相互依存的辩证关系,我们可以断言:一般情况下,等差(或等比)数列条件下的 三角“等式”两边,在等比(或等差)数列条件下必是“不等”关系.我们需要进一步了解的是,如此变更条件之 后,上述等式两边是否具有确定的大小关系?上述不等式两边,是否具有相等关系? 注意到等差数列与等比数列的密切联系,我们由等差(比)数列的命题联想等比(差)数列的情形.

三、再探索 立足于前面对范例 1、范例 2 的证明与讨论,对联想中所提出的问题进行探索. 1、第三次探索:解决联想 1 提出的问题 在△ABC 中,若 a,b,c 成等比数列

得:



由第一次探索过程改造而成

: 2、第四次探索:解决联想 2 提出的问题 在△ABC 中,若 a,b,c 成等差数列 2b=a+c

由第二次探索过程改造而成

(1)2b=a+c



(2)



由第二次探索过程改造而成

(3) 四、再认知

可由命题 1 的证明改造而成

有比较才能鉴别(毛泽东语),有鉴别才能有更深层面的感悟和认知.作为本节课的总结,我们对 a,b, c 成等差数列和 a,b,c 成等比数列的不同条件下的结论进行比较,从中品悟三角形三边成等差数列(或等比 数列)的特性,以及在不同条件(a,b,c 成等差数列或 a,b,c 成等比数列)下有关量之间的联系. 1、比较、品悟 在△ABC 中,若 a,b,c 成 等差数列,则有 (1)2b=a+c 在△ABC 中,若 a,b,c 成 等比数列,则有 a+c

(2)

2、点评:对于上面每一组对应的命题,等号或不等号的两边,在“等差”或“等比”的不同条件下展示出“相 等”与“不等”(一般情况下)的个性,凸现着对偶范畴间既相互对立,又相互依存和相互联系的辩证关系. 五、总结与自我训练 1、总结 (1)联想: 一方. (2)收获(思维、经验、认知等) 2、练习: 设在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 1、若 a,b,c 依次成等比数列 试求:(1)角 B 的取值范围; (2)设 t=sinB+cosB,求 t 的取值范围; (3)设 ,求 y 的取值范围. 亲缘联想:联想“已知”或“目标”的亲密一方; 对立联想:联想“已知”或“目标”的对立

2、若 a,b,c 成等比数列,且 3、若 A,B,C 成等差数列 (1) 参考答案: 1、解:由题意得 ∴由①②得 ① (1)由余弦定理得 ③ 又 ④ ∴由③④得 ② 的取值范围; (2)若最大边长与最小边长的比值为 m,求 m 的取值范围.



注意到



即所求 B 的取值范围为

.

(2)



, ∴





即所求 t 的取值范围为

.

(3)设 t=sinB+cosB,则





















即所求 y 的取值范围为

.

点评:在已知条件下求出角 B 的取值范围,由此为求 t 及 y 的取值范围奠定了必要基础. 2、解: (1)由 a,b,c 成等比数列得 又 ∴

在△ABC 中由余弦定理得



(2)

解法一(运用正弦定理)在△ABC 中由正弦定理得









∴由①②得

解法二(运用三角形面积公式):在△ABC 中由三角面积公式得







∴由③得 点评:当已知式或目标式为三角形边角混合式时,通常首选正弦定理.但是,在条件适宜时利用三角形及 其面积公式推理,也不免会收到出奇制胜的效果.本例解法二便是利用三角形面积公式解题成功的一个范例.

3、解:由 A,B,C 成等差数列得 2B=A+C





(1)





(运用和差化积公式)=













∴由①得 (2)不妨设 A<B<C,

即所求

的取值范围为







且 A<C

∴cosC ②

cosA 即

cosA



cosA



于是由正弦定理得:









∴由②得

∴由③得

∴m>1

∴所求 m 的取值范围为(1,+∞).

点评:已知 A,B,C 成等差数列,既要想到利用由此导出的等量关系:

;又要想

到由此导出的不等关系 取值范围的关键环节之一.

,这里在 A,B,C 成等差数列的条件下,寻求三角形边角式的


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