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上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期末试卷


上海交通大学附属中学 2010-2011 学年度第二学期高二数学期末试卷 (满分 150 分,120 分钟完成。答案一律写在答题纸上) 命题:陈海兵 审核:杨逸峰 一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号 的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 如果复数 (其中为虚数单位),那么(即的虚部)为__________。 2. 在二项式的展开式中,含的项的系数是 (用数字作答). 3. 顶点在原点, 以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为____________. 4. 双曲线的一个焦点是,则的值是__________. 5. 已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双 曲线的方程为 。 6. 某年级共有 210 名同学参加数学期中考试,随机抽取 10 名同学成绩如下: 成绩(分) 50 61 73 85 90 94 人数 2 2 1 2 1 2 则总体标准差的点估计值为 (结果精确到 0.01). 7. 某展室有 9 个展台,现有件不同的展品需要展出,要求每件展品独自占用个 展台,并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有 ______种; 8. 把 4 个不同的球任意投入 4 个不同的盒子内(每盒装球数不限),则无空盒 的概率为________. 9. 若且,则的最大值是_______. 10. 如图是一种加热水和食物的太阳灶,上面装有可旋转的抛物面形的反光镜, 镜的轴截面是抛物线的一部分, 盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处,容器由 若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。 已知镜口圆的直径为 12 米,镜深 2 米, 若把盛水和食物的容器近似地看作点,则每根铁筋的长度为________米. 11. △ABC 的三个顶点 A、B、C 到平面的距离分别为 2 cm、3 cm、4 cm,且 A,B,C 在平面的同侧,则△ABC 的重心到平面的距离为___________。 12. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有 条。 13. △ABC 的三边长分别是 3,4,5,P 为△ABC 所在平面外一点,它到三边的距离都 是 2,则 P 到的距离为_________. 14. 如图,平面⊥平面, ∩ = ,DA ,BC ,且 DA⊥于 A,BC⊥于 B,AD=4, BC=8,AB=6,在平面内不在上的动点 P,记 PD 与平面所成角为,PC 与平面 所成角为,若,则△PAB 的面积的最大值是 。 二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案,选对 得 5 分, 答案代号必须填在答题纸上. 注意试题题号与答题纸上相应编号一一对 应,不能错位. 15. 下列四个命题: ①满足的复数只有 1, I; ②若 a,b 是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i 是纯虚数; ③|z+ |=2|z|; ④复数 z R 的充要条件是 z= ;

其中正确的有( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 16. 平面,直线 , ,且,则与( ) A. B. 与斜交 C. D.位置关系不确定 17. 在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲线 的形状为 ( ) 18. 已知点及抛物线,若抛物线上点满足,则 的最大值为( ) (A) (B) (C) (D) 三、解答题 19. (本题满分 12 分)第一题满分 5 分,第二题满分 7 分. 已知复数, =2,是虚部为正数的纯虚数。 (1)求的模;(2)求复数。 20. (本题满分 14 分)第一题满分 7 分,第二题满分 7 分. 已知, (1)若,求的值; (2)若,求中含项的系数; 21. (本题满分 14 分)第一题满分 4 分,第二题满分 4 分,第三题满分 6 分. 甲乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2,红桃 3,红桃 4,方片 4)玩游戏,他 们将 4 张扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放 回,各抽一张。 (1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字(方片 4 用 4’表示,红桃 2,红桃 3, 红桃 4 分别用 2,3,4 表示),写出甲乙二人抽到的牌的所有情况; (2)若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3)甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;若甲抽到的牌的 牌面数字不比乙大,则乙胜。你认为此游戏是否公平,说明你的理由。 22. (本题满分 16 分)第一题满分 4 分,第二题满分 6 分,第三题满分 6 分. 已知动圆过定点 P(1,0),且与定直线相切。 (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且倾斜角为的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点,A,B 在直线 上的射影是。求梯形的面积; (3)若点 C 是(2)中线段上的动点,当△ABC 为直角三角形时,求点 C 的坐 标。 23. (本题满分 18 分)第一题满分 5 分,第二题满分 5 分,第三题满分 8 分. 如图, 有一公共边但不共面的两个三角形 ABC 和 A1BC 被一平面 DEE1D1 所截, 若平面 DEE1D1 分别交 AB,AC,A1B,A1C 于点 D,E,D1,E1。 (1)讨论这三条交线 ED,CB, E1 D1 的关系。

(2)当 BC//平面 DEE1D1 时,求的值; (3)当 BC 不平行平面 DEE1D1 时, 的值变化吗?为什么? 上海交通大学附属中学 2010-2011 学年度第二学期 高二数学期末试卷 (满分 150 分,120 分钟完成。答案一律写在答题纸上) 命题:陈海兵 审核:杨逸峰 一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号 的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 24. 如果复数 (其中为虚数单位),那么(即的虚部)为__________。 25. 在二项式的展开式中,含的项的系数是 (用数字作答).28 26. 顶点在原点,以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为 ____________. 27. 双曲线的一个焦点是,则的值是__________.-2 28. 已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双 曲线的方程为 。 29. 某年级共有 210 名同学参加数学期中考试,随机抽取 10 名同学成绩如下: 成绩(分) 50 61 73 85 90 94 人数 2 2 1 2 1 2 则总体标准差的点估计值为 (结果精确到 0.01). 17.60 30. 某展室有 9 个展台,现有件不同的展品需要展出,要求每件展品独自占用个 展台,并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有 ______种;60 31. 把 4 个不同的球任意投入 4 个不同的盒子内(每盒装球数不限),则无空盒 的概率为________. 32. 若且,则的最大值是_______. 4 33. 如图是一种加热水和食物的太阳灶,上面装有可旋转的抛物面形的反光镜, 镜的轴截面是抛物线的一部分, 盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处,容器由 若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。 已知镜口圆的直径为 12 米,镜深 2 米, 若把盛水和食物的容器近似地看作点,则每根铁筋的长度为____________ 米. 6.5 m 米 34. △ABC 的三个顶点 A、B、C 到平面的距离分别为 2 cm、3 cm、4 cm,且 A,B,C 在平面的同侧,则△ABC 的重心到平面的距离为___________。3, 35. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有 条。4 36. △ABC 的三边长分别是 3,4,5,P 为△ABC 所在平面外一点,它到三边的距离都 是 2,则 P 到的距离为_________. 37. 如图,平面⊥平面, ∩ = ,DA ,BC ,且 DA⊥于 A,BC⊥于 B,AD=4, BC=8,AB=6,在平面内不在上的动点 P,记 PD 与平面所成角为,PC 与平面 所成角为,若,则△PAB 的面积的最大值是 。12

由条件可得:PB=2PA,即 P 到 B 的距离为到 A 的距离的 2 倍 在平面内以 AB 为轴,AB 的中垂线为轴,建立平面直角坐标系 设 P(,)则 = ∴ = ∴ +27=0 ∴ ∴ =16 ∴平面内 P 点轨迹为以(,0)为圆心,4 为半径的圆(与轴的交点除外) ∴高的最大值为 4, ∴面积的最大值为 =12 二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案,选对 得 5 分, 答案代号必须填在答题纸上. 注意试题题号与答题纸上相应编号一一对 应,不能错位. 38. 下列四个命题: ①满足的复数只有 1, i; ②若 a,b 是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i 是纯虚数; ③|z+ |=2|z|; ④复数 z R 的充要条件是 z= ; 其中正确的有( )B (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 39. 平面,直线 , ,且,则与( )D A. B. 与斜交 C. D.位置关系不确定 40. 在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲线 的形状为 ( )B 41. 已知点及抛物线,若抛物线上点满足,则 的最大值为( )C (A) (B) (C) (D) 三、解答题 42. (本题满分 12 分)第一题满分 5 分,第二题满分 7 分. 已知复数, =2,是虚部为正数的纯虚数。 (1)求的模;(2)求复数。 解:(1)| |=| || |=| || | =8; (2)是虚部为正数的纯虚数 ∴ = === 设复数 = () 解之得或 ∴ 43. (本题满分 14 分)第一题满分 7 分,第二题满分 7 分. 已知, (1)若,求的值; (2)若,求中含项的系数; 解:(1)因为 ,

所以 , 又 , 所以 (1) (2) (1)-(2)得: 所以: (2)因为, 所以 中含项的系数为 44. (本题满分 14 分)第一题满分 4 分,第二题满分 4 分,第三题满分 6 分. 甲乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2,红桃 3,红桃 4,方片 4)玩游戏,他 们将 4 张扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放 回,各抽一张。 (1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字(方片 4 用 4’表示,红桃 2,红桃 3, 红桃 4 分别用 2,3,4 表示),写出甲乙二人抽到的牌的所有情况; (2)若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3)甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;若甲抽到的牌的 牌面数字不比乙大,则乙胜。你认为此游戏是否公平,说明你的理由。 解:(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4’表示,红桃 2,红桃 3, 红桃 4 分别用 2,3,4 表示)为: (2,3)、(2,4)、(2,4’)、(3,2)、(3,4)、(3,4’)、 (4,2)、(4,3)、(4,4’)、(4’, 2)、(4’,3)(4’,4) 共 12 种不同情况 (没有写全面时:只写出 1 个不给分,2—4 个给 1 分,5—8 个给 2 分,9—11 个给 3 分) (2)甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4,4’ 因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为 (3)由甲抽到的牌比乙大的有 (3,2)、(4,2)、(4,3)、(4’,2)、(4’,3)5 种, 甲胜的概率,乙获胜的概率为 此游戏不公平。 45. (本题满分 16 分)第一题满分 4 分,第二题满分 6 分,第三题满分 6 分. 已知动圆过定点 P(1,0),且与定直线相切。 (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且倾斜角为的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点,A,B 在直线 上的射影是。求梯形的面积; (3)若点 C 是(2)中线段上的动点,当△ABC 为直角三角形时,求点 C 的坐 标。 解: (1)曲线 M 是以点 P 为焦点,直线为准线的抛物线,其方程为 . (2)由题意得,直线 AB 的方程为 消 y 得 于是, A 点和 B 点的坐标分别为 A ,B(3,),

所以, (3)设 C(-1,y)使△ABC 成直角三角形, , , . (i) 当时, 方法一:当时,, 即为直角. C 点的坐标是 方法二:当时,得直线 AC 的方程为, 求得 C 点的坐标是。 (ii) 因为,所以,不可能为直角. (iii) 当时, 方法一:当时,, 即,解得,此时为直角。 方法二:当时,由几何性质得 C 点是的中点,即 C 点的坐标是。 故当△ABC 为直角三角形时,点 C 的坐标是或 46. (本题满分 18 分)第一题满分 5 分,第二题满分 5 分,第三题满分 8 分. 如图, 有一公共边但不共面的两个三角形 ABC 和 A1BC 被一平面 DEE1D1 所截, 若平面 DEE1D1 分别交 AB,AC,A1B,A1C 于点 D,E,D1,E1。 (1)讨论这三条交线 ED,CB, E1 D1 的关系。 (2)当 BC//平面 DEE1D1 时,求的值。 (3)当 BC 不平行平面 DEE1D1 时, 的值变化吗?为什么? (1)互相平行或三线共点。 当 BC//平面 DEE1D1 时, 平面 ABC 平面 DEE1D1=ED BC// ED,同理 CB// E1 D1 ∴ED//CB// E1 D1 当 BC 不平行平面 DEE1D1 时, 延长 ED、CB 交于点 H, ∴H∈EF ∵EF 平面 DEE1D1 ∴H∈平面 DEE1D1 同理 H∈平面 A1BC ∴H∈平面 DEE1D1∩平面 A1BC 即 H∈E1D1 ∴E1、D1、H 三点共线 ∴三线共点 (2)解:∵BC//平面 DEE1D1 且 BC 平面 ABC,平面 ABC∩平面 DEE1D1=ED ∴BC∥ED,同理 BC∥E1D1 在△ABC 中,BC∥ED ∴ = 同理可得 =

∴ = =1 (3)解: 由(1)可得,延长 ED、CB、E1D1 交于点 H, 过点 B 作 BF∥AC,BG∥A1C ∵BF∥AC ∴ = 同理可得 = 在△HCE 中,BG∥CE1 ∴ = 同理可得 = ∴ = = = = =1 的值不变化,仍为 1


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