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【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.1第一课时正弦定理课件 新人教B版必修5


1.1

正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理

学习目标 1.掌握正弦定理,能初步运用正弦定理解一些 掌握正弦定理, 掌握正弦定理 斜三角形. 斜三角形. 2.能够运用正弦定理解决某些与测量和几何 . 计算有关的实际问题. 计算有关的实际问题.

第一课时

课前自主学案 第 一 课 时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.三角形内角和定理:△ABC中,____________. .三角形内角和定理: 中 A+B+C=π + + = > ? > 2.三角形中大边对大角:△ABC中,a>b?A>B .三角形中大边对大角: 中 ___________. 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,边与角的关系为: . △ 中 = ° 边与角的关系为: a b sinA, =sinB ,c c= _________________.

知新益能

1.正弦定理 . 在一个三角形中, 在一个三角形中, 三角形中 各边的长和它所对角的正弦的 a b c 2R 相等 , 比_____, 即 = = =___.(R 为三角形 sinA sinB sinC 的外接圆的半径) 的外接圆的半径

思考感悟 a b c 1.设 . = = =2R,R 为什么为三角 , sinA sinB sinC 形的外接圆的半径? 形的外接圆的半径? 提示: 如图所示, △ABC 的外接圆圆心为 O, 设 提示: 如图所示, , 的直径, 半径为 R,BD 为圆 O 的直径,则 D=A 或 D , = π =π-A,∠BCD= . - , = 2

在 Rt△BDC 中,BC=BDsin D=2RsinA.即 a= △ = = 即 = 2RsinA.同理,可得 b=2Rsin∠ABC,c=2Rsin 同理, 同理 = ∠ , = ∠ACB. a b c ∴ = = =2R. sinA sin∠ABC sin∠ACB ∠ ∠

2.利用正弦定理解三角形 . (1)解三角形 : 一般地 , 我们把三角形的三个 解三角形: 一般地, 解三角形 和它们的对边a, , 叫做三角形 角 A、B、C和它们的对边 , b,c叫做三角形 、 、 和它们的对边 元素 . 的_____. 已知三角形的几个元素, 已知三角形的几个元素 , 求其他元素的过程 叫做_________. 叫做 解三角形 .

(2)用正弦定理可以解决以下两类有关三角形 用正弦定理可以解决以下两类有关三角形 的问题: 的问题: ①已知两角和任一边,求_______________; 已知两角和任一边, 其他两边和一角 ; 已知两边和其中一边对角, 另一边的对 ②已知两边和其中一边对角,求___________ 及其他的边、 角,及其他的边、角 ___________________ .

思考感悟 2. 作三角形使得 = 14, b= 16, A= 45° , . 作三角形使得a= , = , = ° 你能作出几个? 你能作出几个?

提示:如图, 提示:如图,作 45°角为 A,在 A 的一边上取 角为 , 一点 C,使 AC=16,以点 C 为圆心,以 14 为 为圆心, , = , 半径画弧, 半径画弧,因为 16sin45°=8 2<14, = < ,所以能作 出两个三角形. 出两个三角形.

课堂互动讲练

已知两角和一边解三角形
例1 (1)在△ABC中,c=10,A=45°,C= 在 中 = , = ° =

30°,求a,b和B; 30° a,b和B; (2)在△ABC中,A=45°,B=30°,a=2, 在 中 = ° = ° = , 解三角形. 解三角形. 【分析】 分析】 理求解. 理求解. 应用正弦定理、 应用正弦定理、三角形内角和定

a c 【解】 (1)∵ ∵ = , sinA sinC × csinA 10×sin45° ∴a= = = =10 2. sin30° sinC B=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°. = - + = - + = b c 又∵ = , sinB sinC × csinB 10×sin105° ∴b= = = sin30° sinC 6+ 2 + =20× × =5( 6+ 2). + . 4

(2)根据三角形内角和定理, 根据三角形内角和定理, 根据三角形内角和定理 C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°, = - + = - + = , 根据正弦定理, 根据正弦定理, 1 2× × 2 asinB 2sin30° b= = = = = 2, , sinA sin45° 2 2 6+ 2 + 2× × 4 asinC 2sin105° 2sin75° c= = = = = = sinA sin45° sin45° 2 2 3+1. +

点评】 【 点评 】

(1)运算过程中 , 要用到三角函数 运算过程中, 运算过程中

中的公式,此题中对105°角作了 “ 拆角 ” 变 中的公式 , 此题中对 ° 角作了“拆角” 换. (2)由于在已知两角的情况下,第三个角确定, 由于在已知两角的情况下,第三个角确定, 由于在已知两角的情况下 因此,解的情况唯一. 因此,解的情况唯一.

自我挑战1 自我挑战

在△ABC中,B=30°,C=45°, 中 = ° = °

c=1,求边 的长及三角形的外接圆半径. = ,求边b的长及三角形的外接圆半径 的长及三角形的外接圆半径.

解:已知 B=30°,C=45°,c=1. = , = , = b c 由正弦定理得: 由正弦定理得: = =2R, , sinB sinC 2 csinB 1·sin30° 所以 b= = = = , 2 sinC sin45° c 1 1 2 2R= = = = 2,R= . , = = sinC sin45° 2 2 2

已知两边及其中一边的对角解三角形
例2 在△ABC 中,已知下列条件解三角形 角 已知下列条件解三角形(角

度精确到 1°,边长精确到 1 cm): , : (1)a=49 cm,b=26 cm,A=107°; = , = , = ; (2)a=2 cm,b=6 cm,A=30°; = , = , = ; (3)a=3 cm,b=6 cm,A=30°; = , = , = ; (4)a=1 cm,b= 3 cm,A=30°. = , = , =
分析】 【分析】 我们可先确定满足条件的三角形的 个数,然后再求解. 个数,然后再求解.

是钝角, 【解】 (1)∵A=107°是钝角,且 a>b, ∵ = 是钝角 > , 这样的三角形有且只有一个. ∴这样的三角形有且只有一个. 26sin107° ∵sinB= = ≈0.507, , 49 ∴B≈30°,∴C≈43°. ≈ , ≈ a c 49 c 又∵ = ,∴ = , sinA sinC sin107° sin43° 49sin43° ∴c= = ≈35(cm). . sin107° 故 B≈30°,C≈43°,c≈35 cm. ≈ , ≈ , ≈

(2)∵a=2,bsinA=3, ∵ = , = , ∴a<bsinA,这样的三角形不存在. < ,这样的三角形不存在. (3)∵a=3,bsinA=3, ∵ = , = , ∴a=bsinA,这样的三角形唯一存在. = ,这样的三角形唯一存在. bsinA 6sin30° 此时 sinB= a = = =1, , 3 ∴B=90°,C=60°,c= 62-32=5(cm). = , = , = . 故 B=90°,C=60°,c=5 cm. = , = , =

3 (4)∵a=1,bsinA= , ∵ = , = 2 ∴bsinA<a<b,这样的三角形有两个. < < ,这样的三角形有两个. bsinA 3sin30° 3 此时 sinB= a = = = , 1 2 则 B=60°或 120°. = 或 当 B=60°时,C=90°,c= 1+3=2(cm); = 时 = , = + = ; 当 B=120°时,C=30°,c=a=1(cm). = 时 = , = = .

点评】 【 点评 】

在解三角形时, 在解三角形时 , 同学们不能盲目

地拿到题目就用正弦定理来求解, 地拿到题目就用正弦定理来求解 , 最好是先 根据上述结论, 找出其解的存在情况, 然后 根据上述结论 , 找出其解的存在情况 , 再来解. 这样, 既可以减少错解、 再来解 . 这样 , 既可以减少错解 、 漏解的可 能性,同时还能减少计算量. 能性,同时还能减少计算量.

自我挑战 2

在△ABC 中,(1)a=1,b= 2,∠ = , = ,

B=45°,求∠A、∠C 及 c; = , 、 ; (2)a=4,b= 2,∠B=45°,求∠A、∠C 及 c. = , = , = , 、

解:(1)由正弦定理得 由正弦定理得 × asinB 1×sin45° 1 sinA= = b = = . 2 2 ∵b>a,∴∠ >∠A,∴∠ =30°, > ,∴∠B> ,∴∠A= ,

∠C=180°-(45°+30°)=105°, = - + = , 6+ 2 + bsinC 2sin105° . ∴c= = = = sinB sin45° 2 × asinB 4×sin45° (2)由正弦定理得 sinA= b = 由正弦定理得 = =2>1, > , 2 ∴这样的三角形不存在. 这样的三角形不存在.

正弦定理的简单应用
例3

如图, 平分∠ 如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠

DAB. BC sinD 求证: . 求证:CD= sinB
【 分析】 分析 】 将要证明的边和角放在两个三角

形中,用正弦定理实现边与角的转化. 形中,用正弦定理实现边与角的转化.

由正弦定理得 【证明】 在△ABC 中,由正弦定理得: 证明】 BC AC . = sinB sin∠1 ∠ 由正弦定理得: 在△ACD 中,由正弦定理得: AC CD . = sinD sin∠2 ∠ 平分∠ 由于 AC 平分∠DAB,所以∠1=∠2. ,所以∠ = BC sinD 将两式相除得: . 将两式相除得:CD= sinB

【点评】 点评】

证明边与角的恒等式时, 证明边与角的恒等式时,可用正弦

定理实现边与角的转化.此题利用 平分 定理实现边与角的转化.此题利用AC平分 ∠DAB,将问题转化到两个有公共边 的三 ,将问题转化到两个有公共边AC的三 角形内,在两个三角形中分别应用正弦定理, 角形内,在两个三角形中分别应用正弦定理, 实现角与边的转化. 实现角与边的转化.

自我挑战 3 非等边三角形 ABC 的外接圆半径 为 2,最长的边 BC=2 3,求 sinB+sinC 的取 , = , + 值范围. 值范围.

BC 3 解:由正弦定理 =2R,得 sinA= . , = sinA 2
是最长边,且三角形为非等边三角形, ∵BC 是最长边,且三角形为非等边三角形, 2 ∴A= π. = 3

π ∴sinB+sinC=sinB+sin( -B) + = + 3 3 π 1 = sinB+ cosB=sin(B+ ). + = + . 2 3 2 π π π 2π 又 0<B< ,∴ <B+ < . < < + 3 3 3 3 π 3 ∴ <sin(B+ )≤1. + ≤ 3 2 3 的取值范围是( 故 sinB+sinC 的取值范围是 ,1]. + . 2

正弦定理的实际应用
例4 如图测量河对岸的塔高 如图测量河对岸的塔高AB

时,可以选与塔底B在同一水平 可以选与塔底 在同一水平 面内的两个测点C与D,现测得 面内的两个测点 与 , ∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s, = , = , = 并在点C测得塔顶 的仰角为 并在点 测得塔顶A的仰角为 , 测得塔顶 的仰角为θ, 求塔高AB. 求塔高

分析】 【 分析 】

在 △ BDC中 , 利用正弦定理可求 中

出BC,在Rt△ABC中, , △ 中 AB=BC·tan∠ACB=BC·tanθ. = ∠ =

【解】 在△BCD 中,∠CBD=π-α-β. = - - 由正弦定理得 BC CD = , sin∠BDC sin∠CBD ∠ ∠ CDsin∠BDC ∠ s·sinβ . ∴BC= = = sin∠CBD sin(α+β) ∠ ( + ) 在 Rt△ABC 中, △ s·tanθsinβ AB=BCtan∠ACB= . = ∠ = sin(α+β) ( + )
点评】 【 点评 】 首先建立数学模型, 首先建立数学模型 , 在三角形中 使用正弦定理解题. 使用正弦定理解题.

自我挑战4 如图,海中小岛A周围 周围20 自我挑战 如图,海中小岛 周围 海里内有暗礁,船沿正南方向航行, 海里内有暗礁,船沿正南方向航行, 处测得小岛A在船南偏东 在B处测得小岛 在船南偏东 °; 处测得小岛 在船南偏东30° 航行30海里到达 , 处测得小岛A在船的南偏 航行 海里到达C,在C处测得小岛 在船的南偏 海里到达 处测得小岛 如果此船不改变航向, 东60°.如果此船不改变航向,继续向南航行,有 ° 如果此船不改变航向 继续向南航行, 无触礁的危险? 无触礁的危险?

的垂线, 解:过点 A 作直线 BC 的垂线,垂足为 D. 因为∠ = , 因为∠B=30°,∠ACD=60°, = , 所以∠ 所以∠BAC=30°, = , ∠BCA=180°-60°=120°. = - = 由正弦定理, 在△ABC 中,由正弦定理, AB BC 得 = , sin120° sin30° 30×sin120° × 海里). 所以 AB= = =30 3(海里 . 海里 sin30° 1 AD= 海里). 在 Rt△BDA 中, B=30°, = AB=15 3≈26(海里 . △ ∠ = , = ≈ 海里 2 海里,所以继续航行,船没有触礁的危险. 因为 AD>20 海里,所以继续航行,船没有触礁的危险.


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