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圆锥曲线之椭圆题库2 含详解 高考必备


C:
51 如图,设 F 是椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2 的左焦点,直线 l 为其左准线,直线 l 与

x 轴交于点 P,线段 MN 为椭圆的长轴,已知

| MN |= 8, 且 | PM |= 2 | MF | .
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A、B 求证:∠AFM=∠BFN; (3)(理科)求三角形 ABF 面积的最大值。 解(1)Q| MN |= 8 ∴ a = 4

又Q| PM |= 2 | MF | 得 ∴c = 2

a2 1 ? a = 2(a ? c)即2e 2 ? 3e + 1 = 0 ? c = 或e = 1(舍去) c 2 2 2 2 b = a ? c = 12 x2 y 2 + =1 16 12

∴ 椭圆的标准方程为

(2)当 AB 的斜率为 0 时,显然 ∠AFM = ∠BFN = 0. 满足题意 当 AB 的斜率不为 0 时,设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,AB 方程为 x = my ? 8, 代入椭圆方程 整理得

(3m 2 + 4) y 2 ? 48my + 144 = 0



? = ( 48m) 2 ? 4 × 144(3m 2 + 4), y1 + y 2 =

48m 3m 2 + 4

y1 ? y 2 =

144 3m 2 + 4

∴ k AF + k BF = =

y1 y2 y1 y2 + = + x1 + 2 x 2 + 2 my1 ? 6 my 2 ? 6

2my1 y 2 ? 6( y1 + y 2 ) =0 (my1 ? 6)(my 2 ? 6)

∴ k AF + k BF = 0, 从而∠AFM = ∠BFN .
综上可知:恒有 ∠AFM = ∠BFN

(3)(理科)

S ?ABF = S ?PBF ? S ?PAF =

1 72 m 2 ? 4 | PF | ? | y 2 ? y1 |= 2 3m 2 + 4

1

=

72 m 2 ? 4 = 3(m 2 ? 4) + 16

72 3 m ?4 +
2

16 m2 ? 4



72 2 3 ? 16

=3 3

3 m2 ? 4 =
当且仅当

16 m2 ? 4

即m 2 =

28 3

(此时适合△>0 的条件)取得等号.

∴ 三角形 ABF 面积的最大值是 3 3

y2 52 设椭圆方程为 x + =1,求点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 为坐标原点, 4
2

点 P 满足 OP =



→ 1 → (OA+ OB ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 2

解:设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点,①当斜率存在时,直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1, y1) B 2, 2) 联立并消元得: ,(x y , (4+k2) 2+2kx-3=0, x1+x2=- x

2k 8 , y1+y2= , 2 4+k 4+ k2

由 OP =



→ 1 → (OA+ OB) 2

x1 + x 2 k ? ?x = 2 = ? 4 + k 2 1 ? 得: (x, = (x1+x2, 1+y2) 即:? y) y , 2 ? y = y1 + y 2 = 4 ? 2 4+ k2 ?

消去 k 得:4x2+y2-y=0 当斜率不存在时,AB 的中点为坐标原点,也适合方程 所以动点 P 的轨迹方程为:4x2+y2-y= 0.

53 已知椭圆 C:

x2 y2 6 + 2 =1( a > b > 0 )的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 2 3 a b

3.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求△ AOB 面积的最大值.

3 , 2

?c 6 , ? = 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ?a = 3, ?
x2 + y2 = 1. ∴ b = 1 ,∴ 所求椭圆方程为 3
(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) .
2

(1)当 AB ⊥ x 轴时, AB =

3.

(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y = kx + m .

由已知

m 1+ k
2

=

3 3 ,得 m 2 = ( k 2 + 1) . 4 2

2 2 2 把 y = kx + m 代入椭圆方程,整理得 (3k + 1) x + 6kmx + 3m ? 3 = 0 ,

3( m 2 ? 1) ?6km , x1 x2 = . ∴ x1 + x2 = 2 3k + 1 3k 2 + 1

? 36k 2 m2 12(m 2 ? 1) ? 2 ? ∴ AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 = (1 + k 2 ) ? 2 2 3k 2 + 1 ? ? (3k + 1) ?

12(k 2 + 1)(3k 2 + 1 ? m 2 ) 3(k 2 + 1)(9k 2 + 1) = = (3k 2 + 1) 2 (3k 2 + 1) 2
= 3+ 12k 2 12 12 = 3+ ( k ≠ 0) ≤ 3 + = 4. 4 2 1 9k + 6 k + 1 2×3 + 6 2 9k + 2 + 6 k 1 3 ,即 k = ± 时等号成立.当 k = 0 时, AB = 3 , 2 k 3

当且仅当 9k 2 =

综上所述 AB max = 2 .


当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S =

1 3 3 . × AB max × = 2 2 2

54 已知向量 e1 = ( a , 0) , e2 = (0 , 1) ,经过定点 A( ? a , 0) 且方向向量为 ? e1 + λ e2 的直线 与经过定点 B( a , 0) 且方向向量为 2λ e1 + e2 的直线交于点 M,其中 λ ∈ R,常数 a>0. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)若 a = 取值范围. 设点 M ( x , y ) , 则 AM = ( x + a , y ) , BM = ( x ? a , y ) , 又 AM ∥ ( ?e1 故?

6 ,过点 F (1, 0) 的直线与点 M 的轨迹交于 C、D 两点,求 FC ? FD 的 2

+ λe 2 ) = ( ?a , λ ) , BM ∥ (2λe1 + e 2 ) = (2λa , 1)

?λ ( x + a) = ? ay ,消去参数 λ ,整理得点M的轨迹方程为 ?2λay = x ? a

3

x 2 + 2a 2 y 2 = a 2 (除去点 A(? a , 0) , B (a , 0) )
6 (2)由 a = 得点 M 轨迹方程为 2
x2 y2 + = 1 (除去点 A( 6 , 0), B (? 6 , 0) ), 1 2 2 6 ( )2 2 2 若 设 直 线 CD 的 方 程 为 y = k ( x ? 1) ( k ≠ 0 , 否则CD过A点) , C ( x1 , y 1 ) , D( x2 , y
显然 ?
2 ) ,则由 ?

? y = k ( x ? 1) ?2 x + 6 y = 3
2 2

消去 y 得 2(3k

2

+ 1) x 2 ? 12k 2 + 3(2k 2 ? 1) = 0 ,

= 24(k 2 + 1) > 0 ,于是 x1 + x2 =

6k 2 3(2k 2 ? 1) , x 1 x2 = , 3k 2 + 1 2(3k 2 + 1)
2),

设 FC ? FD 因此 m =
2

= m , FC = ( x1 ? 1, y 1 ) , FD = ( x2 ? 1, y

FC ? FD = ( x1 ? 1)( x2 ? 1) + y1 y 2 = ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) + k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2

3(2k 2 ? 1) 6k 2 = (1 + k )[ x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 1] = (1 + k )[ ? + 1] , 2(3k 2 + 1) 3k 2 + 1
即m =

?

k 2 +1 2m + 1 1 1 ? k2 = > 0 (6m + 1 ≠ 0) ? ? < m < ? , 6m + 1 2 6 2(3k 2 + 1)
1 1 ⊥ x 轴,则 x1 = x2 = 1, y 1 y 2 = ? ,于是 m = ? , 6 6
1? ? 1 ,? ? 6? ? 2 x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右焦点 F,且交椭圆 a2 b2
2

若直线 CD

综上可知 FC ? FD = m ∈ ? ?

55 如图,已知直线 L : x = my + 1过椭圆C :

C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直线 G : x = a 上的射影依次为点 D,K,E. (1)若抛物线 x = 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程;
2

(2)对于(1)中的椭圆 C,若直线 L 交 y 轴于点 M,且 MA = λ1 AF , MB = λ 2 BF , 当 m 变化时,求 λ1 + λ 2 的值; (3)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于一定点 N?若交于定 点 N,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由. 解:(1)易知 b =

3

∴ b 2 = 3, 又F (1,0)

∴c = 1

a2 = b2 + c2 = 4

4

∴ 椭圆C的方程为

x2 y2 + =1 4 3
1 ) m

(2)Q l与y轴交于M (0,? 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

? x = my + 1 由? 2 2 ?3x + 4 y ? 12 = 0
? = 144(m 2 + 1) > 0

∴ (3m 2 + 4) y 2 + 6my ? 9 = 0



1 1 2m + = (*) y1 y 2 3 ∴ ( x1 , y1 + 1 ) = λ1 (1 ? x1 ,? y1 ) m

又由 MA = λ1 AF

∴ λ1 = ?1 ?

1 my1 1 my 2 1 1 1 2 8 ( + ) = ?2 ? = ? m y1 y 2 3 3

同理 λ 2 = ?1 ?

∴ λ1 + λ 2 = ?2 ?

8 ∴ λ1 + λ 2 = ? … 3
(3)Q F (1,0), k = ( a 2 ,0) 先探索,当 m=0 时,直线 L⊥ox 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交 FK

a2 +1 中点 N,且 N ( ,0 ) 2
猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 N (

a2 +1 ,0 ) … 2

证明:设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), E ( a 2 , y 2 ), D ( a 2 , y1 ) 当 m 变化时首先 AE 过定点 N

5

? x = my + 1 Q? 2 2 即(a 2 + b 2 m 2 ) y 2 + 2mb 2 y + b 2 (1 ? a 2 ) = 0 2 2 2 2 ?b x + a y ? a b = 0 ? = 4a 2 b 2 (a 2 + m 2 b 2 ? 1) > 0(Q a > 1) 又K AN = ? y1 ? y2 , K EN = a ?1 1? a2 ? my1 2 2
2

而K AN ? K EN

a2 ?1 ( y1 + y 2 ) ? my1 y 2 = 2 2 2 1? a a ?1 ( ? my1 ) 2 2

(Q

a2 ?1 a2 ?1 2mb 2 b 2 (1 ? a 2 ) ( y1 + y 2 ) ? my1 y 2 = ? (? 2 ) ? m? 2 2 2 a + m 2b 2 a + m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (mb 2 ? mb 2 ) = = 0) a 2 + m 2b 2 ∴ A、N、E 三点共线

∴ K AN = K EN

同理可得 B、N、D 三点共线 ∴AE 与 BD 相交于定点 N (

a2 +1 ,0 ) 2

56 已知椭圆 C 过点 M (1,

6 ), F (? 2 ,0) 是椭圆的左焦点,P、Q 是椭圆 C 上的两个动点, 2

且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (3)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求|PB|的最小值及相应点 P 的坐标。

6 ? ?1 ?a 2 = 4 x y ? + 4 =1 ? 解:(1)设椭圆 C 的方程为 2 + 2 = 1 ,由已知,得 ? 2 ,解得 ? 2 2 a b a b ?b = 2 ? 2 2 ? ?a ? b = 2 ?
2 2

所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 + = 1 …………3 分 4 2 x2 y 2 + = 1 ,可知 4 2

(2)证明:设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 。由椭圆的标准方程为

6

x12 2 | PF |= ( x1 + 2) + y = ( x1 + 2) + 2 ? = 2+ x1 2 2
2 2 1 2

同理 | OF |= 2 +

2 2 x2 ,| MF |= 2 + 2 2
2 2 ) = 4+ ( x1 + x2 ) 2 2

∵ 2 | MF |=| PF | + | QF | ,∴ 2(2 + ∴ x1 + x2 = 2

2 ? 2 ? x1 + 2 y1 = 4 2 2 2 2 ①当 x1 ≠ x2 时,由 ? 2 ,得 x1 ? x2 + 2( y1 ? y2 ) = 0 2 ? x2 + 2 y2 = 4 ?

从而有

y1 ? y2 1 x +x =? ? 1 2 x1 ? x2 2 y1 + y2 y1 ? y2 1 =? x1 ? x2 2n

设线段 PQ 的中点为 N (1, n) ,由 k PQ =

得线段 PQ 的中垂线方程为 y ? n = 2n( x ? 1) ∴ (2 x ? 1) n ? y = 0 ,该直线恒过一定点 A( , 0) ②当 x1 = x2 时, P (1, ?

1 2

6 6 6 6 ), Q(1, ) 或 P (1, ), Q(1, ? ) 2 2 2 2 1 2

线段 PQ 的中垂线是 x 轴,也过点 A( , 0) , ∴线段 PQ 的中垂线过点 A( , 0) (3)由 A( , 0) ,得 B ( ?

1 2

1 2

1 , 0) 。 2

又 ?2 ≤ x1 ≤ 2, ?2 ≤ x2 ≤ 2 ,∴ x1 = 2 ? x2 ∈ [0, 2]

1 1 x2 1 7 9 | PB |2 = ( x1 + ) 2 + y12 = ( x1 + )2 + 2 ? 1 = ( x1 + 1) 2 + ≥ 2 2 2 2 4 4
∴ | PB |min =

3 时,点 P 的坐标为 2 3 x2 y2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率 e= ,左右两 2 2 a b

57 在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

7

个焦分别为 F1、F2 . 过右焦点 F2 且与 x轴垂直的直线与椭圆 C 相交 M、 两点, N 且|MN|=1 . (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; ( (Ⅱ) 设椭圆 C 的左顶点为 A,下顶点为 B,动点 P 满足 PA ? AB = m ? 4 , m ∈ R )试 求点 P 的轨迹方程,使点 B 关于该轨迹的对称点落在椭圆 C 上. 解:(Ⅰ)∵ MF2 ⊥ x 轴,∴ | MF2 |= (2 分) ∵ (4 分) 又e =
| MF1 |2 = (2c) 2 + 1 4

uuu uuu r r

1 1 ,由椭圆的定义得: | MF1 | + = 2a 2 2




1 1 (2a ? ) 2 = 4c 2 + 2 4



3 3 2 2 得c = a 2 4
1 2 a =1, 4
2

∴ 4a 2 ? 2a = 3a 2 ,

Qa > 0

∴a = 2

∴ b2 = a2 ? c2 =

∴所求椭圆 C 的方程为 x + y 2 = 1 . 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知点 A(-2,0),点 B 为(0,-1),设点 P 的坐标为 ( x, y ) 则 PA = ( ?2 ? x, ? y ) , AB = (2, ?1) , 由 PA ? AB = m -4 得- 4 ? 2 x + y = m ? 4 , ∴点 P 的轨迹方程为 y = 2 x + m . 设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 B '( x0 , y0 ) ,则由轴对称的性质可得:

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

y0 + 1 1 y ?1 x ?4 ? 4 m 2m ? 3 , , y0 = =? , 0 = 2 ? 0 + m ,解得: x0 = 5 5 x0 2 2 2
∵点 B '( x0 , y0 ) 在椭圆上,∴ (
2

?4 ? 4 m 2 2m ? 3 2 ) + 4( ) = 4, 5 5

整理得 2m ? m ? 3 = 0 解得 m = ?1 或 m = ∴点 P 的轨迹方程为 y = 2 x ? 1 或 y = 2 x + 经检验 y = 2 x ? 1 和 y = 2 x +

3 2

3 , 2

3 都符合题设, 2 3 ∴满足条件的点 P 的轨迹方程为 y = 2 x ? 1 或 y = 2 x + . 2

8

58 椭 圆 C :

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的 两 个 焦 点 为 F1 、 F2 , 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且 a2 b2
4 14 , PF2 = . 3 3

PF1 ⊥ F1 F2 ,且 PF1 =
(1)求椭圆 C 的方程.

(2)若直线 l 过圆 x 2 + y 2 + 4 x ? 2 y = 0 的圆心 M ,交椭圆 C 于 A 、 B 两点,且 A 、 B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 解:(1) F1 F2
2

= 20

∴ F1 F2 = 2 5 = 2c ? c = 5
又 2a = PF1 + PF2 = 6 ? a = 3

∴ 椭圆C :

x2 y 2 + =1 9 4

? y = k (x + 2) + 1 ? (2) ? x 2 y 2 ? (4 + 9k )x 2 + 36k 2 + 18k + 36k 2 + 36k ? 27 = 0 =1 ? + 4 ?9

(

)

Q A、B关于M对称 x1 + x2 18k 2 + 9k 8 ∴ =? = ?2 ? k = 2 2 4 + 9k 9

∴l : y =

8 (x + 2) + 1 即 8 x ? 9 y + 25 = 0 9

59 在直角坐标平面内,已知点 A(2, 0), B ( ?2, 0) , P 是平面内一动点,直线 PA 、 PB 斜 率之积为 ?

3 . 4

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 ( , 0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线 MA 的斜率 k 的取值范围.

1 2

9

解: (Ⅰ)设 P 点的坐标为 (x, y ) ,依题意,有

y y 3 ? = ? ( x ≠ ±2) . x?2 x+2 4
化简并整理,得

x2 y 2 + = 1( x ≠ ±2) . 4 3
x2 y 2 ∴动点 P 的轨迹 C 的方程是 + = 1( x ≠ ±2) . 4 3
(Ⅱ)解法一:依题意,直线 l 过点 ( , 0) 且斜率不为零,故可设其方程为 x = my + 由方程组

1 2

1 , 2

1 ? x = my + ? ? 2 ? 2 2 ?x + y =1 ?4 3 ?

消去 x ,并整理得

4(3m 2 + 4) y 2 + 12my ? 45 = 0
设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ) , M ( x0 , y0 ) ,则

∴ y1 + y2 = ?
∴ y0 =

3m 3m 2 + 4



y1 + y2 3m =? 2 2(3m 2 + 4)
1 2 = , 2 2 3m + 4

∴ x0 = my0 +

∴k =

y0 m = , x0 ? 2 4m2 + 4

(1)当 m = 0 时, k = 0 ; (2)当 m ≠ 0 时,

k=

1 4m + 4 m

10

Q| 4m +

4 4 |= 4 | m | + ≥8 m |m|
1 ≤ 1 . 8

∴0 <

4m +

4 m

1 . 8 1 1 ∴? ≤ k ≤ 且k ≠ 0 . 8 8 ∴ 0 <| k |≤
综合(1)、(2)可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是: ?

1 1 ≤k≤ . 8 8

60 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

x2 y2 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2.F2 a2 b2
5 . 3

也是抛物线 C2: y 2 = 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|MF2|= (Ⅰ)求 C1 的方程;

(Ⅱ)平面上的点 N 满足 MN = MF1 + MF2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A,B 两点,若

uuu uuu r r OA OB = 0 ,求直线 l 的方程.
解:(Ⅰ)由 C2 : y 2 = 4 x 知 F2 (1, . 0) 设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 =

5 5 2 2 6 ,所以 x1 + 1 = ,得 x1 = , y1 = . 3 3 3 3

8 ? 4 ? 2 + 2 = 1, M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c = 1 ,于是 ? 9a 3b ?b 2 = a 2 ? 1. ?
消去 b 并整理得
2

1 9a 4 ? 37 a 2 + 4 = 0 , 解得 a = 2 ( a = 不合题意,舍去). 3 x2 y 2 + = 1. 4 3

故椭圆 C1 的方程为

(Ⅱ)由 MF1 + MF2 = MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

uuuu uuuu r r

uuuu r

11

2 6 故 l 的斜率 k = 3 = 6 .设 l 的方程为 y = 6( x ? m) . 2 3
?3 x 2 + 4 y 2 = 12, ? 2 2 消去 y 并化简得 9 x ? 16mx + 8m ? 4 = 0 . 由? ? y = 6( x ? m), ?
16m 8m 2 ? 4 设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) , x1 + x2 = , x1 x2 = . 9 9
因为 OA ⊥ OB ,所以 x1 x2 + y1 y2 = 0 .

uuu r

uuu r

x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + 6( x1 ? m)( x2 ? m) = 7 x1 x2 ? 6m( x1 + x2 ) + 6m 2 =7 8m 2 ? 4 16m 1 ? 6m + 6m 2 = (14m 2 ? 28) = 0 . 9 9 9

所以 m = ± 2 .此时 ? = (16m) 2 ? 4 × 9(8m 2 ? 4) > 0 , 故所求直线 l 的方程为 y =

6 x ? 2 3 ,或 y = 6 x + 2 3 .
2 ,椭圆上的点到焦点的最短 2

61 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e = 距离为 1-

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P 0, ) 与椭圆 C 交于相异两点 A、 , AP ( m , B 且 2

uu r

uu r =λ PB .

(1)求椭圆方程; (2)若 OA+λ OB = 4OP ,求 m 的取值范围. 解: (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c =a -b ,由条件知 a-c= ∴a=1,b=c= 2 , 2
2

uu r

uu r

uu r

y2 x2 a b

2

2

2

2 c 2 , = , 2 a 2

故 C 的方程为:y + =1 1 2 → → (2)由AP =λPB , OA+λ OB = 4OP → → ∴λ+1=4,λ=3 或 O 点与 P 点重合OP = 0 → → 当 O 点与 P 点重合OP = 0 时,m=0 当 λ=3 时,直线 l 与 y 轴相交,则斜率存在。

x2

5′

uu r

uu r

uu r

7′

12

设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) B(x2,y2) ,
? ?y=kx+m ? 2 2 ? ?2x +y =1
2

得(k +2)x +2kmx+(m -1)=0
2 2 2 2

2

2

2

Δ=(2km) -4(k +2) m -1)=4(k -2m +2)>0 (*) (

x1+x2=

-2km m -1 , x1x2= 2 k2+2 k +2

2

?x1+x2=-2x2 ? → ∵ AP =3PB ∴-x1=3x2 ∴? 2 ? ?x1x2=-3x2

-2km 2 m -1 2 消去 x2,得 3(x1+x2) +4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 整理得 4k m +2m -k -2=0
2 2 2 2

2

m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2=
2

1 4

1 4

2-2m , 2 4m -1

2

2-2m 1 1 2 因 λ=3 ∴k≠0 ∴k = 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 4m -1 2 2 容易验证 k >2m -2 成立,所以(*)成立 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1)∪{0} 2 2 62 如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1), 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m( m ≠ 0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不同点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 解:(1)设椭圆方程为
2 2

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2

?a = 2b ?a 2 = 8 ? ? 则? 4 解得? 2 1 ?b = 2 ?a 2 + b2 = 1 ? ? x2 y2 ∴椭圆方程 + =1 8 2
(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 K OM =

1 2 1 x + m -2

∴l 的方程为: y =

13

1 ? ?y = 2 x + m ? 由? 2 2 ?x + y =1 ?8 2 ?

∴ x 2 + 2mx + 2m 2 ? 4 = 0

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

∴ ? = (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) > 0,
∴m 的取值范围是 {m | ?2 < m < 2且m ≠ 0} (3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可--9 分 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则k1 =

y1 ? 1 y ?1 , k2 = 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由x 2 + 2mx + 2m 2 ? 4 = 0 可得 x1 + x 2 = ?2m, x1 x 2 = 2m 2 ? 4
而 k1 + k 2 =

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)( x 2 ? 2) + ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) ,+ = x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

1 1 ( x1 + m ? 1)( x 2 ? 2) + ( x 2 + m ? 1)( x1 ? 2) 2 = 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) = = = x1 x 2 + (m + 2)( x1 + x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 + (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? 2m 2 + 4 m ? 4 m + 4 =0 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

∴k1+k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

63 设椭圆 C :

x2 y2 2 ,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 e = 2 2 a b

圆 C 两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P ( x 0 , y 0 ) 关于直线 y = 2 x 的对称点为 P1 ( x1 , y1 ) ,求 3 x1 ? 4 y1 的 取值范围. 解:(1)依题意知, 2a = 4,∴ a = 2.
14

∵e = ∴c =

c 2 = , a 2

2, b = a 2 ? c 2 = 2 .
x2 y2 + = 1. 4 2

∴所求椭圆 C 的方程为

(2)∵ 点 P ( x 0 , y 0 ) 关于直线 y = 2 x 的对称点为 P1 ( x1 , y1 ) , )

? y 0 ? y1 ? x ? x × 2 = ?1, ? 0 1 ∴ ? y 0 + y1 x + x1 ? = 2× 0 . ? 2 ? 2
解得: x1 =

4 y0 ? 3 x0 3 y + 4 x0 , y1 = 0 . 5 5

∴ 3 x1 ? 4 y1 = ?5 x 0 .

x2 y2 ∵ 点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 C : + = 1 上, 4 2
∴ ? 2 ≤ x 0 ≤ 2 , 则 ? 10 ≤ ?5 x 0 ≤ 10 . ∴ 3 x1 ? 4 y1 的取值范围为 [? 10, 10] .

64 已知椭圆 Γ 的方程为 顶点.

x2 y2 + = 1(a > b > 0) , A(0, b) 、B (0, ?b) 和 Q(a, 0) 为 Γ 的三个 a2 b2 r 1 uuur uuu ( AQ + AB ) ,求点 M 的坐标; 2

(1)若点 M 满足 AM =

uuuu r

( 2 ) 设 直 线 l1 : y = k1 x + p 交 椭 圆 Γ 于 C 、 D 两 点 , 交 直 线 l2 : y = k2 x 于 点 E . 若

k1 ? k2 = ?

b2 ,证明: E 为 CD 的中点; a2

(3) 设点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上, 如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l , 使得 l 与椭圆 Γ 的 两个交点 P 、 P2 满足 PP + PP2 = PQ PP + PP2 = PQ ?令 a = 10 , b = 5 ,点 P 的坐标 1 1 1 是(-8,-1),若椭圆 Γ 上的点 P 、 P2 满足 PP + PP2 = PQ ,求点 P 、 P2 的坐标. 1 1 1

uuu uuur r

uuu uuu uuur r r

uuu r

uuu uuur r

uuu r

15

a b 解析:(1) M ( , ? ) ; 2 2

? y = k1 x + p ? (2) 由方程组 ? x 2 y 2 ,消 y 得方程 (a 2 k12 + b2 ) x 2 + 2a 2 k1 px + a 2 ( p 2 ? b2 ) = 0 , + 2 =1 ? 2 b ?a
因为直线 l1 : y = k1 x + p 交椭圆 Γ 于 C 、 D 两点, 所以?>0,即 a 2 k12 + b2 ? p 2 > 0 , 设 C(x1,y1)、D(x2,y2),CD 中点坐标为(x0,y0),
? x + x2 a2 k p x0 = 1 =? 2 21 2 ? 2 a k1 + b ? , 则? 2 ?y = k x + p = b p 1 0 ? 0 a 2 k12 + b2 ? ? y = k1 x + p 由方程组 ? ,消 y 得方程(k2?k1)x=p, ? y = k2 x ? a2 k p p x= = ? 2 2 1 2 = x0 ? k2 ? k1 a k1 + b b2 ? 又因为 k2 = ? 2 ,所以 ? , 2 a k1 ?y = k x = b p = y 2 0 ? a 2 k12 + b 2 ?

故 E 为 CD 的中点; 所以点 F 在椭圆 Γ 内, 可以求得直线 OF 的斜率 k2, (3) 因为点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上, uuur uuur uuu r b2 由 PP + PP2 = PQ 知 F 为 P1P2 的中点,根据(2)可得直线 l 的斜率 k1 = ? 2 ,从而得直线 l 1 a k2 的方程. 1 1 b2 1 F (1, ? ) ,直线 OF 的斜率 k2 = ? ,直线 l 的斜率 k1 = ? 2 = , 2 2 a k2 2
1 ? ? y = 2 x ?1 ? 解方程组 ? 2 ,消 y:x2?2x?48=0,解得 P1(?6,?4)、P2(8,3). x y2 ? + =1 ?100 25 ?

65 已知 m>1,直线 l : x ? my ? 右焦点.

m2 x2 = 0 ,椭圆 C : 2 + y 2 = 1 , F1, F2 分别为椭圆 C 的左、 2 m

(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,V AF1 F2 ,VBF1 F2 的重心分别为 G , H .若原点
16

O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.
(Ⅰ)解:因为直线 l : x ? my ?

m2 m2 = 0 经过 F2 ( m 2 ? 1, 0) , 所以 m 2 ? 1 = ,得 2 2

m2 = 2 ,

又因为 m > 1 ,所以 m = 2 ,
2 故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? = 0。 2
(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 。
2

? m2 x = my + ? ? 2 由? 2 ,消去 x 得 ? x + y2 = 1 ? m2 ? m2 2 y + my + ?1 = 0 4
2

则由 ? = m 2 ? 8(

m2 ? 1) = ?m 2 + 8 > 0 ,知 m 2 < 8 , 4

且有 y1 + y2 = ?

m m2 1 , y1 y2 = ? 。 2 8 2

由于 F1 ( ?c, 0), F2 (c, 0), , 故 O 为 F1 F2 的中点, 由 AG = 2GO, BH = 2 HO , 可知 G (
2

uuur

uuur uuur

uuur

x1 y1 x y , ), h( 2 , 1 ), 3 3 3 3 ( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 + 9 9
x1 + x2 y1 + y2 , ), 6 6

GH =

设 M 是 GH 的中点,则 M ( 由题意可知 2 MO < GH ,

17

即 4[(

x1 + x2 2 y + y2 2 ( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 + ) +( 1 ) ]< 6 6 9 9

即 x1 x2 + y1 y2 < 0 而 x1 x2 + y1 y2 = ( my1 +

m2 m2 )(my2 + ) + y1 y2 2 2

m2 1 = (m + 1 ( ? ) ) 8 2
2

所以

m2 1 ? <0 8 2
2

即m < 4 又因为 m > 1 且 ? > 0 所以 1 < m < 2 。 所以 m 的取值范围是 (1, 2) 。

66 设 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C a2 b2
o

相交于 A , B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F1 到直线 l 的距离为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 = 2 F2 B ,求椭圆 C的方程. 解:(Ⅰ)设焦距为 2c ,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c = 2 3, 故c = 2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ),由题意知y1 < 0, y2 > 0, 直线 l 的方程为 y = 3( x ? 2).

uuuu r

uuuu r

? y = 3( x ? 2), ? 得(3a 2 + b 2 ) y 2 + 4 3b 2 y ? 3b 4 = 0. 联立 ? x 2 y 2 ? 2 + 2 =1 b ?a
解得 y1 =

? 3b 2 (2 + 2a ) ? 3b 2 (2 ? 2a ) , y2 = . 3a 2 + b 2 3a 2 + b 2

因为 AF2 = 2 F2 B, 所以 ? y1 = 2 y2 .

uuuu r

uuuu r

18

3b 2 (2 + 2a ) ? 3b 2 (2 ? 2a ) 即 = 2? . 3a 2 + b 2 3a 2 + b 2
得 a = 3.而a 2 ? b 2 = 4, 所以b =

5.

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 + = 1. 9 5

x2 y2 67 设椭圆 C: 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B a b
两点,直线 l 的倾斜角为 60o, AF = 2 FB . (I) (II) 解: 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由题意知 y1 <0, y2 >0. (Ⅰ)直线 l 的方程为 求椭圆 C 的离心率; 如果|AB|=

uuu r

uuu r

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

y = 3( x ? c) ,其中 c = a 2 ? b 2 .

? y = 3( x ? c), ? 得 (3a 2 + b 2 ) y 2 + 2 3b 2 cy ? 3b 4 = 0 联立 ? x 2 y 2 ? 2 + 2 =1 b ?a
解得 y1 =

? 3b 2 (c + 2a ) ? 3b 2 (c ? 2a ) , y2 = 3a 2 + b 2 3a 2 + b 2 uuu r

因为 AF = 2 FB ,所以 ? y1 = 2 y2 . 即

uuu r

3b 2 (c + 2a ) ? 3b 2 (c ? 2a ) = 2? 3a 2 + b 2 3a 2 + b 2 c 2 = . a 3

得离心率 e =

(Ⅱ)因为 AB = 1 +

1 2 4 3ab 2 15 y2 ? y1 ,所以 ? 2 = . 2 3 4 3 3a + b



c 2 5 5 15 = 得b = a .所以 a = ,得 a=3, b = 5 . a 3 3 4 4 x2 y 2 + = 1. 9 5

椭圆 C 的方程为

19

68 设椭圆

C1 :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) C : x 2 + by = b 2 a 2 b2 ,抛物线 2 。

(1) 若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率; (2) 设 A(0,b),Q ? 3 3, ? ,又 M、N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若△AMN

? ?

5? 4?

的垂心为 B ? 0, b ? ,且△QMN 的重心在 C2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。 (1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得: c = b ,由
2 2

? ?

3 ? 4 ?

a 2 = b 2 + c 2 = 2c 2 , 有

c2 1 2 = ?e= 。 2 a 2 2

(2) 由 题 设 可 知 M 、 N 关 于 y 轴 对 称 , 设

M (? x1 , y1 ), N ( x1 , y1 )( x1 > 0) ,由 ?AMN 的垂心为 B,有

uuuu uuur r 3 BM ? AN = 0 ? ? x12 + ( y1 ? b)( y1 ? b) = 0 。 4
由点 N ( x1 , y1 ) 在抛物线上, x1 + by1 = b ,解得: y1 = ? 或y1 = b(舍去)
2 2

b 4

故 x1 =

5 5 b 5 b b b, M (? b, ? ), N ( b, ? ) ,得 ?QMN 重心坐标 ( 3, ) . 2 2 4 2 4 4

b2 1 1 由重心在抛物线上得:3 + = b 2 , 所以b =2 ,M (? 5, ? ), N ( 5, ? ) , 又因为 M、 4 2 2
N 在椭圆上得: a =
2

16 x2 y 2 ,椭圆方程为 + = 1 ,抛物线方程为 x 2 + 2 y = 4 。 16 3 4
3

69 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( ? 2, 0) , ( 2, 0) ,离心率是 圆 C 交与不同的两点 M,N,以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值。 解:(Ⅰ)因为

6 ,直线 y=t 椭 3

c 6 = ,且 c = 2 ,所以 a = 3, b = a 2 ? c 2 = 1 a 3

20

所以椭圆 C 的方程为

x2 + y2 = 1 3

(Ⅱ)由题意知 p (0, t )( ?1 < t < 1)

?y = t ? 2 由 ? x2 得 x = ± 3(1 ? t ) 2 ? + y =1 ?3
所以圆 P 的半径为 3(1 ? t )
2

解得 t = ±

3 2

所以点 P 的坐标是(0, ±

3 ) 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 x 2 + ( y ? t ) 2 = 3(1 ? t 2 ) 。因为点 Q ( x, y ) 在圆 P 上。所以

y = t ± 3(1 ? t 2 ) ? x 2 ≤ t + 3(1 ? t 2 )
设 t = cos θ , θ ∈ (0, π ) ,则 t + 3(1 ? t ) = cos θ + 3 sin θ = 2sin(θ +
2

π
6

)

当θ =

π
3

,即 t =

1 ,且 x = 0 , y 取最大值 2. 2

70 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ?

1 . 3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。 (I)解:因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, ?1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) 由题意得 化简得

y ?1 y + 1 1 =? x + 1 x ?1 3 x 2 + 3 y 2 = 4( x ≠ ±1) .

故动点 P 的轨迹方程为 x 2 + 3 y 2 = 4( x ≠ ±1) (II)解法一:设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, y N ) .

21

则直线 AP 的方程为 y ? 1 =

y0 ? 1 y +1 ( x + 1) , 直线 BP 的方程为 y + 1 = 0 ( x ? 1) x0 + 1 x0 ? 1

令 x = 3 得 yM =

4 y0 + x0 ? 3 2 y0 ? x0 + 3 , yN = . x0 + 1 x0 ? 1

于是 PMN 得面积

S

PMN

=

| x + y0 | (3 ? x0 ) 2 1 | yM ? y N | (3 ? x0 ) = 0 2 | x0 2 ? 1|

又直线 AB 的方程为 x + y = 0 , | AB |= 2 2 , 点 P 到直线 AB 的距离 d = 于是 PAB 的面积

| x0 + y0 | 2

.

S
当S

PAB

=

1 | AB | d =| x0 + y0 | 2 | x0 + y0 | (3 ? x0 )2 | x0 2 ? 1|

PAB

=S

PMN 时,得 | x0 + y0 |=

又 | x0 + y0 |≠ 0 , 所以 (3 ? x0 ) = | x0 ? 1| ,解得 | x0 =
2 2

5 。 3

因为 x0 + 3 y0 = 4 ,所以 y0 = ±
2 2

33 9 5 3 33 ). 9

故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ±

70 已知椭圆

x2 y2 3 + 2 = 1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 2 a b 2

积为 4. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点 A 的坐标为(-a,0). (i)若|AB |=

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5
uuur uuu r

(ii)若点 Q (0,y0) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA QB=4 .求 y0 的值.

(Ⅰ)解:由 e=

c 3 2 2 2 2 2 = ,得 3a = 4c .再由 c = a ? b ,解得 a=2b. a 2
22

由题意可知

1 × 2a × 2b = 4 ,即 ab=2. 2

解方程组 ?

?a = 2b, 得 a=2,b=1. ?ab = 2, x2 + y 2 = 1. 4

所以椭圆的方程为

(Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ)可知点 A 的坐标是(-2,0).设点 B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

? y = k ( x + 2), ? 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 消去 y 并整理,得 2 ? + y = 1. ?4 (1 + 4k 2 ) x 2 + 16k 2 x + (16k 2 ? 4) = 0 .
由 ?2 x1 =

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k ,得 x1 = .从而 y1 = . 2 2 1 + 4k 1 + 4k 1 + 4k 2
2 2

? 2 ? 8k 2 ? ? 4k ? 4 1+ k 2 . 所以 | AB |= ? ?2 ? ? +? ? = 1 + 4k 2 ? ? 1 + 4 k 2 ? 1 + 4k 2 ?
由 | AB |=

4 2 4 1+ k 2 4 2 = ,得 . 5 1 + 4k 2 5
4 2

整理得 32k ? 9k ? 23 = 0 ,即 (k 2 ? 1)(32k 2 + 23) = 0 ,解得 k= ±1 . 所以直线 l 的倾斜角为

π
4



3π . 4

(ii)解:设线段 AB 的中点为 M,由(i)得到 M 的坐标为 ? ?

?

8k 2 2k ? , . 2 2 ? ? 1 + 4k 1 + 4k ?

以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

uuu r uuu r uuu uuu r r QA = ( ?2, ? y0 ) , QB = ( 2, ? y0 ) . 由 QA ? QB = 4 ,得 y0 = ±2 2 。
(2)当 k ≠ 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

2k 1? 8k 2 ? = ? ?x+ ?。 1 + 4k 2 k? 1 + 4k 2 ?

6k 。 1 + 4k 2 uuu r uuu r 由 QA = ( ?2, ? y0 ) , QB = ( x1 , y1 ? y0 ) ,
令 x = 0 ,解得 y0 = ?

23

uuu uuu r r ?2 ( 2 ? 8k 2 ) 6k ? 4k 6k ? + + QA ? QB = ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0 ) = ? 2 2 ? 2 1 + 4k 1 + 4 k ? 1 + 4 k 1 + 4k 2 ?
= 4 (16k 4 + 15k 2 ? 1)

(1 + 4k )
2

2 2

= 4,

整理得 7 k = 2 。故 k = ±

14 2 14 。所以 y0 = ± 。 7 5 2 14 5
x2 y2 + = 1 的左、右顶点为 A、B,右焦点 9 5

综上, y0 = ±2 2 或 y0 = ±

71 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

为 F。设过点 T( t, m )的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 > 0, y 2 < 0 。 (1)设动点 P 满足 PF 2 ? PB 2 = 4 ,求点 P 的轨迹; (2)设 x1 = 2, x 2 =

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t = 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐 标与 m 无关)。 (1)设点 P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。 由 PF 2 ? PB 2 = 4 ,得 ( x ? 2) 2 + y 2 ? [( x ? 3) 2 + y 2 ] = 4, 化简得 x = 故所求点 P 的轨迹为直线 x = (2)将 x1 = 2, x 2 =

9 。 2

9 。 2

1 5 1 分别代入椭圆方程,以及 y1 > 0, y 2 < 0 得:M(2, )、N( , 3 3 3

?

直线 MTA 方程为:

y?0 x+3 1 = ,即 y = x + 1 , 5 3 ?0 2+3 3 y?0 x ?3 5 5 直线 NTB 方程为: = ,即 y = x ? 。 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3

20 ) 9

24

?x = 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , ?y = 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y?0 x+3 m = ,即 y = ( x + 3) , m?0 9+3 12 y ?0 x ?3 m 直线 NTB 方程为: = ,即 y = ( x ? 3) 。 m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为: 分别与椭圆

x2 y2 + = 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ≠ ?3, x2 ≠ 3 , 9 5

解得: M (

3(80 ? m 2 ) 40m 3(m 2 ? 20) 20m , )、 N( ,? )。 2 2 2 80 + m 80 + m 20 + m 20 + m 2

20m 3(m 2 ? 20) x? 20 + m 2 20 + m2 (方法一) x1 ≠ x2 时, 当 直线 MN 方程为: = 2 40m 20m 3(80 ? m ) 3(m 2 ? 20) + ? 80 + m 2 20 + m2 80 + m 2 20 + m 2 y+
令 y = 0 ,解得: x = 1 。此时必过点 D(1,0); 当 x1 = x2 时,直线 MN 方程为: x = 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0)。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0)。

72 已知点 M 在椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上, 以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于 a2 b2

椭圆的右焦点 F . (1)若圆 M 与 y 轴相切,求椭圆的离心率; (2)若圆 M 与 y 轴相交于 A, B 两点,且 ?ABM 是边长为 2 的正三角形,求椭圆的方程. 解:(1)设 M ( x 0 , y 0 ) ,圆 M 的半径为. 依题意得 x 0 = c = r =| y 0 |

b2 b2 ,所以 = c ,又 b 2 = a 2 ? c 2 a a 从而得 c 2 + ac ? a 2 = 0 ,两边除以 a 2 得: e 2 + e ? 1 = 0 ?1± 5 5 ?1 解得: e = ,因为 e ∈ (0,1) ,所以 e = . 2 2 (2)因为 ?ABM 是边长为 2 的正三角形,所以圆 M 的半径 r = 2 , b2 M 到圆 y 轴的距离 d = 3 又由(1)知: r = ,d = c a
将 x 0 = c 代入椭圆方程得: y 0 =

25

b2 = 2 又因为 a 2 ? b 2 = c 2 ,解得: a = 3 , b 2 = 2a = 6 a x2 y2 所求椭圆方程是: + =1 9 6
所以, c =

3,

73 已知点(x, y) 在曲线 C 上,将此点的纵坐标变为原来的 2 倍,对应的横坐标不变,得到的 点满足方程 x + y = 8 ;定点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),直
2 2

线 l 与曲线 C 交于 A、B 两个不同点. (1)求曲线 C 的方程; (2)求 m 的取值范围. 解: (1)在曲线 C 上任取一个动点 P(x,y), 则点(x,2y)在圆 x 2 + y 2 = 8 上. 所以有 x 2 + (2 y ) 2 = 8 .

整理得曲线 C 的方程为

x2 y2 + = 1. 8 2
1 , 2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m,又 K OM = ∴直线 l 的方程为 y =

1 x + m. 2

? 1 ? y = 2 x + m, ? , 由? 2 2 ? x + y = 1. ?8 2 ?

得 x2 + 2mx + 2m2 ? 4 = 0

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点, ∴ ? = (2m)2 ? 4(2m2 ? 4) > 0, 解得 ?2 < m < 2且m ≠ 0 . ∴m 的取值范围是 ?2 < m < 0或0 < m < 2 . 74 已知椭圆
x2 y2 + = 1 两焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆在第一象限弧上一点,并满足 2 4

PF1 ? PF2 = 1 ,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点.

(1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; (3)求△PAB 面积的最大值。
B O F2 A F1

y P

x

26

解: (1)由题可得 F1 (0, 2 ) , F2 (0 ? 2 ) ,设 P0 ( x 0 , y 0 ) ( x 0 > 0, y 0 > 0) 则 PF1 = ( ? x 0 , 2 ? y 0 ) , PF1 = (? x0 ,? 2 ? y0 ) ,分
2 2 ∴ PF1 ? PF2 = x0 ? ( 2 ? y0 ) = 1 ,∵点 P ( x0 , y 0 ) 在曲线上,则

2 2 2 x0 y 0 4 ? y0 2 + = 1 ,∴ x0 = ,从 2 4 2

2 4 ? y0 2 ? (2 ? y0 ) = 1 ,得 y0 = 2 .则点 P 的坐标为 (1, 2 ) . 2 (2)由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k (k > 0)



则 BP 的直线方程为: y ?

? y ? 2 = k ( x ? 1) ? 得 2 = k ( x ? 1) .由 ? x 2 y 2 =1 ? + ?2 4
B

y A F1 P

(2 + k 2 ) x 2 + 2k ( 2 ? k ) x + ( 2 ? k ) 2 ? 4 = 0 ,设 B ( x B , y B ) ,则

2k(k ? 2) 2k(k ? 2) k 2 ? 2 2k ? 2 , 1 + xB = , xB = ?1 = 2 + k2 2 + k2 2 + k2 k 2 + 2 2 k ? 2) 4 2k 同理可得 x A = ,则 x A ? x B = , 2 + k2 2 + k2 8k . y A ? y B = ? k ( x A ? 1) ? k ( x B ? 1) = 2 + k2 y ? yB = 2 为定值. 所以:AB 的斜率 k AB = A x A ? xB

O F2

x

(3)设 AB 的直线方程: y = 2 x + m .
? y = 2x + m ? 由 ? x2 y 2 ,得 4 x 2 + 2 2 mx + m 2 ? 4 = 0 , =1 ? + ?2 4 由 ? = ( 2 2 m ) 2 ? 16(m 2 ? 4) > 0 ,得 ? 2 2 < m < 2 2 |m| P 到 AB 的距离为 d = , 3 |m| 1 1 1 则 S ?PAB = | AB | ?d = (4 ? m 2 ) ? 3 ? 2 2 2 3

=

1 2 1 m2 ? m2 + 8 2 m ( ?m 2 + 8) ≤ ( ) = 2。 8 8 2

当且仅当 m = ±2 ∈ ? 2 2 ,2 2 取等号 ∴三角形 PAB 面积的最大值为 2 。

(

)

75 已知 A、 C 是椭圆 m : B、

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上的三点, 其中点 A 的坐标为 ( 2 3 ,0) , a2 b2

BC 过椭圆 m 的中心,且 AC ? BC = 0, | BC |= 2 | AC | 。 (Ⅰ)求椭圆 m 的方程; (Ⅱ)过点 M (0, t ) 的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点,且 | DP |=| DQ | .求实数 t 的取值范围。

27

解(Ⅰ)∵ | BC |= 2 | AC | 且BC 过(0,0) 则 | OC |=| AC |

又 Q AC ? BC = 0

∴∠OCA=90°, 即 C ( 3 , 3 ) 又∵ a = 2 3 , 设m : 将 C 点坐标代入得 解得 c2=8,b2=4 ∴椭圆 m:

x2 y2 + =1 12 12 ? c 2
3 3 + =1 12 12 ? C 2

x2 y2 + =1 12 4
∵M(0,t)

(Ⅱ)由条件 D(0,-2) 1°当 k=0 时,显然-2<t<2 2°当 k≠0 时,设 l : y = kx + t

? x2 y2 =1 ? + ? 12 4 ? y = kx + t ?

消y得

(1 + 3k 2 ) x 2 + 6ktx + 3t 2 ? 12 = 0
由△>0 可得

t 2 < 4 + 12 k 2



设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ), PQ中点H ( x 0 , y 0 ) 则 x0 = ∴ H (?

x1 + x 2 3kt = 2 1 + 3k 2
3kt t , ) 2 1 + 3k 1 + 3k 2

y 0 = kx0 + t =

t 1 + 3k 2

由 | DP |=| DQ |

∴ OH ⊥ PQ

即k DH = ?

1 k

t +2 2 1 =? ∴ 1 + 3k 3kt k ? ?0 2 1 + 3k
∴t>1 将①代入②得 ∴t 的范围是(1,4) 综上 t∈(-2,4)

化简得t = 1 + 3k 2
1<t<4



28

76 已知椭圆的两焦点为 F1 ( ? 3 ,0) , F2 ( 3 ,0) ,离心率 e =

3 . 2

(1)求此椭圆的方程;(2)设直线 l : y = x + m ,若 l 与此椭圆相交于 P , Q 两点,且

PQ 等于椭圆的短轴长,求 m 的值;
(3) 以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC, 这样的直角三角 形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.

x2 y 2 解:(1)设椭圆方程为 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) , a b
则c =

3,

c 3 ,∴ a = 2, b 2 = a 2 ? c 2 = 1 = a 2 x2 + y2 = 1. 4
,消去 y,得 5 x 2 + 8mx + 4( m 2 ? 1) = 0 ,

∴ 所求椭圆方程为

(2)由 ?

?y = x + m ?x + 4 y = 4
2 2

则 ? = 64m 2 ? 80( m 2 ? 1) > 0 得 m 2 < 5 设 P( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 + x 2 = ?

(*)

4( m 2 ? 1) 8m , x1 x 2 = , y1 ? y 2 = x1 ? x 2 , 5 5

PQ = ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 = 2[(?

8m 2 16( m 2 ? 1) ) ? ]=2 5 5

解得. m 2 =

15 30 ,满足(*)∴ m = ± . 8 4

(3)设能构成等腰直角三角形 ABC,其中 B(0,1),由题意可知,直角边 BA,BC 不可 能垂直或平行于 x 轴,故可设 BA 边所在直线的方程为 y = kx + 1 (不妨设 k<0),则 BC

? y = kx + 1 8k 8k 2 1 边所在直线的方程为 y = ? x + 1 ,由 ? 2 ,得 A ( ? ,? + 1), 2 k 1 + 4k 2 1 + 4k 2 ?x + 4 y = 4
2 8k 2 8k 2 2 8 k 1 + k ) + (? ) = , ∴ AB = (? 1 + 4k 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2

8 1+ k 2 1 2 2 用 ? 代替上式中的 k,得 BC = ,由 AB = BC ,得 k (4 + k ) = 1 + 4k , 2 k 4 +k

29

Q k<0,∴ 解得: k = ?1 或 k =

?3± 5 ,故存在三个内接等腰直角三角形. 2

30


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