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最新2019-2020人教A版高中数学必修二课件2.3.4平面与平面垂直的性质2优质课件_图文

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2.3.4 平面与平面垂直的性质

? 要点一平面与平面垂直的性质的应用
? 在运用面面垂直性质定理时必须注意:(1) 线在面内;(2)线垂直于两面的交线,由此 才可以得出线面垂直.在应用线面平行、 垂直的判定和性质定理证明有关问题时, 在善于运用转化思想的同时,还应注意寻 找线面平行、垂直所需的条件.

? 例1 如下图所示,P是四边形ABCD所在平 面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为 a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平 面垂直于底面ABCD.

? (1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面 PAD;
? (2)求证:AD⊥PB.
? 【分析】 ①ABCD是边长为a的菱形;
? ②面PAD⊥面ABCD.
? 解答本题可先由面⊥面得线⊥面,再进一 步得出线⊥线.

? 【证明】 (1)连接PG,由题知△PAD为正 三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD.
? 又平面PAD⊥平面ABCD, ? ∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥BG. ? 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°, ? ∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD. ? 又AD∩PG=G,∴BG⊥平面PAD.

? (2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD.
? 所以AD⊥平面PBG,所以AD⊥PB.
? 【规律方法】 证明线面垂直,一种方法 是利用线面垂直的判定定理,再一种方法 是利用面面垂直的性质定理,本题已知面 面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.

? 变式1 如图所示,α⊥β,CD?β,CD⊥AB, CE、EF?α,∠FEC=90°,求证:面 EFD⊥面DCE.

? 证明:∵α⊥β,CD?β,CD⊥AB,α∩β= AB,∴CD⊥α.
? 又∵EF?α,∴CD⊥EF. ? 又∠FEC=90°,∴EF⊥EC. ? 又EC∩CD=C,∴EF⊥面DCE. ? 又EF?面EFD,∴面EFD⊥面DCE.

? 例2 已知:如图,平面PAB⊥平面ABC,平 面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂 足.
? (1)求证:PA⊥平面ABC;
? (2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是 直角三角形.

? 【分析】 由面面垂直向线面垂直转化, 一般要作一条垂直于交线的直线,才能应 用性质定理.

? 【证明】 (1)在平面ABC内取一点D,作 DF⊥AC于F,
? ∵平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC, ? ∴DF⊥平面PAC. ? 又∵PA?平面PAC,∴DF⊥PA. ? 作DG⊥AB于G,同理可证DG⊥PA. ? ∵DG∩DF=D,∴PA⊥平面ABC.

? (2)连接BE并延长交PC于H. ? ∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH,又AE⊥
平面PBC, ? 故AE⊥PC,且AE∩BE=E, ? ∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB. ? 又∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,且PA∩PC
=P, ? ∴AB⊥平面PAC, ? ∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.

? 【规律方法】 已知两个平面垂直时,过 其中一个平面内的一点作交线的垂线,则 由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于 另一个平面,于是面面垂直转化为线面垂 直,由此得到结论:两个相交平面同时垂 直于第三个平面,则它们的交线也垂直于 第三个平面.证明(2)题的关键是要灵活利 用(1)题的结论.

? 变式2 如图,已知平面α⊥平面γ,平面β⊥
平面γ,α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b.求证: α∥β.

? 证明:如图,在平面α内作直线PQ⊥a,在 平面β内作直线MN⊥b,垂足分别为Q、N.

? ∵α⊥γ,α∩γ=a,∴PQ⊥γ.
? 同理MN⊥γ.∴PQ∥MN.
? ∵PQ?β,MN?β,
? ∴PQ∥β. ? 同理a∥β.∵PQ?α,a?α,PQ∩a=Q, ? ∴α∥β.

? 要点二线线、线面、面面垂直的综合应用 ? 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、
线面垂直、面面垂直的相互转化,每一种 垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一 垂直,最终达到目的,其转化关系如下:
线线垂直性判质定定定理理线面垂直性判质定定定理理面面垂直

? 例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面 PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底 面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°, N是PB的中点,过A、D、N三点的平面交 PC于M,E为AD的中点.求证:

? (1)EN∥平面PDC;
? (2)BC⊥平面PEB; ? (3)平面PBC⊥平面ADMN. ? 【分析】 (1)利用线面平行的判定定理证
明,证EN∥DM. ? (2)先证AD⊥平面PEB,再由AD∥BC证明.
? (3)转化为证明PB⊥平面ADMN.

? 【证明】 (1)∵AD∥BC,BC?平面PBC,
AD?平面PBC,
? ∴AD∥平面PBC. ? 又平面ADMN∩平面PBC=MN,∴AD∥MN. ? 又∵BC∥AD,∴MN∥BC.
? 又N是PB的中点,∴点M为PC的中点.

∴MN 綊12BC.
又 E 为 AD 的中点,∴MN 綊 DE. ∴四边形 DENM 为平行四边形.
∴EN∥DM.且 DM?平面 PDC. ∴EN∥平面 PDC.

? (2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形,且 ∠BAD=60°,
? ∴BE⊥AD. ? 又∵侧面PAD是正三角形,且E为中点, ? ∴PE⊥AD,
? ∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC,
? ∴BC⊥平面PEB.

? (3)由(2)知AD⊥平面PBE. ? 又PB?平面PBE,∴AD⊥PB. ? 又∵PA=AB,N为PB的中点,∴AN⊥PB. ? 且AN∩AD=A,∴PB⊥平面ADMN. ? 又∵PB?平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.

? 【规律方法】 运用平面垂直的性质定理 时,一般需作辅助线,基本作法是过其中 一个平面内一点作交线的垂线,这样把面 面垂直转化为线面垂直或线线垂直.

? 变式3 如图所示,在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱 形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直 于底面ABCD,

? (1)求证:AD⊥PB;
? (2)若E为BC边的中点,能否在棱上找到一 点F,使平面DEF⊥平面ABCD,并证明你 的结论.

? 证明:(1)设G为AD的中点,连接PG, ? ∵△PAD为正三角形,∴PG⊥AD. ? 在菱形ABCD中,∠DAB=60°, ? G为AD的中点,∴BG⊥AD. ? 又BG∩PG=G,∴AD⊥平面PGB. ? ∵PB?平面PGB,∴AD⊥PB.

? (2)当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平 面ABCD.
? 取PC的中点F,连接DE、EF、DF,
? 在△PBC中,FE∥PB.在菱形ABCD中, GB∥DE,
? 而FE?平面DEF,DE?平面DEF,EF∩DE =E.
? ∴平面DEF∥平面PGB.

? 由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG?平面PGB, ? ∴平面PGB⊥平面ABCD, ? ∴平面DEF⊥平面ABCD.