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2011届高考数学复习好题精选 直线、平面垂直判定及其性质


直线、平面垂直判定及其性质
题组一 线面垂直的判定与性质

1.(2010· 宣武模拟)若 a、b 是空间两条不同的直线,α、β 是空间的两个不同的平面,则 a⊥α ( ) B.a?β,α⊥β D.a⊥β,α∥β 的 一 个 充 分 条 件 是

A.a∥β,α⊥β C.a⊥b,b∥α

解析:只有选项 D,a⊥β,α∥β?a⊥α. 答案:D 2.(2010· 烟台模拟)如图在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的 射影 H 必在 A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 解析:由 AC⊥AB,AC⊥BC1,得 AC⊥平面 ABC1,AC?平面 ABC,∴平面 ABC1⊥ 平面 ABC,C1 在面 ABC 上的射影 H 必在二平面交线 AB 上. 答案:A 3.m、n 是空间两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,下面四个命题中,真命题 的序号是________. ①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n; ②m⊥n,α∥β,m⊥α?n∥β; ③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β; ④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β. 解析:①显然正确;②错误,n 还可能在 β 内;③错误,n 可能与 β 相交但不垂直; ④正确. 答案:①④ ( )

题组二

平面与平面垂直的判定与性质

4.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, 且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足__________时,平面 MBD⊥ 平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
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解析:由三垂线定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时, 即有 PC⊥平面 MBD, 而 PC?平面 PCD, ∴平面 MBD⊥ 平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 5.(2009· 苏北模拟)在四棱锥 S-ABCD 中,已知 AB∥CD, SA=SB,SC=SD,E、F 分别为 AB、CD 的中点. (1)求证:平面 SEF⊥平面 ABCD; (2)若平面 SAB∩平面 SCD=l,求证:AB∥l. 解:(1)证明:由 SA=SB,E 为 AB 中点得 SE⊥AB. 由 SC=SD,F 为 CD 中点得 SF⊥DC. 又 AB∥DC,∴AB⊥SF. 又 SF∩SE=S,∴AB⊥平面 SEF. 又∵AB?平面 ABCD, ∴平面 SEF⊥平面 ABCD. (2)∵AB∥CD,CD?面 SCD, ∴AB∥平面 SCD. 又∵平面 SAB∩平面 SCD=l, 根据直线与平面平行的性质定理得 AB∥l.

题组三

直线、平面垂直的综合问题

6.(2010· 岳阳模拟)设 a、b、c 表示三条直线,α、β 表示两个平面,则下列命题的逆命题 不 ( ) 成 立 的 是

A.c⊥α,若 c⊥β,则 α∥β B.b?α,c?α,若 c∥α,则 b∥c C.b?β,若 b⊥α,则 β⊥α D.b?β,c 是 a 在 β 内的射影,若 b⊥c,则 b⊥a 解析:C 选项的逆命题为 b?β,若 β⊥α 则 b⊥α.不正确,因为根据平面垂直的性质 定理, 如果两个平面垂直, 其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面. 答案:C

7.如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H,则下列命题中错误的是( A.点 H 是△A1BD 的垂心 )

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B.AH 垂直于平面 CB1D1 C.AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° 解析:因为三棱锥 A-A1BD 是正三棱锥,故顶点 A 在底面的射影是底面的中心,A 正确; 平面 A1BD∥平面 CB1D1, 而 AH 垂直于平面 A1BD, 所以 AH 垂直于平面 CB1D1, B 正确;根据对称性知 C 正确. 答案:D 8.(文)(2009· 天津高考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,DB 平分∠ADC,E 为 PC 的中点,AD=CD=1,DB=2 2. (1)证明 PA∥平面 BDE; (2)证明 AC⊥平面 PBD; 解:(1)证明:设 AC∩BD=H, 连结 EH.在△ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分 ∠ADC,所以 H 为 AC 的中点. 又由题设,E 为 PC 的中点,故 EH∥PA. 又 EH?平面 BDE 且 PA?平面 BDE, 所以 PA∥平面 BDE. (2)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, 所以 PD⊥AC. 由(1)可得,DB⊥AC. 又 PD∩DB=D, 故 AC⊥平面 PBD. (理)(2009· 北京高考)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=AB, ∠ABC=60° ,∠BCA=90° ,点 D、E 分别在棱 PB、PC 上,且 DE∥BC. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值; (3)是否存在点 E 使得二面角 A-DE-P 为直二面角?并说明理由. 解:(1)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC. 又∠BCA=90° ,∴AC⊥BC,∴BC⊥平面 PAC. (2)∵D 为 PB 的中点,DE∥BC,

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1 ∴DE= BC. 2 又由(1)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E, ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角.

∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB. 又 PA=AB,∴△ABP 为等腰直角三角形, ∴AD= 1 AB. 2

1 在 Rt△ABC 中,∠ABC=60° ,∴BC= AB, 2 DE BC 2 ∴在 Rt△ADE 中,sin∠DAE= = = , AD 2AD 4 即 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 2 . 4

(3)∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC. 又∵AE?平面 PAC,PE?平面 PAC, ∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A-DE-P 的平面角. ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC, ∴∠PAC=90° ,∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC. 这时,∠AEP=90° , 故存在点 E 使得二面角 A-DE-P 是直二面角.

题组四

(理)直线与平面所成的角、二面角

9.(2009· 浙江高考)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是 侧面 BB1C1C 的中心, 则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 A.30° B.45° C.60° ( D.90° )

解析:如图,取 BC 中点 E,连结 DE、AE、AD, 依题意知三棱柱为正三棱柱,易得 AE⊥平面 BB1C1C, 故∠ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.设各棱长为 1, 则 AE= 3 1 ,DE= , 2 2
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3 AE 2 tan∠ADE= = = 3, DE 1 2 ∴∠ADE=60° . 答案:C 10.设 P 是 60° 的二面角 α-l-β 内一点,PA⊥α,PB⊥β,A、B 分别为垂足,PA=2, PB=4,则 AB 的长是________. 解析:如图所示,PA 与 PB 确定平面 γ,与 l 交于点 E,则 BE⊥l,AE⊥l, ∴∠BEA 即为二面角的平面角, ∴∠BEA=60° ,从而∠BPA=120° , ∴AB= PA2+PB2-2PA· PBcos∠BPA = 4+16+8=2 7. 答案:2 7

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