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2013-2014学年度第一学期高一数学寒假作业(必修1、4带答案)15天


高一数学寒假作业
必修 1 第一天 一.填空题 1.下列对象能形成集合的是______________. ⑴充分小的负数全体; ⑵爱好飞机的一些人; ⑶某班本学期视力较差的同学; ⑷某校某班某一天所有课程. 2.{(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为__________. 3.用描述法表示下列集合: (1)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合 (2) 平面直角坐标系中第二、四象限点的集合 2 4.若 x∈R,则{3,x,x -2x}中的元素 x 应满足条件 5.设集合 A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},若 a∈A,b∈B,则元素 a+b 与集合 A、B 的关系是 6.集合 A={x|-1<x<3,x∈Z},写出 A 的真子集___________________________. 7.判断如下 A 与 B 之间有怎样的包含或相等关系: (1)若 A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},则 A_____B. (2)若 A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},则 A_____B. 8.U=R,A={x|a≤x≤b},CUA={x|x>9 或 x<3},则 a=_______,b=_________ 9.用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1) 0 ______ N , (2) ?

5 ______ N ,

16 ______ N

1 ______ Q, ? _______ Q, e ______ CRQ ( e 是个无理数) 2

(3) 2 ? 3 ? 2 ? 3 ________ x | x ? a ? 6b, a ? Q, b ? Q 10.下面有四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 0; (2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ; (3)若 a ? N , b ? N , 则 a ? b 的最小值为 2 ;

?

?

1,1? ; (4) x ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ?
2

其中正确命题的序号是 二.解答题 2 11.集合 A 的元素由 kx -3x+2=0 的解构成,其中 k∈R,若 A 中的元素至多有一个,求 k 值的范围.

12.已知全集 U={2,3,a -2a-3},A={2,|a-7|},CUA={5},求 a 的值.

2

13.已知 A={-2≤x≤5} ,B={x|m+1≤x≤2m-1},B ? A,求 m。

14.已知集合 P={x|x +x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足 Q P,求 a 所取的一切值.

2

15. 在数学中, “至多”与“至少”是两个相对的概念,如“五边形的外角中至多有三个钝角” ,说明“五边形的外 角中至少有二个不是钝角” 。这种思想从集合的角度分析,就是“补集”的思想,请你利用这个知识,解决下列问题: 已知方程 x ? 2 x ? a ? 1 ? 0 和 x ? 4 x ? 8 ? a ? 0 中,至少有一个方程有实数根,求实数 a 的取值范围。
2 2

16. 在数学课上, 老师要求学生写出用符号语言写出所有正奇数组成的集合, 学生甲的答案是: x x ? 2n ? 1, n ? N , 学生乙的答案是: x x ? 2n ? 1, n ? N ,请你说明谁的答案正确,如有错误,请其稍作修改。

?

?

?

?

第二天 一.填空题 1.设 A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B=____________,A∪B=____________. 2.(1)设 A={x|x<5},B={x|x≥0},则 A∩B=_______________. (2)设 A={x|x>-2},B={x|x≥3},则 A∪B=__________________________. 3.已知 M={1},N={1,2},设 A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N, y∈M},则 A∩B= __________________________,A∪B=__________________________. 4.设 A={(x,y)|3x+2y=1},B={(x,y)|x-y=2},C={(x,y)|2x-2y=3},则 A∩B= B∩C= 。 5.用集合 A、B、C 表示图形中的阴影部分 A B



C

,x ? R , N ? ?( x, y) | y ? x ? 1,x ? R? ,则 A∩B 等于 6.已知 M ? ( x, y ) | y ? x ? 1
2

?

?



7.以下四个关系: ? ? {0} , 0 ? ? ,{ ? } ? {0} , ?

{0} ,其中正确的个数有

8.设集合 A 为能被 2 整除的数组成的集合,集合 B 为能被 3 整除的数组成的集合,则 A ? B 表示 的集合, A ? B 表示 的集合;
由此可知, 在 1 到 100 的自然数中,有 个能被 2 或 3 整除的数。 , . 9.已知集合 U ? {x | ?3 ? x ? 3} , M ? {x | ?1 ? x ? 1} , CU N ? {x | 0 ? x ? 2} 那么集合 N ?

M ? (CU N ) ?

,M ?N ?

10.下列命题中:(1)空集是任何集合的子集; (2)设 A ? B, 若a ? B, 则a ? A ; (3)本班成绩优秀的同学,可以组成集合。 (4)设集合 A ? {( x, y) | a1 x ? b1 x ? c1 ? 0} ,

B ? {( x, y) | a2 x ? b2 x ? c2 ? 0} ,则方程 (a1 x ? b1 x ? c1 ) (a 2 x ? b2 x ? c2 ) ? 0 的解集为 A ? B .其中正确的命题序号
是 二.解答题 11.设 U={x|x 是小于 9 的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求 A∩B,CU(A∩B).

12.设全集 I={不超过 5 的正整数},A={x|x -5x+q=0},B={x|x +px+12=0}且 (CUA)∪B={1,3,4,5},求实数 p 与 q 的值.

2

2

13.A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5},分别就下面条件求 A 的取值范围. ①A∩B= ? ,②A∩B=A.

14.设全集 U ? R , M ? m | 方程mx ? x ? 1 ? 0有实数根 , N ? n | 方程x ? x ? n ? 0有实数根 , 求 ? CU M ? ? N .
2 2

?

?

?

?

15.已知集合 A ? x x ? x ? m ? 2 ? 0, x ? R , B ? x x ? 0 ,若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围。
2

?

?

?

?

a3 , a 5 }, a2 , a4 , a3 , a 5 为自然数, a3 , a 5 }, a2 , a4 , a2 , a4 , 16. 设 a1 , A={ a1 , B={ a1 , 且 a1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 ,
并满足 A∩B={ a1 , a 4 }, a1 + a 4 =10,A∪B 中各元素之和为 256,求集合 A?

2

2

2

2

2

第三天 一.填空题 1.下列各组函数中,表示同一函数的是______________. ⑴ y ? 1, y ? ⑶ y ? x, y ? 2.已知函数 y ?

x x
3

⑵y?

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1
2

x3
2

⑷ y ?| x |, y ? ( x )

1? x 的定义域为_____________________. 2 x ? 3x ? 2 ? x ? 1, ( x ? 0) 3.设 f ( x ) ? ? ?? , ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} ? _____________. ?0, ( x ? 0) ?

4.设函数 y ?

1 1 1? x

的定义域为 M,值域为 N,那么 M=_________________,N=__________.

5.已知 f 满足 f(ab)=f(a)+ f(b),且 f(2)= p ,f(3)=q,那么 f(72)=____________. 6.如果函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ? ??, 4 ? 上是减少的,那么实数 a 的取值范围是
2

7.(07 北京)已知函数 f ?x ?, g ?x ? 分别由下表给出: x f(x) 1 1 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1

则 f ?g ?1?? 的值
2

;满足 f ?g ?x ?? ? g ? f ?x ?? 的 x 的值 。

.

8.函数 f ( x) ? x ? x ? 2 的定义域是[-1,2],则值域为 9. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,正确 的是 .. (1) f (? x) ? f ( x) ? 0 (2) f (? x) ? f ( x) ? ?2 f ( x)

(3) f ( x)?f (? x) ≤ 0

( 4)

f ( x) ? ?1 f (? x)

10.若记号“*”表示的是 a * b ? 恒等式 二.解答题
2

a?b ,则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a,b,c”成立一个 2

.

11.已知函数 y ? x ? 2 | x | (1)试判断它的奇偶性; (2)在直角坐标系中画出这个函数的图象; (3)写出它的单调递增区间。

12. 求下列函数的值域: (1) y ? x ? 1 ? 2 x

(2) y ?

2x 2 ? 2x ? 3 . x2 ? x ?1

13.已知 y ? f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,求 a 的取值范围。

14.(2007 安徽)求图中的图象所表示的函数的解析式。

15.(2208 山东 5) 设函数 f ( x ) ? ?

?1 ? x 2, x ≤ 1, ? 求 2 ? ? x ? x ? 2,x ? 1,

? 1 ? f? ? 的值. ? f (2) ?

16.已知函数 f ( x) , g ( x) 同时满足: g ( x ? y) ? g ( x) g ( y) ? f ( x) f ( y) ; f (?1) ? ?1 , f (0) ? 0 , f (1) ? 1 ,求

g (0), g (1), g (2) 的值.

第四天 一.填空题

1 1.化简 (a b )( ?3a b ) ? ( a 6 b 6 ) 的结果 3
2. (2008 重庆 14)若 x ? 0, 则 (2 x ? 3 )(2 x ? 3 ) ? 4 x 3.已知-1<a<0,则三个数 3 , a , a 3 由小到大的顺序是 4.函数 y ? ( x ? 5) 0 ? ( x ? 2)
? 1 2 的定义域为
x

2 3

1 2

1 2

1 3

1

5

1 4

3 2

1 4

3 2

?

1 2

(x ? x ) =
. 。 . .

1 2

a

1 3

5.已知函数 f (x)的定义域是(1,2),则函数 f (2 ) 的定义域是 6.当 a>0 且 a≠1 时,函数 f (x)=a
x

x-2

-3 必过定点

7..若指数函数 y ? a 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a等于 8.函数 f ( x) ? 2 9.已知 f ( x) ?
?| x|

的值域是

e ? e?x ,则它是 (奇、偶)函数,在 R 上为 (增、减)函数。 2 x x 10. 函数 f ( x) ? 10 ? 4 的图象是作出函数 f ( x) ? 10 的图象,再作它关于 轴对称的图象后, 最后将上述图象
x

向 平移 二.解答题
3

个单位长度得之.

11.计算:

3

? b? ?? 1 ? 23 ? ? a? a 2 ? 23 ab ? 43 a 4 ? ? a 4 ? 83 ab

12.解不等式: ( 1) 3

2 x ?3

1 ? ( ) x ?5 3

(2) (a ? 2a ? 3)
2

x ?2

? (a 2 ? 2a ? 3) 3?2 x

13.已知 x ? [-3,2],求 f(x)=

1 1 ? x ? 1 的最小值与最大值。 x 4 2

14.已知函数 y ? a

2x

? 2a x ? 1(a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

15. (1)已知 f ( x) ?

2 ? m 是奇函数,求常数m的值; 3 ?1
x
x

(2)画出函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程|3X-1|=k无解?有一解?有两解?

16.已知函数 f ( x ) ?

a x ?1 (a>1). ax ?1

(1)判断函数f (x)的奇偶性; (2)求f (x)的值域; (3)证明 f (x)在(-∞,+∞)上是增函数.

第五天 一. 填空题 1.若 log x
5

y ? z ,则 y ?

.

2.计算 2log5 25 ? 3log 2 64 ? 8ln1 ? ______. 3.已知 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,那么 log 3 6 ? ______. 4. 已知 f ( x ) ? lg x ,则 f (2) ?
5

.

5.方程 lg(4 ? 2) ? lg 2 ? lg 3 的解是______.
x x x

6.已知函数 f ( x) ? lg x ,则 f ? 7.已知 log a

?1? ?, ?4?

?1? f ? ? , f (2) 的大小关系是______. ?3?

1 1 ? logb ? 0 ,则 a,b 的大小关系是 3 3
?2 x ?1 ? 1 , x ?1 , ?lg x, x ≥1 ,
若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是( )

8.设函数 f ( x) ? ?

9.(2008 北京 2)若 a ? log 3 π,b ? log 7 6,c ? log 2 0.8 ,则 a,b,c 的大小关系是

1) a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln x ,则 a,b,c 的大小关系是 10. (全国Ⅱ5)若 x ? (e ,,
3

?1

A. a < b < c B. c < a < b 二.解答题 11.求下列各式的值 (1) log 2 (2 ? 4 )
3 5

C. b < a < c

D. b < c < a

(2) lg 5 100

(3)

lg 243 lg 9

(4)lg14 ? 21g

7 ? lg 7 ? lg 18 。 3

12.求函数 y

? log ( x ?1) (5 ? 4 x ) 的定义域:

13.设函数 f ( x ) ? ?

?x 2 , x ? 0

, ?lg( x ? 1), x ? 0

(1)作出上述函数的图象; (2) 若f ( x0 ) ? 1, 则x0 的取值范围为什么?

14.(山东 15) 已知

f (3x ) ? 4 x log 2 3 ? 233 ,求 f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (28 ) 的值.

15.已知 log a ( x

2

? 4) ? log a ( y 2 ? 1) ? log a 5 ? log a (2 xy ? 1)(a ? 0,且a ? 1) ,求 log8

y 的值. x

16.已知 f ( x) ? log a (a ? 1)( a ? 0 且 a ? 1) , (1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的增减性,并证明你的结论.

x

第六天 一. 填空题 1.函数 y ? x 在区间 [ ,2] 上的最大值是
1
?2

1 2

. 对称.

2.函数 y ? x 和 y ? x 3 图象关于直线
3

3.下列命题中正确的是 (1).当 ? ? 0 时函数 y
?

.

? x 的图象是一条直线
?

?

(2).幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 (3).若幂函数 y ? x 是奇函数,则 y ? x 是定义域上的增函数 (4).幂函数的图象不可能出现在第四象限
4

4.对于幂函数 f ( x) ? x 5 ,若 0 ? x1 ? x 2 ,则 f (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 大小关系是 ), 2 2

.

5.函数 y ? 1 ? ( ) 6.若函数 f ( x) ? 2

1 3

2 x ?1

的定义域为________

?| x ?1|

? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是________
2? ? ?

7.已知 log a 2 ? ? , log a 3 ? ? ,则 a 8. 函数 y ? x lg( x ?
2

=

x 2 ? 1) 的奇偶性为

? e x , x ? 0. 1 .9。设 g ( x ) ? ? 则 g ( g ( )) ? __________ 2 ?lnx, x ? 0.
10. (江西 4)若 0 ? x ? y ? 1 ,则下列关系式成立的是 (1) 3 ? 3
y x

。 (4) ( ) ? ( )
x

(2) log x 3 ? log y 3

(3) log 4 x ? log 4 y

1 4

1 4

y

二.解答题 11.求下列函数的定义域和值域:
2

(1) y ? x 3

(2) y ? x

?2

(3) y ? x

?

3 2

12. 求证:函数 y ? x 在 R 上为奇函数且为增函数.
3

13.已知 f ( x) ?| log 3 x | , (1)作出这个函数的图象; (2)利用图象观察:当 0<a<2 时,有 f (a) ? f (2) ,求 a 的取值范围.

14. 一个幂函数 y ? f ( x) 的图象过点(3,

4

27 ),另一个幂函数 y ? g ( x) 的图象过点(-8, -2), (1)求这两个幂函数的

解析式; (2)判断这两个函数的奇偶性; (3)作出这两个函数的图象,观察得 f ( x) ? g ( x) 的解集.

15.设 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的非常数函数,对任意的 x ? 0, y ? 0 ,恒有 f ( xy) ? f ( x) f ( y) 成立,且当 x ? 1时,恒有 f ( x) ? 1 或 f ( x) ? 1 成立。试证: (1)图象恒在第一象限,且过定点(1,1) ;

1 x (3) f ( x) 在 (0,??) 上为单调函数。
(2) f ( x) f ( ) ? 1 ;

第七天 一. 填空题 1.如果抛物线 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象与 x 轴交于两点 (?1,0) 和 (3,0) ,则 f ( x) ? 0 的解集是_______ 2.方程 x 3 ? x ? 1 ? 0 的零点大致在哪两个相邻自然数之间 。
2

3.已知 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)( x ? b) ,并且 m, n 是方程 f ( x) ? 0 的两根,则实数 a, b, m, n 的大小关系可能是_________ 4.函数 y ? ( x ? 2 x ? 3)( x ? 2 x ? 3) 的图象与轴交点的个数是_____ 5.函数 y ?
2 2

1? x2 的零点是______ 1? x
x x

6.若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? 4 ? 0 有实数解,则实数 a 的取值范围是________ 7. 已知 0 ? a ? 1 ,则方程 a
x

? log a x 的实根个数是

8.用二分法求函数 y ? f ( x) 在区间 (2,4) 上的近似解,验证 f (2) ? f (4) ? 0 ,给定精度 ? ? 0.01 ,取区间 (a, b) 的中 点 x1 ?

2?4 ? 3 ,计算得 f (2) ? f ( x1 ) ? 0 ,则此时零点 x 0 ? ____(填区间) 2

9.已知函数 f ( x) 对一切实数 x 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,若函数 f ( x) 恰好有 4 个零点,则这些零点之和为_____ 10.(2008 湖北 13).方程 2 二.解答题 11.讨论函数 y ? (ax ? 1)( x ? 2) 的零点
?x

? x 2 ? 3 的实数解的个数为

.

12.已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? m ? 1? x ? n 的零点是 1 和 2,求函数 y ? log n (mx ? 1) 的零点.
2

13. 判定下列方程存在几个实数解,并分别给出其实数解的存在区间 (1) x ? x ? 1 ? 0
2

(2) | lg x | ? 2 ? 0

14.试判断函数 f(x)=x2+2(m+3)x+2m-14=0 是否存在零点?

15.证明:方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 只有一个实数根是 1.

3

16.关于 x 的方程 ax2+bx+c=0,其中 2a+3b+6c=0. (1)当 a=0 时,求方程的根; (2)求证: 当 a ? 0 时,原方程必有两个相异的实根; (3)当 a>0 时,求证:方程有一根在 0 与 1 之间.

必修 4 第八天 一.填空题 1.如果角 ? 与 x ? 45° 具有相同的终边,角 ? 与 x ? 45° 具有相同的终边,那么 ? 与 ? 之间的关系是 2.终边在第一、四象限的角的集合可表示为 3. (2008 全国Ⅱ1)若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是第 cos x tan x 4.函数 y ? 的值域是 . ? cos x tan x ? ? ? 5.设 ? 是第二象限角,且 cos ? ? cos ,则 是 2 2 2 6.角 ? 的终边在直线 y ?
3 x 上,则 cos? 的值是 2

. 象限角

7.一钟表的分针长 10cm,经过 35 分钟,分针的端点所转过的长为 8.若 f (cos x) ? cos 2 x ,则 f (sin15°) ? . 9.若 sin A ?
4 5sin A ? 8 ,且 A 是三角形中的一个角,则 ? 5 15cos A ? 7



10.以下四个命题: ①若 ? 是第一象限角,则 sin ? ? cos? ? 1;
1 2 ②存在 ? 使 sin ? ? , cos ? ? 同时成立; 3 3

③若 cos 2? ? ? cos 2? ,则 ? 终边在一、二象限; ④若 tan(5π ? ? ) ? ?2 且 cos? ? 0 , sin(? ? π) ? 其中正确命题的序号是 二.解答题 .
2 5. 5

· 180° ? 30° ? ? ? k · 180 ? 150° ,k ? Z? 求 S ? P . · 360° ? 60 ° ? ? ? k · 360 ° ? 60 ° ,k ? Z? , P ? ?? | k 11.已知 S ? ?? | k

12.扇形的周长 C 一定时,它的圆心角 ? 取何值才能使扇形面积 S 最大?最大值是多少?

13.已知 sin ? ? cos ? ? (1) tan ? ;

1 , ? ? (0,π) ,求下列各式的值. 5

(2) sin ? ? cos? ;

(3) sin3 ? ? cos3 ? .

14.求证:

cos ? sin ? 2(cos ? ? sin ? ) . ? ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ?

( x ? 1), ?cos πx 15.已知 f ( x) ? ? 求 ? f ( x ? 1) ? 1 ( x ? 1),

?1? f ? ?? ? 3?

?4? f ? ? 的值. ? 3?

16.已知 tan x ? 2 , (1)求

2 2 1 sin x ? cos2 x 的值。 3 4

(2)求 2 sin x ? sin x cos x ? cos x 的值。
2 2

第九天 一.填空题 1.函数 y ? 4sin(2 x ? π) 的图象关于 2.函数 y ? sin(?2 x) 的单调递增区间是

对称

π? ? 3.为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点 4? ?

π ? π? 4.已知 ?,? ? ? 0, ? 且 cos ? ? sin ? ,则 ? ? ? 与 的大小关系是 2 2 ? ? ? π? ? π? 5.比较大小: sin ? ? ? sin ? ? ? . ? 18 ? ? 10 ?

6. 函数 y ? tan

x 的最小正周期是 2

.

7.(2008 安徽 8) .函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 图像的对称轴方程是


(填上你认为正确的一个即可,不必写上

所有可能的形式) . 8.如果 sin x ? a ? 1 和 cos x ? 2a 同时有解,则 a 的取值范围是

9.(2008 天津 6) 把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横 3

坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 2

? π? 10.若一个三角函数 y ? f ( x) 在 ? 0, ? 内是增函数,又是以 π 为最小正周期的偶函数,则这样的一个三角函数的解析 ? 2? 式为 (填上你认为正确的一个即可,不必写上所有可能的形式) . 二.解答题

11.(2008 浙江 7)在同一平面直角坐标系中,作出函数 y ? cos( ? 写出交点个数.

x 2

3? 1 )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 y ? 的图象,并 2 2

π 12.左图是正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0, 0 ? ? ? ) 的图象. 2

(1)确定它的解析式; (2)写出它的对称轴方程.

13.求函数 y ?

3(sin x ? 2) ? 5 的值域. sin x ? 2

14. 已知三角函数 y ? A sin(? x ? ? ) , 在同一周期内, 当x?

1 π 4 1 时, 取得最大值 ; 当 x ? π 时, 取得最小值 ? , 且 A ? 0, 2 9 9 2

? ?0, ? ?

π 求函数表达式. 2

π? π? 3 ?π? ?π? ? ? 15 . 有 两 个 函 数 f ( x) ? a sin ? kx ? ?,g ( x) ? b tan ? kx ? ? (k ? 0) , 它 们 的 周 期 之 和 为 π 且 f ? ? ? g ? ? , 3? 3? 2 ?2? ?2? ? ? ?π? ?π? f ? ? ? ? 3g ? ? ? 1 求这两个函数,并求 g ( x ) 的单调递增区间. ?4? ?4?

16.设关于 x 的函数 y ? 2cos x ? 2a cos x ? (2a ? 1) 的最小值为 f (a ) ,
2

试确定满足 f (a) ?

1 的 a 的值,并对此时的 a 值求 y 的最大值。 2

第十天 一.填空题 1.已知 cos(? ? ? ) ?

4 4 , cos(? ? ? ) ? ? ,则 cos ? cos ? 的值为 5 5

?π ? ?π ? cos ? ? x ? ? sin ? ? x ? ?4 ? ?4 ? 的值为 2.化简: ?π ? ?π ? cos ? ? x ? ? sin ? ? x ? ?4 ? ?4 ?
3.计算

sin

?
12

? 3 cos

? 的值为
12
.

4.函数 f ( x) ? 2 sin x ? cos x 的最大值是

5.如果

sin(? ? ? ) m tan ? 等于 ? ,那么 sin(? ? ? ) n tan ?
0 0 0 0

.

6. tan10 tan 20 ? 3 (tan10 ? tan 20 ) =

7.

1 3 ? ? sin10 sin 80?

的值是

8.(2008 山东 10) 已知 cos ? ? ?

? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 的值是 6? 5 6 ? ?
0 0

.

9.设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ?
0 0

6 ,则 a, b, c 大小关系 2

10.计算:

sin 65 o +sin 15 o sin 10 o 的值为_______. sin 25 o - cos 15 o cos 80 o

二、解答题 11(2008 山东 10) 已知 cos ? ? ?

? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,求 sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 的值. 6? 5 6 ? ?

12、设α 、β 均为锐角,cosα =

1 11 ,cos(α +β )=- ,求 cosβ 之值. 7 4

13.在Δ ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求 C 的大小.

14.已知 ?、? ? (0, ? ) ,且 tan ?、 tan ? 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根,试求:
2

(1) ? ? ? 的值

(2) cos(? ? ? ) 的值.

15.若 tanα=2log3x,tanβ=3log 1 x,且 α-β=
3

? ,求 x 4

16. (2008 江苏 15)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单位圆相 交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为

(1)求 tan( ? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? 2? 的值。

2 2 5 , 10 5
y A B O x

第十一天 一.填空题 1.(2008 全国Ⅰ6) y ? (sin x ? cos x) ? 1 是以
2

为最小正周期的

(奇\偶)函数

2.(2008 浙江 12)若 sin( 3.已知 x ? (?

?

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? _________。 2 5
4 ,则 tan 2 x ? 5
.

?
2

, 0) , cos x ?

4.已知 cos 2? ? A.

2 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? 的值为 3
C.

13 18

B.

7 9

D. ?1

5.若

1 ? tan ? 1 ? 2008, 则 ? tan 2? ? 1 ? tan ? cos 2?



6.已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3


, cos 2? 的值为



7.已知 sin(

3 ? x) ? , 则 sin 2 x 的值为( 4 5 19 16 14 7 A. B. C. D. 25 25 25 25

?

8. (2008 宁夏 11)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为 9. (2008 江西 6)函数 f ( x) ?

sin x sin x ? 2sin x 2

是以

为最小正周期的

(奇\偶)函数

二、解答题 10.已知 A ? B ?

?
4

,求证: (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2

11.求值: log 2 cos

?
9

? log 2 cos

2? 4? ? log 2 cos 9 9

12.已知 cos? ? ?

4 ? 1 , ? ? ( , ? ), tan(? ? ? ) ? ,求 tan(? ? 2? ) 之值。 5 2 2

13. 求值: (1) sin 6 0 sin 42 0 sin 66 0 sin 78 0 ; (2) sin 20 ? cos 50 ? sin 20 cos50
2 0 2 0 0 0

14.已知函数 y ?

1 3 cos 2 x ? sin x cos x ? 1( x ? R) ,求函数的最大值及对应自变量 x 的集合. 2 2

15.(2008 安徽 17) .已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

第十二天 一.填空题 1、M 是△ABC 的重心,则 AM + BM + CM = 2、在平行四边形 ABCD 中,化简 BC + DC + BA = 3.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。 4.下列各式:① AB ? CA ? CB ;② OA ? OD ? AD ;③ AB ? AC ? BD ? CD ; ④ OA ? OC ? BO ? CO ;⑤ ( AB ? MB) ? OM ? BO 。其中结果为 0 的序号是

??? ? ??? ? ??? ?

5.不共线向量 a , b 满足

时,使得 a + b 平分 a , b 间的夹角。 ,| a ? b |的最小值是 。

6.已知向量| a |=2,| b |=8,则| a + b |的最大值是

7、已知 a 、 b 是非零向量,若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a 、 b 应满足条件________。 8.已知 OA = a , OB = b ,且| a |=| b |=4,∠AOB=600,则| a + b |= ,| a ? b |= ; 。

a + b 与 a 的夹角是

; a ? b 与 a 的夹角是

;△AOB 的面积是 .

9.已知 O 为△ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ,则△ABC 的形状是

10.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是___________。 二.解答题 11.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

12.如图,D、E 在线段 BC 上,且 BD=EC, 求证: AB ? AC ? AD ? AE 。
A

B

D

E

C

13.设两个非零向量 a 与 b 不共线 (1) 、若 AB ? a ? b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3a ? 3b, 求证 A、B、D 三点共线

?

?

??? ?

? ? ??? ?

?

? ??? ?

?

?

(2) 、试确定实数 k 的值,使向量 ka ? b 与 a ? kb 共线。

?

?

?

?

14.如图所示,在平行四边形 三点共线.

中,



中点,点



上一点, BN ?

1 BD 求证 3





15.如图,一艘船从 A 点出发以 2 3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 2km/ h ,求船实际航 行的速度的大小与方向。

16. (07 江西理 15) 如图, 在 △ABC 中, 点 O 是 BC 的中点, 过点 O 的直线分别交直线 AB ,AC 于不同的两点 M,N , 若 AB ? mAM , AC ? nAN ,求 m ? n 的值.

??? ?

???? ?

????

????

A

N

B

O

C

M

第十三天 一.填空题 1.(2008 安徽卷 3) .在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) ,则 BD ?
???? ??? ? ? 1 1? ? 1 1? 2.已知 A(0,, . 0) B ? , ? ?,C ? ? , ? ,则向量 AC ? AB 的坐标是 ? 2 3? ? 2 3? ??? ? ??? ? ???? 12), OB ? (4,, 5) OC ? (?k, 10) ,且 A 3.已知向量 OA ? (k, ,B,C 三点共线,则 k ?

??? ?

????

??? ?



4.若向量 a ? (2 x ? 1, x ? 3 x ? 3) 与 AB 相等,且 A(1,3) ,B(2,4) ,则 x 为
2

?

5.(2008 全国二 13)设向量 a ? (1 ,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ?a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则 ? ? 6.平行四边形 ABCD 的顶点的坐标分别为 A(-1,-4) ,B(3,-2) ,D(-3,4) ,则顶点 C 的坐标为 对角线交点 M 的坐标 。 7.已知向量 a ? ?1,2?, b ? ?2,3?, c ? ?3,4?, 且 c ? ?1 a ? ? 2 b .则 ?1 , ? 2 的值分别为 8.△ABC 的两个顶点 A(3,7) ,B(-2,5) ,若 AC 的中点在 x 轴上,BC 的中点在 y 轴上,则顶点 C 的坐标为 。 9.已知点 P 分 P1 P2 所成的比为-3,那么点 P1 分 P2 P 所成比为 10.(2008 陕西卷 15)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题: ①若 a? 6) , a ∥b ,则 k ? ?3 . b = a? c ,则 b ? c .②若 a ? (1,k ),b ? (?2, ③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60 .
?

. ,两



其中真命题的序号为 二.解答题

. (写出所有真命题的序号)

??? ? ??? ? ???? 11.已知点 A(2,, 3) B(5,, 4) C(10, 8) ,若 AP ? AB ? ? AC (? ? R) ,求当点 P 在第二象限时, ? 的取值范围.

12.已知点 A(?2, ? 3),B(4, 1) ,延长 AB 至 P ,使 AP ? 3 PB ,求 P 点的坐标.

13.平面内给定三个向量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ?1, 2 ? , c ? ? 4,1? ,回答下列问题: (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n; (2)若 ? a ? kc ? // 2b ? a ,求实数 k;

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

14.设 e1 , e 2 是两个不共线的向量, AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、B、D 三点共线,求 k 的值.

15.已知点 A(4,5) ,B(1,2) ,C(12,1) ,D(11,6) ,试用向量法求直线 AC 与 BD 的交点坐标。

16. (2007.陕西)如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA |=| OB |=1,| OC |= 2 3 ,若 OC =λ OA +μ OB (λ ,μ ∈R),求λ +μ 的值。

第十四天 一.填空题

? ? ? ,则 a ? b ? . 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 2.(2008 天津卷 14)已知平面向量 a ? (2, 4) , b ? ( ?1, 2) .若 c ? a ? (a ? b )b ,则 | c |? _____________. b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 1.(2008 上海卷 5)若向量 a , b 满足 a ? 1,
3.若向量 a,b 的夹角是 60°,|b|=4, (a+2b) · (a ? 3b)= ? 72,则向量 a 的模是 4.(2008 湖北卷 1)设 a ? (1,?2) , b ? ( ?3,4) , c ? (3,2) 则 (a ? 2b) ? c ? 5.若向量 a、b、c 满足 a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则 a ?b+b ?c+c ?a 等于 . .

?

?

?

?

?

?

??? ? 6.已知点 A(2, ? 4) 、点 B( ? 2,y) ,若 AB ? 5 ,则 y ?
7.已知点 A(2, ? 2),B(51) ,,C(1, 4) ,则∠BAC 的余弦值为

. . . .

8.已知 a ? ( x,, 2) b ? (3, ? 5) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 9.已知 e 为单位向量, | a | =4, a与e 的夹角为 ? ,则 a在e 方向上的投影为 10. (江西 16)如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题: A. AC ? AF ? 2 BC

2 3

???? ??? ?

??? ?
??? ?
F

E

D

B. AD ? 2 AB ? 2 AF

????

???? ?

C

C. AC ? AD ? AD ? AB D. ( AD ? AF ) EF ? AD( AF ? EF ) 其中真命题的代号是 二.解答题 (写出所有真命题的代号) .

??? ? ????

???? ??? ?

???? ??? ? ??? ?

???? ??? ? ??? ?

A

B

11.已知向量 a = 3e1 ? 2e2 , b = 4e1 + e2 其中 e1=(1,0) ,e2=(0,1) ,求: (1)a·b,|a+b|; (2)a 与 b 的夹角的余弦值.

12. 已知 | a |? 2 | b |? 3 , a与b 的夹角为 60 , c ? 5a ? 3b , d ? 3a ? k b ,当当实数 k 为何值时, ⑴c ∥d
o

⑵c ? d

13.如图,ABCD 为正方形,P 是对角线 DB 上一点,PECF 为矩形, 求证:①PA=EF; ②PA⊥EF.

?5 ? 14. △ABC 的顶点为 A(31) 1? .求: ,,B( x, ? 1),C (2,y) ,重心 G ? , ?3 ? (1) AB 边上的中线长; (2) AB 边上的高的长.

(OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,试判断△ABC 的形状. 15.已知 O 为△ABC 所在平面内的一点,且满足 (OB ? OC )?

??? ? ????

??? ? ????

??? ?

1) OA ? (1,, 7) OB ? (5, 1) ,设 C 是直线 OP 上的一点,其中 O 为坐标原点. 16.已知 OP ? (2,,

??? ?

??? ?

??? ?

CB 取得最小值时向量 OC 的坐标; (1)求使 CA?
(2)当点 C 满足(1)时,求 cos∠ACB.

??? ? ??? ?

????

第十五天 一、填空题: 1. tan? ?

? 2? ? ? 的值为 ? 3 ?

2. 化简

2 sin 2? cos2 ? = ? 1 ? cos 2? cos 2?

3.已知 sin ? ? 4.已知 cos? ?

3 ,? 为第二象限角,且 tan(? ? ? ) ? 1, 则 tan ? 的值是 5




1 ,? ? (0, ? ), 则 cos( ? ? 2? )等于 3
? ?

5.已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象关于点 ??
? ?

对称(填上你认为正确的一个即可,不必写上所有可能的形式) . 6.已知向量 a ? (3, 0), b ? (k ,5), 且向量a与b 的夹角为

?

?

3? ,则实数 k= 4



7.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的 心.

1 2 ? ? ? ? ? 9.设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos? ?
8.已知向量 a ? (1 ? sin ? ,1), b ? ( ,1 ? sin ? ), 且 a // b ,则锐角 ? 等于 10.设 a, b 为非零向量,下列命题中: ①| a ? b |=| a ? b | ? a与b 有相等的模; ②| a ? b |=| a |+| b | ? a与b 的方向相同; ③| a |+| b |>| a ? b | ? a与b 的夹角为锐角; ④| a ? b |=| a |-| b | ? | a |?| b |且a与b方向相反. 其中真命题的序号是 二、解答题: 11、已知 sin ? ? cos 2? ,? ? ( (将所有真命题的序号都填上)



?
2

, ? ), 求 tan?

12.已知 a ? (1, 2), b ? ( ?3, 2), 当 k 为何值时, (Ⅰ) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (Ⅱ) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时同向还是反向?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

13.已知向量 OA =(3, -4), OB =(6, -3), OC =(5-m,

-3-m),

(1)若点 A、B、C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值.

14.已知 A(3,0),B(0,3),C( cos? , sin? ) . (1)若 AC ? BC ? ?1, 求 sin(? ?

?
4

)的值;

| OA ? OC |? 13 , 且? ? (0, ? ),求OB与OC 的夹角. (2) O 为坐标原点,若

15.已知向量 a ? (cos

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ], 求 2 2 2 2 2

(1) a ? b及 | a ? b | ; (2)求函数 f ( x) ? a ? b ? | a ? b | 的最小值。

16. 已知向量 m ? (1,1),向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ;

3? , 且m ? n ? ?1. 4

(2)设向量 a ? (1,0),向量b ? (cos x, , sin x) ,其中 x ? R , 若 n ? a ? 0 ,试求 | n ? b | 的取值范围. 第一天

1.⑷. 2. {(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}. 3.(1) x x ? 3 ; (2) ( x, y ) x, y ? R, xy ? 0

?

?

?

?

4. x≠-1,0,3

5. a+b∈ \ A,a+b∈B, 6. ? 、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共 7 个. 7.(1) A=B; (2) B A. 8. a=3,b=9. 9. (1) ?,?,? 10.(1) ;(2) ? ,? ,? ,(3) ? 2 9 2 11.解:若 k=0,则 x= ,知 A 中有一个元素,符合题设;若 k≠0,当Δ =9-8k=0 即 k= 时,kx -3x+2=0 有 3 8 9 两相等的实数根,此时 A 中有一个元素.又当 9-8k<0 即 k> 时, 8 9 2 kx -3x+2=0 无解.此时 A 中无任何元素,即 A= ? 也符合条件,综上所述 k=0 或 k≥ 8 2 2 12.解:由补集的定义及已知有:a -2a-3=5 且|a-7|=3,由 a -2a-3=5 有 a=4 或 a=-2, 当 a=4 时,有|a-7|=3,当 a=-2 时|a-7|=9(舍),所以符合题条件的 a=4 13.B= ? ,即 m+1>2m-1,m<2 ? A 成立. B≠ ? ,由题意得
2

得 2≤m≤3∴m<2 或 2≤m≤3

即 m≤3 为取值范围.

14.解:因 P={x|x +x-6=0}={2,-3},当 a=0 时,Q={x|ax+1=0}= ? ,Q P 成立. 1 1 1 1 1 又当 a≠0 时,Q={x|ax+1=0}={- },要 Q P 成立,则有- =2 或- =-3,a=- 或 a= . a a a 2 3 1 1 综上所述,a=0 或 a=- 或 a= 2 3 ?? ? 4 ? 4( a ? 1) ? 0 15.设全集为 R,若两个方程均没有实数根时由 a 组成的集合为 A,则有 ? 1 ? 2 ? a ? 4 ,即 ?? 2 ? 16 ? 4(8 ? a ) ? 0 A ? ?a 2 ? a ? 4?,从而 R A= ?a a ? 4或a ? 2? 即实数 a 的取值范围为 ?a a ? 4或a ? 2? 。 16.因 N 表示自然数组成的集合,包括 0,所以当 n ? 0 时, 2n ? 1 ? ?1 不合题意,说明学生甲的答案是错误的,应将 n ? N 改为 n ? N ? 即可。而学生乙的答案正确。 第二天 1.A∩B={5,8}, A∪B={3,4,5,6,7,8}2. (1)A∩B={x|0≤x<5}; (2)A∪B={x|x>-2} 3. A∩B={ (1, 1) }, A∪B={ (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) }4. A∩B={ (1, -1) }, B∩C= ? 5.( A ? C ) ? ( B ? C )

?y ? x2 ?1 6. ?(0,1), (1,2)?由方程组 ? 得之。 7。1 ?y ? x ?1 8. A ? B 为能被 2 或 3 整除的数组成的集合, A ? B 为能被 2 和 3(也即 6)整除的数组 成的集合.显然集合 A 中元素的个数为 50,集合 B 中元素的个数为 33,集合 A ? B 中元素 的个数为 16,可得集合 A ? B 中元素的个数为 50+33-16=67. 9.在数轴上标出区间,得: N ? {x | ?3 ? x ? 0 或 2 ? x ? 3} ;
10.(1) (2) (4) 。其中命题(3)不符合集合的确定性。 11.解:由题 U={x|x 是小于 9 的正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8} 那么由 A={1,2,3},B={3,4,5,6}得 A∩B={3} 则 CU(A∩B)={1,2,4,5,6,7,8} 2 12.解:因(CUA)∪B={1,3,4,5}则 B ? {1,3,4,5}且 x +px+12=0 2 即 B={3,4} ∴{1,5} ? CUA 即{2,3,4} ? A 又 x -5x+q=0,即 A={2,3} 故 p=-(3+4)=-7,q=2×3=6 13.解:①因 A={x|a≤x≤a+3},B={x|x-1 或 x>5}又 A∩B= ? ,故在数轴上表示 A、B 则应有 a≥-1,a+3≤5 即-1≤a≤2 ②因 A∩B=A,即 A ? B 那么结合数轴应有 a+3<-1 或 a>5 即 a<-4 或 a>5 14.当 m ? 0 时, x ? ?1 ,即 0 ? M ;

1? 1 1 ? ,且 m ? 0 ∴ m ? ? ,∴ CU M ? ?m | m ? ? ? 4? 4 4 ? 1? 1? 1 ? ? 而对于 N , ? ? 1 ? 4n ? 0, 即 n ? ,∴ N ? ?n | n ? ? ,从而 (CU M ) ? N ? ? x | x ? ? ? 4? 4? 4 ? ?
当 m ? 0 时, ? ? 1 ? 4m ? 0, 即 m ? ?

15.由 A ? B ? ? 知,当 A=Φ 时, ? ? 1 ? 4(m ? 2) ? 0 ,得 m ? ?

7 ,符合题意; 4

?? ? 0 7 ? 当 A ? ? 时,由 ? x1 ? x 2 ? ?1 ? 0 ? ?2 ? m ? ? ,综上所述, m ? ?2 。 4 ?x x ? m ? 2 ? 0 ? 1 2
16. 由 A∩B={ a1 ,a 4 }, 且 a1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 .所以只可能 a1 = a1 , 即 a1 =1. ( 2 ? i ? 3) , a 2 =3 或 a 3 =3. Ⅰ. a 3 =3 时, a 2 =2,此时 A={1,2,3,9, a 5 },B={1,4,9,81, a 5 }. 因 a 5 ? a 5 ,故 1+2+3+9+4+ a 5 +81+ a 5 =256,从而 a 5 + a 5 -156=0,解得 a 5 =12. Ⅱ. a 2 =3 时,此时 A={1,3, a 3 ,9, a 5 },B={1, 9, a 3 , 81, a5 }. 因 1+3+9+ a 3 + a 5 +81+ a 3 + a5 =256,从而 a5 + a 5 + a 3 + a 3 -162=0. 因为 a 2 < a 3 < a 4 ,则 3< a 3 <9. 当 a 3 =4、6、7、8 时, a 5 无整数解. 第三天
1 1 1.⑶;2. (-?, - ) ? (- ,1] ;3.π +1;4. (??,?1) ? (?1,0) ? (0,??) , (??,0) ? (0,??) 2 2 5.3p+2q; 6。 a ≤ ?3 7.从上表知: g (1) ? 3 ? f [ g (1)] ? f (3) ? 1;
2 2 2 2 2
2

由 a1 + a 4 =10, 得 a 4 =9.且 a 4 =9= a i

2

2

2

2

2

2

从 上 表 知 : f [ g (1)] ? 1, f [ g (2)] ? 2, f [ g (3)] ? 1 , 而 g[ f (1)] ? 3, g[ f (2)] ? 1, g[ f (3)] ? 3 , 所 以 满 足

f ?g ?x ?? ? g ? f ?x ?? x 的值为 x ? 2 。
9。 (1) (2) (3)

8.由 f ( x) ? ( x ? ) 2 ?

10. (a * b) ? c ? (a ? b) ? c ;11. (1)它是偶函数; (2)略; (3) [?1,0] 和 [1,??) 12. (1)设 1 ? 2 x ? t , t ? 0 , x ? 1 (1 ? t 2 ) ,原式等于 1 (1 ? t 2 ) ? t ? ? 1 (t ? 1) 2 ? 1 ,故 y ? 1 。 2 2 2

1 2

9 9 得 [ ? , 4] 。 4 4

10 2 1 得函数的值域为 (2, ] 13.由 ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? a ? 1 得 0 ? a ? 。 1 3 3 3 (x ? )2 ? 2 4 3 3 3 3 3 3 14.当 0 ? x ? 1 时, y ? x ,即 y ? ? x ? 1 ;当 1 ? x ? 2 时, y ? ? x ? 3 ,即 y ? ? x ? 1 ,综上所述, 2 2 2 2 2 2 3 3 15 15. y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2)。 16 2 2 2 2 16.解:令 x ? y 得: f ( x) ? g ( y) ? g (0) . 再令 x ? 0 ,即得 g (0) ? 0,1 . 若 g (0) ? 0 ,令 x ? y ? 1 时,得 f (1) ? 0 不合题意,故 g (0) ? 1 ; g (0) ? g (1 ? 1) ? g (1) g (1) ? f (1) f (1) ,即 1 ? g 2 (1) ? 1 ,所以 g (1) ? 0 ;那么 g (?1) ? g (0 ? 1) ? g (0) g (1) ? f (0) f (1) ? 0 , g (2) ? g[1 ? (?1)] ? g (1) g (?1) ? f (1) f (?1) ? ?1.
(2)由 y ? 2 ?

1 ? 2? x ? x ?1
2

第四天 1 . ? 9a 7.
1

2.-23 8。 (0,1]

3 。 a 3 ? a 3 ? 3a

4 。 {x | 2 ? x ? 5或x ? 5}

5 . (0,1) ;

6 . (2 ,- 2) ;

5 ?1 2

9。奇函数,在 R 上为增函数
2

10.y 轴, 向下平移 4 个单位长度.
2 2

11. a 3

12. (1)原不等式可化为 2 x ? 3 ? ? x ? 5 ,解集为 x ? (? ,??) ;

2 3

(2)因 a ? 2a ? 3 ? (a ? 1) ? 2 ? 1 ,所以原不等式可化为 x ? 2 ? 3 ? 2 x ,解集为 x ? (??, ) 。

5 3

1 1 1 3 1 1 ? x ? 1 ? 4 ? x ? 2 ? x ? 1 ? 2 ?2 x ? 1 ? (2 ? x ? ) ? , ∵x ? [-3,2], ∴ ? 2 ? x ? 8 .则当 2-x= ,即 x=1 x 2 4 2 4 4 2 3 -x 时,f(x)有最小值 ;当 2 =8,即 x=-3 时,f(x)有最大值 57。 4
13: f(x)=

14.解: y ? a

2x

1 ? 2a x ? 1(a ? 1) , 换元为 y ? t 2 ? 2t ? 1( ? t ? a) ,对称轴为 t ? ?1 .当 a ? 1 ,t ? a ,即 x=1 a
x

时取最大值,解得 a=3 (a= -5 舍去). 15.解: (1)常数m=1 (2)当k<0时,直线y=k与函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象无交点,即方程无解; 当k=0或k ? 1时, 直线y=k与函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象有唯一的交点, 所以方程有一解;
x

当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象有两个不同交点, 所以方程有两解。 16.解:(1)是奇函数.(2)值域为(-1,1). x1 x2 x1 x2 a x1 ? 1 a x2 ? 1 (3)设x1<x2,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x 。= (a ? 1)( a ? 1) ? (a ? 1)( a ? 1) ? x x x a 1 ?1 a 2 ?1 (a 1 ? 1)( a 2 ? 1)
x

∵a>1,x1<x2,∴a <a . 又∵a +1>0,a 函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 第五天 1. y ? x
5z

x1

x2

x1

x2

+1>0,∴f (x1)-f (x2)<0即f (x1)<f (x2).

2. 22

7. 0 ? b ? a ? 1

a?b 1 . 4. lg 2 . 5. x ? 1 5 b 8. (10, 9。 a ? b ? c 10. b < a < c ? ?)
3.

6. f ?

?1? ?1? ? ? f ? ? ? f (2) ?4? ? 3?
y y = 1 O x

lg 35 5 ; 11. (1)原式= log 2 2 3 ? log 2 4 5 ? 3 ? 10 ? 13 ; (2)原式= 1 lg 100 ? 2 ; (3)原式= ? 5 5 lg 3 2 2
?5 ? 4 ? 0 7 (4)解法一:原式= lg[14 ? ( ) 2 ? 7 ? 18] ? lg 1 ? 0 ;12.由 ? x ? 1 ? 0 得 x ? (?1,0) ? (0, log 4 5) ? 3 ?x ? 1 ? 1 ? 13.作出该函数的图象,可知 x 0 ? (??,?1) ? (9,??) 。
x

14. 2008

x ? y4 ? 4 ?1 0 x y ?5 15.解: 由已知, 得 ( x ? 4)( y ? 1) ? 5(2 xy ? 1) , 即xy ?
2 2 2 2 2 2

x y ?9 ) ? (x ? 4y ? 4x y) 0 ? , 即 ( x y ?6
2 2 2 2



即 ( xy ? 3) ? ( x ? 2 y ) ? 0 .? ?
2 2

? xy ? 3 ? 0, y 1 y 1 1 故 ? .? log8 ? log8 ? ? . x 2 3 ? x ? 2 y ? 0, x 2

16.(1)当 a ? 1 时,定义域为 (0,??) ,当 0 ? a ? 1 时,定义域为 (??,0) ; (2)当 a ? 1 时, f ( x) 在 (0,??) 递增;当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (??,0) 上递增. 第六天

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 )? 5. [ ,?? ) 6. 0 ? m ? 1 7.12 2 2 2 1 ln 1 1 1 2 2 2 2 8. f (? x) ? x lg(? x ? x ? 1) ? ? x lg( x ? x ? 1) ? ? f ( x) ,奇函数.9. g ( g ( )) ? g (ln ) ? e 2 ? 10。 (3) 2 2 2 11. (1) 定义域为 R, 值域为 [0,??) ; (2) 定义域为 (??,0) ? (0,??) , 值域为 (0,??) ; (3) 定义域为 (0,??) , 值域为 (0,??) 。
1.4 2. y ? x 3.(3)(4) 4. f (
6

12. 解: (1)?函数y ? x 11在(0,??)上是增函数且0 ? 0.6 ? 0.7 ? ?? ? 0.611 ? 0.7 11 (2)函数 y ? x 在(0,??) 上增函数且 0 ? 0.88 ? 0.89 ? 0.88 3 ? 0.89 3
5 3
5 5 5 5 5 5

6

6

? ?0.88 3 ? ?0.89 3 , 即? (?0.88) 3 ? (?0.89) 3 .

13.解: 显然 f (? x) ? (? x) 3 ? ? x 3 ? ? f ( x) ,奇函数;令 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x13 ? x2 3 ? ( x1 ? x2 )( x1 2 ? x1 x2 ? x2 2 ) , 2 2 3 其中,显然 x1 ? x 2 ? 0 , x1 ? x1 x 2 ? x 2 = ( x1 ? 1 x2 ) 2 ? 3 x2 2 ,由于 ( x1 ? 1 x2 ) 2 ? 0 , x2 2 ? 0 , 4 2 4 2 1 3 2 2 且不能同时为0,否则 x1 ? x 2 ? 0 ,故 ( x1 ? x2 ) ? x2 ? 0 .从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 . 所以该函数为增函数. 2 4 14. (1) 图略; (2)由图象观察得:0<a<

1 2

3 b 15. 解: (1)设 f (x)=x , 将 x=3, y= 27 代入,得 a= , f ( x ) ? x 4 ; 设 g(x)=x , 将 x=-8, y=-2 代 4
a

3

4

1 入,得 b= , g ( x ) ? x 3 ; (2)f (x)既不是奇函数,也不是偶函数;g(x)是奇函数;(3) 3
(0,1) 16.证明: (1)令 y ? x ? 0 得 f ( x ) ? [ f ( x)] ? 0 ,所以图象恒在第一象限;
2 2

1

令 x ? y ? 1 得 f (1) ? f (1) ,若 f (1) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 与题设矛盾,所以 f (1) ? 1 ,即 过定点(1,1) ;
2

(2)令 y ?

1 1 得 f ( x) f ( ) ? f (1) ? 1 ; x x

(3)设 x1 , x 2 ? (0,??), 且 x1 ? x 2 ,因 f ( x 2 ) ? f ( 当 f( 当 f(

x2 x ? x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) , x1 x1

x2 ) ? 1 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,此时, f ( x) 在 (0,??) 上单调递增, x1

x2 ) ? 1 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,此时, f ( x) 在 (0,??) 上单调递减。 x1
2. (0,1) 3. m ? a ? b ? n 4.2 5.1 6.a≤-4 12. ? 7.1 8. ( 2,3)

第七天 1. (??,?1) ? (3,??) 9. 8 10. 2

11.若 a ? 0 或 a ?

13. (1) [?2,0], [0,1];
2 3

1 1 1 时, x ? 2 ;若 a ? 0 且 a ? 时, x ? 或 2 . 2 2 a (2) [0.01,1], [1,100 ]
2 2

? m ? ?2 ,x?0 ?n ? 2

14.因 ? ? 4(m ? 3) ? 4(2m ? 14) ? 4(m ? 4m ? 23) ? 4(m ? 2) ? 76 ? 0 ,所以原函数必存在两个不相等的零点。 15. 设 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,先证其在 R 上单调递增 , 再由当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时

f ( x) ? 0 ,所以方程 x 3 ? 2 x ? 3 ? 0 只有一个实数根 1. 1 16. (1) 当 a=0 时,由 3b+6c=0 得 x ? ; 2 (?2a ? 3b) 4 1 (2)证明: 因 ? ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? 4a ? 所以原方程必有两个相异的实根; ? b 2 ? 2ab ? a 2 ? (b ? a) 2 ? a 2 ? 0 , 3 6 3 ? f (0) ? 0 1 (3) f(0)= c, f(1)=a+b+c= a ? c ,当 c<0 时, ? ,所以有一根, x0 ? (0,1) ; 3 ? f (1) ? 0 1 a b a 1 2 当 c>0 时,f(0)>0, f ( ) ? ? ? c ? ? ? 0 所以有一根 x0 ? (0, ) ;当 c=0 时,有一根 x ? ? (0,1) 2 4 2 12 2 3

第八天 1. ? ? ? ? 90° ? k · 360° ,k ? Z 3. 第三象限角 6. ?
π π? ? ?? 2kπ ?? 2kπ, 2kπ ? ? (k ? Z) 2. ? 2kπ ? , 2 2? ? ?? 0, 2? 4. ??2, 5. 第三角限角

3 2 35π 3 7. cm 8. ? 9. 6 或 ? 10. ①④ 13 2 13 3 4 · 360° ? 30° ? ? ? n · 360° ? 150° ,n ? Z? ; 11.解:对于集合 P , k ? 2n 时, P ? ?? | n
· 360° ? 210° ? ? ? n · 360° ? 330° ,n ? Z? ? ?? | n · 360° ? 150° ? ? ? n · 360° ? 30° ,n ? Z? ; k ? 2n ? 1 时, P ? ?? | n
· 360° ? 30° ? ? ? k · 360° ? 60° ,k ? Z? ??? | k · 360° ? 60° ? ? ? k · 360° ? 30° ,k ? Z? 由图易知: S ? P ? ?? | k

12. 解:设扇形半径为 R ,则扇形的弧长为 C ? 2R .

1 C C ? ?C ? C2 C C ? 2R ? ∴ S ? (C ? 2 R· ) R ? ? R 2 ? R ? ? ? R ? ? ? ? ? ,∴ 当 R ? ,即 ? ? . ? 2 时,扇形有最大面积 2 2 4? ?4? 16 4 R ? 1 1 12 13.解: (1) (? ? (0,π)) , ∴sin? ? 0 , cos? ? 0 . ∵sin ? ? cos? ? , ∴(sin ? ? cos? )2 ? 1 ? 2sin ? · cos? ? . ∴sin ? · cos? ? ? ? 0 . 5 25 25 1 ? 4 3 4 3 4 ?sin ? ? cos ? ? , 联合 ? .∴sin ? ? ,cos? ? ? .∴ tan ? ? ? . 5 整理可得 25sin 2 ? ? 5sin ? ? 12 ? 0 .解得 sin ? ? ,或 sin ? ? ? (舍去) 5 5 5 5 3 ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, ?

2

2

24 7 ? . 25 5 1 ? 12 ? 1 37 7 (3) sin3 ? ? cos3 ? ? (sin ? ? cos? )(sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? . ? · cos? ) ? ?1 ? ? ? ? 5 ? 25 ? 5 25 125

(2)∵sin ? ? cos ? ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2sin ? · cos ? ? 1 ?

14.证明:左边 ?
?

1 ? sin ? ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? ? ? 1 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? ?

1 ? (1 ? sin ? ? cos ? ) cos ? (1 ? cos ? ? sin ? )sin ? ? ? ? 1 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 2 2 ? 1 cos ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? cos ? ? ? 1 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? ?

(cos ? ? 1 ? sin ? ? sin ? ? 1 ? cos ? ) 1 ? sin ? ? cos 2(cos ? ? sin ? ) ? ? 右边.故原式成立. 1 ? sin ? ? cos ? 1 ?1? ? 4? ?π? ?4 ? 15.解: f ? ? ? f ? ? ? cos ? ? ? f ? ? 1? ? 1 ? ? 3 3 3 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1

1 π 1 1 ?1? f ? ? ? 1 ? ? ? cos ? ? ? ? 0 3 2 3 2 2 ? ?

2 2 1 2 2 1 sin x ? cos 2 x tan x ? 2 2 1 4 4? 7 16.(1) sin x ? cos 2 x ? 3 ?3 2 2 2 3 4 sin x ? cos x tan x ? 1 12 2 2sin x ? sin x cos x ? cos 2 x 2 tan 2 x ? tan x ? 1 7 2 2 ? ? (2) 2sin x ? sin x cos x ? cos x ? sin 2 x ? cos 2 x tan x ? 1 5
第九天 1. 原点对称
? 1? 8. ?0, ? ? 2?

3 ?π ? 2. ? ? kπ, π ? kπ ? (k ? Z) 4 4 ? ?

3. 向右平移

π π 个单位 4. ? ? ? ? 8 2

5. ?

6. 2?

7. x ?

?
12

9. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ?,x ? R 3?

10. y ? ? cos 2 x 11.图略.交点 2 个.

? π ? 2π ? ? 2π ?π ? 12.解: (1)由已知条件可知: A ? 3 , T ? 2 ? ? ? ? ? ? ? π .∴? ? 0 ? 代入上 ? 2 ,∴ y ? 3sin(2 x ? ? ) .把点 ? , T ? 10 ? ?10 ? 5 ? ? 4 ? π π π 4π ? 式 2 ? ? ? ? kπ , ? ? kπ ? .又∵ 0 ? ? ? ,∴ 令 k ? 1 ,得 ? ? .∴ 所求解析式为 y ? 3sin ? 2 x ? π ? ; 5 ? 3 5 10 2 ? 4 π kπ 3π (2)由 y ? sin x 的对称轴方程可知 2 x ? π ? kπ ? ,解得 x ? ? ,k ? Z . 5 2 2 20 3(sin x ? 2) ? 5 5 4 4 ? 4? 13.解: 由y? . 当n 当n i s x 1? 时,ymax ? , i s x? 1 ? 时,ymin x ? . ∴ 函数的值域为 ? ?2, ? . ? 3? 3 3 sin x ? 2 sin x ? 2 ? 3? 4 π 1 1 2 2π 14.解:由已知条件可得 π ? ? T , A ? ,∴T ? π ? ,∴? ? 3 . 2 9 9 2 3 ? 1 ? π? π π π π π 当 x ? 时, ? x ? ? ? 3 ? ? ? ? 2kπ ? ,又∵ ? ? ,∴? ? .∴ 函数表达式为 y ? sin ? 3x ? ? . 2 ? 6? 9 2 6 9 2 2π π 3 ?π? ?π? 15.解:由条件得 ① ? ? π ,∴k ? 2 .由 f ? ? ? g ? ? ,得 a ? 2b k k 2 ?2? ?2? π? 1 π? 1 ?π? ?π? ? ? 由 f ? ? ? ? 3g ? ? ? 1 ,得 a ? 2 ? 2b ②∴ 由①②解得 a ? 1 ,b ? .∴ f ( x) ? sin ? 2 x ? ? , g ( x) ? tan ? 2 x ? ? . 3? 2 3? 2 ?4? ?4? ? ?

π π π ? kπ π kπ 5 ? ∴ 当 ? ? kπ ? 2 x ? ? ? kπ , k ? Z 时, g ( x ) 单调递增.∴ g ( x) 的单调递增区间为 ? ? , ? π ? k ? Z . 2 3 2 ? 2 12 2 12 ?

16.解:令 cos x ? t , t ?[?1,1] ,则 y ? 2t ? 2at ? (2a ? 1) ,对称轴 t ?
2

a , 2

a 1 ? ?1 ,即 a ? ?2 时, [?1,1] 是函数 y 的递增区间, ymin ? 1 ? ; 2 2 a 1 1 当 ? 1 ,即 a ? 2 时, [?1,1] 是函数 y 的递减区间, ymin ? ?4a ? 1 ? , 得 a ? ,与 a ? 2 矛盾; 8 2 2 2 a 1 a 当 ?1 ? ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymin ? ? ? 2a ? 1 ? , a 2 ? 4a ? 3 ? 0 得 a ? ?1, 或 a ? ?3 , 2 2 2 ? a ? ?1,此时 ymax ? ?4a ? 1 ? 5 。
当 第十天

m?n 4 6.1 7.4 8. ? 9. a ? c ? b m?n 5 sin(800 ? 150 ) ? sin150 sin100 sin 800 cos150 cos150 ? ? ? 2? 3 10. 2 ? 3 . sin(150 ? 100 ) ? cos150 cos800 sin150 cos100 sin150 4 1 0 11. ? 12. 13. 两式平方和得 25 ? 24 sin(A ? B) ? 37 ,从而 A ? B ? 30? 或 150 ,但若 A ? B ? 30? ,则 2 5 1 ? cos A ? ,从而与 4sinB+3cosA=1 矛盾,所以 C= 2 6 tan ? ? tan ? 5 3? 14.(1)由条件得不妨 tan? ? 2, tan ? ? 3 ,从而∴ tan(? ? ? ) ? ? ? ?1 且 (? ? ? ) ? (0, ? ) ,∴ ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 6 4
1. 0 2. ? tan x 3. ? 2 4. 5 5. (2)由(1)得 cos? ?

1 5

, sin ? ?

2 5

, cos ? ?

1 10

, sin ? ?

3 10

,所以 cos(? ? ? ) ?

7 2 10

2 log3 x ? 3 log 1 x 5 log3 x ? tan ? ? tan ? 3 ? ? 15.解:∵ α -β = ,∴ tan(α -β )=1,又 tan(α -β )= =1 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2 log x ? 3 log x 4 1 ? 6 log3 x 3 1
3

∴ 6log 2 3 x+5log3x-1=0 ? x= 16.由条件得 cos ? ?

1 或 x= 6 3 3

2 2 5 7 2 5 1 , cos ? ? ,sin ? ? ? tan ? ? 7, tan ? ? ??、? 为锐角,? sin ? ? 10 5 10 5 2 1 7? tan ? ? tan ? 2 ? ?3 (1) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2 4 1 7? 2? 2 tan ? 3 ? ?1 2 ? 4 ? tan(? ? 2? ) ? tan ? ? tan 2? ? (2) tan 2? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 ) 2 3 1 ? tan ? ? tan 2? 1 ? 7 ? 4 2 3 3? 3? ??、? 为锐角,? 0 ? ? ? 2? ? ?? ? 2? ? 2 4
第十一天 1.最小正周期为 π 的奇函数 8. sin 2 x ? cos( 2. ?

? ? 7 3 9. ?3 , 10.以 4? 为周期的偶函数 ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 1 ? 2sin 2 ( ? x) ? 2 2 4 4 25 ? tan A ? tan B 11.证明:? A ? B ? ,? tan( A ? B) ? ? 1, 得 tan A ? tan B ? 1 ? tan A tan B, 4 1 ? tan A tan B 1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B ? 2 ?(1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2

?

7 25

3. ?

24 7

4.

11 18

5. 2008

6.

?

7. ,

1 7 3 9

? ? 2? 4? sin cos cos cos 9 9 9 9 ? 1 即原式 ? log 1 ? ?3 2 ? 8 8 sin 9 4 2 3 sin ? 3 2 13.由条件得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ,从而 tan ? ? ?? , 5 5 cos? 4 3 4 ? ? tan? ? tan 2? 1 2 tan ? ?1 4 4 3 ? 7 而 tan ? ? ? 得 tan 2? ? ? ? ? ? ,所以 tan(? ? 2? ) = 2 3 4 1 1 ? tan? tan 2? 24 2 3 1 ? tan ? 1 ? (? )( ? ) 1? 4 3 4 0 0 0 0 0 sin 6 cos 6 cos12 cos 24 cos 48 0 0 0 0 14.解: (1)原式 ? sin 6 cos12 cos 24 cos 48 ? cos 60 1 1 sin120 cos120 cos 240 cos 480 sin 240 cos 240 cos 480 ?2 ?4 0 cos 6 cos 60 1 1 1 sin 480 cos 480 sin 960 cos 60 1 ?8 ? 16 ? 16 ? 0 0 0 cos 6 cos 6 cos 6 16 0 0 1 ? cos 40 1 ? cos100 1 1 1 1 ? ? (sin 700 ? sin 300 ) ? 1 ? (cos1000 ? cos 400 ) ? sin 700 ? (2)原式 ? 2 2 2 2 2 4 3 1 3 ? ? sin 700 sin 300 ? sin 700 ? 4 2 4

? 2? 4? ? 2? 4? 12.解:原式 ? log 2 (cos cos cos ), 而 cos cos cos ? 9 9 9 9 9 9

1 3 1 3 5 1 π? 5 ? cos 2 x ? sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? sin ? 2 x ? ? ? , 6? 4 2 2 4 4 4 2 ? π π π 7 y 取最大值,只需 2 x ? ? ? 2kπ(k ? Z) ,即 x ? kπ ? (k ? Z) ,? ymax ? . 6 4 6 2 ? π ? 7 ?当函数 y 取最大值 时,自变量 x 的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z ? . 6 4 ? ?
15.解: y ? 16. 解 : ( 1 ) ? f ( x) ? cos(2 x ?

?
3

) ? 2sin( x ?

?
4

) sin( x ?

?
4

) ?

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

1 3 ? 2? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ,∴周期T ? ?? 2 2 6 2 ? ? ? ? 5? ? ? ? ( 2 ) ? x ? [? , ],? 2 x ? ? [? , 在 x? ) 区 间 [? , ] 上 单 调 递 增 , 在 区 间 ] 因 为 f ( x) ? sin( 2 6 12 3 12 2 6 3 6 ? 3 ? 1 ? ? ? ? f( )? , [ , ]上单调递减,所以当 x ? 时, f ( x) 取最大值 1,又 ? f (? ) ? ? 12 2 2 2 3 2 3 3 3 ? ? ? ,1] ,所以 函数 f ( x) 在区间 [? , ] 上的值域为 [ ? ∴当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 2 2 12 12 2 ?
第十二天 1. 0 8. 2. BC 3.2 4.②③。 5. | a |?| b | 6. 10,6. 7、 a 、 b 方向相反。 9.正三角形.由条件得 OA ? OB ? CO ? OA ? OB ,
0

4 3 、4、 30 ? 、 60 ? 、 4 3

从而由 OA, OB 组成的平行四边形是有一角为 60 的菱形,得之。 11.略. 12.提示:可先证 AB ? AD ? AE ? AC 。

10.圆.

13.(1)由 BD ? BC ? CD ? 5a ? 5b ? 5 AB 得 A、B、D 三点共线; (2)由

k 1 ? 得 k ? ?1 时,两向量共线。 1 k

14.设 又



则 ,∴ ∴ 、 、 共线.

15. 解:设 AD 表示船垂直于对岸的速度, AB 表示水流的速度,以 AD,AB 为邻边作平行四边形 ABCD,则 AC 就是 船实际航行的速度,在 Rt?ABC 中, | AB |? 2 , | BC |? 2 3 因为 tan ?CAB ? 所以 | AC |?

| AB | 2 ? | BC | 2 ? 4

2 3 ? 3 ? ?CBA ? 60 ? 2 答:船实际航行的速度的大小为 4km / h ,方向与水流速间的夹角为 60 ?
16.连 AO,因点 O 是 BC 的中点,所以 AO ? 1 ( AB ? AC ) 2 1 1 1 ? (m AM ? n AN ) ,得 MO ? AO ? AM ? ( m ? 1) AM ? n AN , 2 2 2

1 1 m ?1 n 又 MN ? AN ? AM ,且 M、O、N 三点共线,所以 2 ? 2 ,从而 m ? n =2。 ?1 1
第十三天 1.(-3,-5) 7. ? 2. (0, 0) 3. ?
2 3

4. x ? 1。 5. 9. ?

? ?2
10. ②

6.C 的坐标为(1,6) ;中点 M 的坐标为(0,1) 。

??? ? 11.解:设点 P 的坐标为 ( x,y) ,则 AP ? ( x ? 2,y ? 3) , ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? AB ? ? AC ? (5 ? 2, 4 ? 3) ? ? (10 ? 2, 8 ? 3) ? (31) , ? ? (8, 5) ? (3 ? 8?, 1 ? 5? ) .∵ AP ? AB ? ? AC ,∴( x ? 2,y ? 3) ? (3 ? 8?, 1 ? 5? ) .

??1 ? ?1 。 ?? 2 ? 2

8. C 的坐标为 2,-7) 。

2 3

? x ? 2 ? 3 ? 8?, ?5 ? 8? ? 0, 4 5 即? 解得 ? 即当 ? ? ? ? ? 时,点 P 在第二象限内. 5 8 ? y ? 3 ? 1 ? 5?. ? 4 ? 5? ? 0. ??? ? ??? ? AP ? ? ?3 . 12.设 P( x,y ) ,∵ AP ? 3 PB , P 是 AB 的外分点,∴ ? ? ??? PB ?2 ? (?3) ? 4 ?3 ? (?3) ? 1 ∴x ? ?7, y? ? 3 .∴P 点的坐标为 (7, 3) . 1 ? (?3) 1 ? (?3)

5 ? ?m ? 9 ?? m ? 4 n ? 3 13.(1)由题意得 ?3,2? ? m?? 1,2? ? n?4,1? ,所以 ? ,得 ? 。 8 ? 2m ? n ? 2 ?n ? 9 ? ? ? ? ? 16 (2) a ? kc ? ? 3 ? 4k , 2 ? k ? , 2b ? a ? ? ?5, 2 ? ,? 2 ? ?3 ? 4k ? ? ?? 5??2 ? k ? ? 0,? k ? ? ; 13

? BD ? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ? e1 ? 3e2 ? e1 ? 4e2
14.若 A,B,D 三点共线,则 AB与BD 共线,? 设 AB ? ? BD 即 2e1 由于 e1与e2不共线 可得:

?

?

? k e2 ? ? e1 ? 4? e2

2e1 ? ? e1 k e2 ? ?4? e2

故 ? ? 2, k ? ?8

15.设交点 M(x,y), 因 AC ? (8,?4), AM ? ( x ? 4, y ? 5) , 得

x?4 y ?5 x ?1 y ? 2 , 同理 , 联立得交点坐标为 (6, 4) 。 ? ? 8 ?4 10 4

16.以 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴直角坐标系.则 A(0,1) , C 3,3 ,

?

?

1 ? 3??- ? ? ? 1 3? ? 1 3? 2 ?? ? 4 ? ,设 OC ? ? OA ? ? OB , 即 3,3 ? ? ?1, ?- , ? ,得: ? ? B? ? , 0 ? ? , . ,所以λ +μ =6。 ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? ? 2 3 ? ? ? ? ? ? 3? ? ? 2 ?

?

?

第十四天 1. 7
A, B, D

2. 8 2

3. 6 4. ?3

5.

? 13 6. ?7 或 ?1

7.

5 74 75

? 10 6? 8. ? x x ? 且x ? ? ? 3 5? ?

9. ? 2

10.

a+b ?5 2 ; 11.解: (1)? a = (3, ? 2),b = (4, 1) . ? a ?b ? 12 ? 2 ? 10,
12.(2) cos ? a,b ??

a ?b a b
10 3 ? ( ?2) 2 4 2 ? 12
2

? ?
12.⑴若 c ∥ d 得 k

10 10 ? 221. 13 17 221
; ⑵若 c ? d 得 k

?

9 5

??

29 . 14

13.略.

?5 3 ? x ? 2 ? , ? ? x ? 0, ? 3 14.解:由题意可得 ? 3 解得 ? ∴ B(0, ? 1),C (2, 3) . ? y ? 3. ?1 ? 1 ? (?1) ? y . ? 3 ? ??? ? ? 1 ??? ? 37 ?3 ? ? (1)∵ AB 的中点为 D ? , ; 0 ? ,∴CD ? ? ? , ? 3 ? ,∴ AB 边的中线长 CD ? 2 ?2 ? ? 2 ? ???? ??? ? ??? ? ,, 2) AB ? (?3, ? 2) ,∴ 可找到与 AB 垂直的一个向量 b ? (?2, (2)∵ AC ? (?1 3) . ???? ???? b · AC 8 8 13 .∴ AB 边上的高的长为 . ∴ AC 在向量 b 方向上的投影为 ? b 13 13

(OB ? OC ? 2OA) 15.解:? (OB ? OC )?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? (OB ? OC )? [(OB ? OA) ? (OC ? OA)] ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? (OB ? OC )?( AB ? AC ) ? CB ?( AB ? AC ) ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 2 ???? 2 ? ( AB ? AC )?( AB ? AC ) ? AB ? AC ? 0. ??? ? ???? ? AB ? AC .? △ABC 为等腰三角形. ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ,, 7) OC ? (2t,t ), OB ? (5,1) , 16.解: (1)?点 C 在直线 OP 上,?可设 OC ? tOP ? (2t,t ) .? OA ? (1 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? CA ? OA ? OC ? (1 ? 2t, 7 ? t ) , CB ? OB ? OC ? (5 ? 2t, 1? t) . ??? ? ??? ? 2 ? CA? CB ? (1 ? 2t )(5 ? 2t ) ? (7 ? t )(1 ? t ) ? 5t ? 20t ? 12 ? 5(t ? 2) 2 ? 8 . ??? ? ??? ? ???? 2) ; CB 取得最小值 ?8 ,此时 OC ? (4, ?当 t ? 2 时, CA? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? CA? CB 4 2) 时, CA ? (?3,, 5) CB ? (1, ? 1) ,? cos ?ACB ? ??? (2)当 OC ? (4, 17 . ? ??? ? ?? 17 CA CB
第十五天

2 sin 2? cos2 ? ? ? tan 2? 3 3 2 cos2 ? cos 2? 3 1? 3 ?? ? 4 ? 7 。4. 7 0? 3.由条件得: tan ? ? ? ,所以 tan ? ? tan(? ? ? ? ? ) ? 5. ? , 3 ? ? 9 4 ? 1? 4 3? 3 10 2 2 6.由 3k ? 3 k ? 5 cos 得 k=-5 7.垂心 8. 45? 9. 10. ②④ 10 4
1.原式= tan(?? ?

?

) ? tan

?

? 3

2.原式=

1 ? sin ? ? cos 2? ,? sin ? ? 1 ? 2 sin 2 ?解得 sin ? ? 或 sin ? ? ?1(舍) 2 11. ? 3 sin ? 3 由? ? ( , ? ),? cos? ? ? , tan? ? ?? 2 2 cos? 3 ? ? ? ? 12.解: (Ⅰ) ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2), a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4) 。 ? ? ? ? ? ? 当 (ka ? b ) ? (a ? 3b ) ? 0 时,这两个向量垂直;由 (k ? 3) ? 10 ? (2k ? 2)( ?4) ? 0 解得 k ? 19 ,即 k ? 19 时, ka ? b ? ? 与 a ? 3b 垂直。 1 1? ? 1 ? ? (Ⅱ)由向量平行的坐标形式得 (k ? 3) ? (?4) ? 10(2k ? 2) ? 0 ,得 k ? ? ,于是 ? a ? b ? ? (a ? 3b) 。 3 3 3 1 所以当 k ? ? 时,两向量平行,平行时为反向。 3 13.解: (1)已知向量 OA ? (3,?4), OB ? (6,?3), OC ? (5 ? m,?(3 ? m)) 若点 A、B、C 能构成三角形,则这三点不共线, 1 ? AB ? (3,1), AC ? (2 ? m,1 ? m), 故知 3(1 ? m) ? 2 ? m .∴实数 m ? 时,满足的条件. 2 7 (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,则 AB ? AC , ∴ 3(2 ? m) ? (1 ? m) ? 0 ,解得 m ? . 4 14(1)? AC ? (cos? ? 3, sin ? ), BC ? (cos? , sin ? ? 3) ? AC ? BC ? (cos? ? 3) cos? ? sin ? (sin ? ? 3) ? ?1
得 cos ? ? sin ? ? 3(cos? ? sin? ) ? ?1 ? cos? ? sin ? ?
2 2

2 , 3

? sin(? ?

?
4

)?

2 3

| OA ? OC |? 13 (2)?

? (3 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 13,? cos? ?

?? ? (0, ? ),?? ?

1 3 ? C (? , ), 2 2 3 3 3 ??? ? ???? OB ? OC 3 ? ? 2 ? 设OB与OC的夹角为? 则 cos? ? ?? ? (0, ? ) ?? ? 即为所求。 3 2 6 | OB || OC | , sin ? ?

?

3 , 2

1 , 2 ??? ? ???? 3 3 ? OB ? OC ? , 2

15. | a ? b |?

? x ? [0, ],? cos x ? 0,? | a ? b |? 2 cos x 2
⑵ f ( x) ? cos 2 x ? 2 cos x ? 2 cos2 x ? 2 cos x ? 1 ? 2(cos x ? ) 2 ?
? x ? [0, ],? 0 ? cos x ? 1. 2

?

3 3 3 x (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos2 x 2 2 2 2

1 2

3 2

?

∴当且仅当 cos x ?

1 3 时, f ( x) 取得最小值 ? 2 2

? x ? y ? ?1 ? x ? ?1 ? x ? 0 ? ? n ? (?1,0) 或 n ? (0,?1) 16.解: (1)令 n ? ( x, y ) 则? ?? 或? 3? 2 2 2 ? x ? y cos ? ?1 ? y ? 0 ? y ? ?1 ? 4 ?
(2)? a

? (1,0), n ? a ? 0 ? n ? (0,?1) ,

n ? b ? (cos x, , sin x ? 1)

n?b

2 2 2 = cos x ? (sin x ? 1) = 2 ? 2 sin x = 2(1 ? sin x) ; ∵ ―1≤sinx≤1, ∴ 0≤

n ? b ≤2


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