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2017届贵州省遵义市南白中学等校高三第一次联考数学(理)试题

数学(理)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1. 已知 i 为虚数单位,复数 z ? A. 1 B. 2

2 , z 与 z 共轭, 则 z z ? ( 1? i 1 C. 2

) D. 0 )

2. 已知全集 U ? R ,集合 M ? x | x 2 ? 1 , N ? ? y | y ? log 2 x, x ? 2? ,则下列结论正确的是( A. M ? N ? N C. M ? N ? U B. M ? ? CU N ? ? ? D. M ? ? CU N ?

?

?

3. 某学校为了更好的培养尖子生,使其全面发展,决定由 3 名教师对 5 个尖子生进行“包教”,要求每名 教师的“包教”学生不超过 2 人,则不同的“包教”方案有( ) A. 90 B. 60 ) C. 150 D. 120

4. 下列命题中的假命题为(

A.设 ? , ? 为两个不同平面,若直线 l 在平面

? 内,则“ ? ? ? ” 是“ l ? ? ”的必要不充分条件;
1 ?p; 2

B.设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 0,1? ,若 P ?? ? 1? ? p ,则 P ? ?1 ? ? ? 0 ? ? C. ?x ? ? 0,

? ?

??

? , x ? sin x ; 2? ? ?

D.要得到函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? 长度.

??

? ?? ? ? 的图象,只需将函数 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图象向左平移 个单位 4 3? 3? ?

5. 《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题,《张丘建算经》卷上第 22 题为:“今 有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织 5 尺布,现一月(按

30 天计)共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织(
A.

)尺布. D. )

1 2

B.

8 15

C.

16 31

16 29

6. 如图所示,运行该程序,当输入 a, b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值是(

第1页

A. 2

B. 3

C. 23

D. 32

7. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全 相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方 盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时, 它的俯视图可能是( )

A.

B.

C.

D.

8. 在区间 ? 0, ? ? 上随机地取一个数 x ,则事件“ sin x ? A.

3 4

B.

2 3

1 ”发生的概率为( 2 1 C. 2

) D.

1 3

9. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近 5 年的广告支出 m 与销售额 t (单位:百万元)进行了初 步统计,得到下列表格中的数据:( )

t

30
2

40
4

p

50
6

70
8

m

5

t ? 6.5m ? 17.5 ,则 p 的值为 经测算,年广告支出 m 与年销售额 t 满足线性回归方程 ?
A. 45 B. 50 C. 55 D. 60

?y ? x ? 10. 设 k ? 1 ,在约束条件 ? y ? kx 下,目标函数 z ? x ? ky 的最大值小于 2 ,则 k 的取值范围为 ( ?x ? y ? 1 ?
A. 1,1 ? 2



?

?

B. 1 ? 2, ??

?

?

C. ?1,3?

D. ? 3, ?? ?

11. 设点 A, F ? c, 0 ? 分别是双曲线

x2 y 2 a2 ? ? 1 a ? 0, b ? 0 x ? 的右顶点、右焦点 , 直线 交该双曲线的 ? ? a 2 b2 c
) D. 2

一条渐近线于点 P ,若 ?PAF 是等腰三角形,则此双曲线的离心率为( A. 3 B. 3 C. 2
第2页

12. 已知定义在 ? 0,

? ?

??

? 上的函数 f ? x ? , f ' ? x ? 为其导数,且 f ? x ? ? f ' ? x ? tan x 恒成立,则( 2?
B. 2 f ?



A. 3 f ?

?? ? ?? ? ?? 2f ? ? ?4? ?3? ?? ? ?? ? ?? f ? ? ?6? ?3?

?? ? ?? ? ?? f ? ? ?6? ?4? ?? ? 2 f ? ?? sin1 ?6?

C. 3 f ?

D. f ?1? ?

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) ? ? 13. 已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,若向量 a, b 满足

? ? ? ? ? ? ? a, b ?? ? , a ? 5, a ? b ? 2 2 ,则 b ?
14. 已知高与底面半径相等的圆锥的体积为 为 .



8? ,其侧面积与球 O 的表面积相等,则球 O 的体积 3

15. 已知点 A 是抛物线 y ?

1 2 x 的对称轴与准线的交点,点 F 为该抛物线的焦点,点 P 在抛物线上且满 4


足 PF ? m PA ,则 m 的最小值为

16. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2 前 n 和为 S n ,且 an ?1 ? 2 S n ? 2n ? 2 n ? N ? ,则 S n ?

?

?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 12 分)已知在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且

2sin 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 0
(1)求角 A 的大小;

.

(2)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3, a ?

21 ,求 sin B ? sin C 的值.

18. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ADF ? BCE 中, AB ? BC ? BE ? 2, CE ? 2 2 . (1)求证: AC ? 平面 BDE ; (2)若 EB ? 4 EK ,求直线 AK 与平面 BDF 所成角 ? 的正弦值.

第3页

19. (本小题满分12分)2016 年国家已全面放开“二胎”政策,但考虑到经济问题,很多家庭不打算生育 二孩,为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关,现随机抽查了某四线城市 50 个一孩家庭,它们中有二 孩计划的家庭频数分布如下表: 家庭月收入

2 千以下
(单位:元) 调查的总人 数 有二孩计划 的家庭数

2 千~ 5 千

5 千~ 8 千

8 千~ ? 万

1 万~ 2 万

2 万以上

5

10

15

10

5

5

1

2

9

7

3

4

(1)由以上统计数据完成如下 2 ? 2 列联表,并判断是否有 95 0 0 的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有 关?说明你的理由. 收入不高于 8 千的家庭数 有二孩计划的家庭数 无二孩计划的家庭数 合计 (2)若二孩的性别与一孩性别相反,则称该家庭为“好字”家庭,设每个有二孩计划的家庭为“好字”家 庭的概率为 收入高于 8 千的家庭数 合计

1 ,且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响,设收入在 8 千~ 1 万的 3 个有二孩计划家庭中 2

“好字”家庭有 x 个,求 x 的分布列及数学期望. 下面的临界值表供参考:

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? a ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

P?K2 ? k?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841
第4页

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001
10.828

k

x2 y 2 3 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,连接椭圆的四个顶点得到的 a b 2
菱形的面积为 4 . (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为 ? ? a, 0 ? ,点 Q ? 0, y0 ? 在线段 AB 的垂直 平分线上,且 QA? QB ? 4 ,求 y0 的值. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? (1)若函数 ? ? x ? 在区间 ? 3m, m ?

??? ? ??? ?

ln x 2 , ? ? x ? ? ? x ? 1? ?f ' ? x ? . 1? x

? ?

1? ? 上单调递减,求实数 m 的取值范围; 2?

(2)若对任意的 x ? ? 0,1? ,恒有 ?1 ? x ??f ? x ? ? 2a ? 0 ? a ? 0 ? ,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知: C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点, CH ? AB 于点 H ,直线 AC 与过 B 点的切线相交于 点 D, F 为 BD 中点,连接 AF 交 CH 于点 E . (1)求证: FC 是 ? O 的切线; (2)若 FB ? FE , ? O 的半径为 2 ,求 FC .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3? t ? 2 ? (t 为参数),以原点为极点, x 轴正半轴为极轴 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 3 t ? ? 2
建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? . (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)在圆 C 上求一点 D ,使它到直线 l 的距离最短,并求出点 D 的直角坐标. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
第5页

已知 a, b, c ? R ,且 ab ? bc ? ac ? 1 . (1)求证: a ? b ? c ? 3 ; (2)若 ?x ? R ,使得对一切实数 a, b, c 不等式 m ? x ? 1 ? x ? 1 ? ? a ? b ? c ? 恒成立,求 m 的取值范围.
2

贵州省遵义市南白中学 2017 届高三第一次联考数学(理) 试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5.BDACD 6-10.BBDDA 11-12.DC

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

第6页

13. 1 三、解答题

14.

4 4 8? 3

15.

2 2

16. S n ?

3n ?1 3 ?n? 2 2

17.解: (1) 由 2sin A ? 3cos ? B ? C ? ? 0 , 得 2 cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 , 即 ? 2cos A ? 1?? cos A ? 2 ? ? 0 ,
2

解得 cos A ?

1 ? 或 cos A ? ?2 (舍去) ,因为 0 ? A ? ? ,? A ? . 2 3

sin B ? sin C ?

b c sin A 3 9 7 . sin A ? sin A ? ? ?b ? c ? ? ?9 ? a a a 14 2 21

18. 解: (1)在直三棱柱 ADF ? BCE 中, AB ? 平面 BCE ,? AB ? BE , AB ? BC .又

AB ? BC ? BE ? 2, CE ? 2 2,? BC 2 ? BE 2 ? CE 2 ,且
AC ? BD,? BE ? BC.? AB ? BC ? B,? BE ? 平面 ABCD.? AC ? 平面
ABCD,? BE ? AC.? BD ? BE ? B,? AC ? 平面 BDE .

(2) 设 AK 交 BF 于点 N ,由 (1) 知, AB, AF , AD 两两垂直且长度都为 2 ,所以 ?BDF 是边长为 2 2 的 正三角形. 所以点 A 在平面 BDF 内的射影 M 为 ?BDF 的中心, 连接 MN , MF , AM ,如图所示, 则

?ANM 为 AK 与平面 BDF 所成的角 ? . 又
?2 6? 2 3 2 6 2 3 . FM ? ? ?2 2 ? ,? AM ? FA2 ? FM 2 ? 22 ? ? ? ? ? 3 ? 3 2 3 3 ? ?
2

3 9 5 ? EB ? 4 EK ,? BK ? ,? AK ? AB 2 ? BK 2 ? 4 ? ? , 2 4 2
第7页

?

AN AF AN AF 10 AN 2 ,即 ? ,? ? ? ,解得 AN ? ,在 Rt ?ANM 5 3 KN BK AK ? AN BK 7 ? AN 2 2

2 3 AM 7 3 7 3 中, sin ? ? , 所以直线 AK 与平面 BDF 所成角 ? 的正弦值为 . ? 3 ? 10 AN 15 15 7
19. 解: (1)依题意得 a ? 12, b ? 18, c ? 14, d ? 6 , 收入不高于 8 千的家庭数 有二孩计划的家庭数 无二孩计划的家庭数 合计
2 2

收入高于 8 千的家庭数

合计

12

14

26
24

18
30

6
20

50

50 ?12 ? 6 ? 18 ?14 ? 225 K ? ? ? 4.327 ? 3.841 30 ? 20 ? 26 ? 24 52
因此有 95 0 0 的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关. (2)由题意知, X ? B ? 3,
3

? ?

1? ? , X 的可能取值为 2?
2

3 ?1? 1?1? ?1? 0,1, 2,3 P ? X ? 0 ? ? ? ? , P ? X ? 1? ? C3 ? ?? ? ? ? , ?2? ?2? ?2? 8 ?1? 1 3 ?1? 1 P ? X ? 2 ? ? C ? ? ? ? ,, P ? X ? 3? ? ? ? ? . ?2? 2 8 ?2? 8
2 3 2 3

X 的分布列为: X
P

0
1 8 1 3 ? . 2 2

1

2

3
1 8

3 8

3 8

E ? X ? ? 3?

20. 解: (1)由 e ?

c 3 1 ,得 3a 2 ? 4c 2 .再由 c 2 ? a 2 ? b 2 ,解得 a ? 2b ,由题意可知 ? 2a ? 2b ? 4 , ? a 2 2

即 ab ? 2 ,解方程组, ?

?a ? 2b x2 ? y2 ? 1. 得 a ? 2, b ? 1 ,所以椭圆的方程, ab ? 2 4 ?

(2)由(1)可知点, A 的坐标是 ? ?2, 0 ? ,设点 B 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,直线 l 的斜率为 k .则直线 l 的方程为

第8页

? y ? k ? x ? 2? ? y ? k ? x ? 2 ? ,于是 A, B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 ,消去 y 并整理,得 2 ? y ? 1 ? ?4
(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? ?16k 2 ? 4 ? ? 0 .由 ?2 x1 ?
2 2

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k , 得 .从而 y1 ? . x ? 1 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

? 2 ? 8k 2 ? ? 4 k ? 4 1? k 2 AB ? ? ?2 ? ? ? .设线段 AB 的中点为 M ,则 M 的坐标为 ? ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k 2 ?

? 8k 2 2k ? , 以下分两种情况: ① 当 k ? 0 时, 点 B 的坐标是 ? 2, 0 ? ,线段 AB 的垂直平分线为 y ?? 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 轴,于是 QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? 2, ? y0 ? .由 QA? QB ? 4 ,得 y0 ? ?2 2 .
②当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

2k 1? 8k 2 ? ? ? x ? ? ? .令 x ? 0 ,解得 1 ? 4k 2 k ? 1 ? 4k 2 ?

6k ,由 1 ? 4k 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? x1 , y1 ? y0 ? , QA? QB ? ?2 x1 ? y0 ? y1 ? y0 ? y0 ? ?

?

?2 ? 2 ? 8k 2 ? 1 ? 4k 2

4 2 6k ? 4k 6k ? 4 ?16k ? 15k ? 1? ? ? ? 4, ? ?? 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? ?1 ? 4k 2 ?

整理得 7 k 2 ? 2 .故 k ? ?

14 2 14 2 14 .综上, y0 ? ?2 2 或 y0 ? ? . ,? y0 ? ? 7 5 5

1 ?1 ln x 1 x 21. 解: (1)因为 f ? x ? ? ,? f ' ? x ? ? ,?? ? x ? ? ln x ? ? 1? x ? 0且x ? 1? , 2 1? x x ?1 ? x ? ln x ?
则? '? x? ?

1 1 x ?1 ? ? 2 ,当 ? ' ? x ? ? 0 时, 0 ? x ? 1 , 此时 ? ? x ? 单调递减,若函数 ? ? x ? 在区间, x x2 x

? ?3m ? 0 ? 1 1 1? 1? ? ? ? ? 3m, m ? ? 上单调递减,则 ? 3m, m ? ? ? ? 0,1? ,所以 ?m ? ? 1 ,所以 0 ? m ? ,所以实数 m 的取 2 4 2? 2? ? ? ? 1 ? 3m ? m ? ? ? 2
值范围 ? 0,

? 1? ?. ? 4?
ln x ? 2a ? 0, ? ?? 1? x

(2)对任意的 x ? ? 0,1? ,恒有 ?1 ? x ??f ? x ? ? 2a ? 0 ,即 ?1 ? x ??
第9页

因为 x ? ? 0,1? ,?

1? x ? 0,? ? ?? 1? x

式可变为 ln x ?

2a (1 ? x) 2a (1 ? x) . ? 0 , 设 h ? x ? ? ln x ? 1? x 1? x

x 2 ? (2 ? 4a) x ? 1 2a(1 ? x) 则要使对任意的 x ? ? 0,1? , ln x ? , ? 0 恒成立, 只需 h ? x ?max ? 0 . h ' ? x ? ? 2 1? x x ?1 ? x ?
设 t ? x ? ? x ? ? 2 ? 4a ? x ? 1, ? ? ? 2 ? 4a ? ? 4 ? 16a ? a ? 1? .
2 2

①当 0 ? a ? 1 时, ? ? 0 , 此时 t ? x ? ? 0, h ' ? x ? ? 0,? h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,又

h ?1? ? 0,? h ? x ? ? h ?1? ? 0,? 0 ? a ? 1 符合条件.
②当 a ? 1 时, ? ? 0 , 注意到 t ? 0 ? ? 1 ? 0, t ?1? ? 4 ?1 ? a ? ? 0 ,所以存在 x0 ? ?0,1? ,使得 t ? x0 ? ? 0 .于是 对任意的 x ? ? x0 ,1? , t ? x ? ? 0, h ' ? x ? ? 0 ,则 h ? x ? 在 ? x0 ,1? 上单调递减,又 h ?1? ? 0 ,所以当 x ? ? x0 ,1? 时, h ? x ? ? 0 , 不符合要求. 综合① ②可得 0 ? a ? 1 . 22. 解: (1)证明: 连接 OC .? AB 是直径,??ACB ? 90? , 又? F 是 BD 中点,??BCF ? ?CBF , 又 OC ? OB,??OBC ? ?OCB , 从而 ?FCB ? ?BCO ? ?FBC ? ?CBO ? 90? , 即:OC ? FC , FC 是

? O 的切线.
(2)延长直线 CF 交直线 AB 于点 G ,由 FC ? FB ? FE 得: ?FCE ? ?FEC , 又

?FCE ? ?GFB, ?FEC ? ?AFB,??GFB ? ?AFB ,从而 ?AGF 是等腰三角形, GB ? AB ? 2 2 .
由切割线定理得: ? FC ? FG ? ? GB ? GA ? 2 2 ? 4 2 ? 16 .①
2

在 Rt ?BGF 中, 由勾股定理得: FG 2 ? FC 2 ? 8



由①、②得: FC ? 1 .

23. 解: (1) 消去参数 t 得,直线 l 的普通方程为 3 x ? y ? 3 3 ? 0 ,由 ? ? 2 3 sin ? ,得 ? 2 ? 2 3? sin ? , 从而有 x ? y ? 2 3 y,? x ? y ? 3
2 2 2

?

?

2

? 3.

(2)因为点 D 在圆 C 上,所以可设点 D cos ? , 3 ? sin ?

?

? ?? ? ?0, 2? ? ? ,所以点 D

到直线 l 的距离为

d?

3 cos ? ? sin ? ? 4 3 2 ? ? ?

11? ?? ? 时, d min ? 2 3 ? 1 . ? 2 3 ? sin ? ? ? ? ,因为 ? ? ? 0, 2? ? ,所以当 ? ? 6 ?3 ?

此时 D ? ?

? 3 1? 3 1? ,所以点 D 的坐标为 ? ? , 3? ? , 3 ? ? ? 2 ?. 2 2? 2 ? ? ?
2 2 2 2

24. 解: (1) ? a ? b ? c ? ? a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? 3ab ? 3bc ? 3ac ? 3 , 所以 a ? b ? c ? 3 ,当且仅当 a ? b ? c 时等号成立.
第 10 页

(2)由题意得 m ? x ? 1 ? x ? 1

?

?

min

? ?a ? b ? c?

2 min

,由(1)知 ? a ? b ? c ?

2 min

? 3,

又 x ? 1 ? x ? 1 ? ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 2,? m ? 2 ? 3, m 的取值范围为: m ? 1 .

第 11 页


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