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2012届高三数学一轮复习 4-3 答案


2012 届高三数学一轮复习 4-3 答案
一、选择题 1. [答案] C [解析] 本题考查了换元法,一元二次函数闭区间上的最值问题,通过 sinx=t 换元转 化为 t 的一元二次函数的最值问题,体现了换元思想和转化的思想,令 t=sinx∈[-1,1], 5 y=t +t-1,(-1≤t≤1),显然- ≤y≤1,选 C. 4
2

π 6. [答案] A[解析] y=2sin(ω x+θ )为偶函数且 0<θ <π ,所以 θ = ,y=2cosω x, 2 ∴y∈[-2,2].又∵|x1-x2|min=π ,故 y=2 与 y=2cosω x 的交点为最高点,于是最小 2π 正周期为 π .即 =π ,所以 ω =2.故选 A. ω 7.[答案] C [解析] 本小题考查了任意角的三角函数的概念、三角函数的图像,结合物理学的角速 度问题,考查学科知识交汇点,解答此题的关键是找到点 P 运动后对应的坐标. 方法一:(排除法)当 t=0 时,P 点到 x 轴的距离为 2,排除 A、D,由角速度为 1 知,当

2. [答案] D[解析] 解法 1:由 y=sin2x+acos2x 可联想到形如 y=Asin(ω x+φ )的 π π 函数.又知其对称轴为 x=- ,故此直线必经过函数图像的波峰或波谷.从而将 x= 8 8 代入原式,可使函数取最大值或最小值.即- 2 2 2 + a=± a +1,∴a=-1. 2 2

π π 解法 2:由于函数图像关于直线 x=- 对称∴f(0)=f(- ),∴a=-1,故选 D. 8 4 3. [答案] A[解析] 本题考查三角函数的周期性、单调性以及诱导公式. π π π 选项 A:y=sin(2x+ )=cos2x,周期为 π ,在[ , ]为减函数; 2 4 2 π π π 选项 B:y=cos(2x+ )=-sin2x,周期为 π .在[ , ]为增函数; 2 4 2 π 选项 C:y=sin(x+ )=cosx,周期为 2π ; 2 π 选项 D:y=cos(x+ )=-sinx,周期为 2π .故选 A. 2 2π 4. [答案] D[解析] f(x)的周期 T= =2R,f(x)的最大值是 3,结合图形分析知 π

t= 或 t=

π 4

3π 时,P 点落在 x 轴上,即 P 点到 x 轴的距离为 0,故选 C. 4

? ? π? ? π ?? 方法二:由题意知 P?2cos?t- ?,2sin?t- ??, 4? 4 ?? ? ? ?
π ? ? π ?? ∴P 点到 x 轴的距离为 d=|y0|=2?sin?t- ??,当 t=0 时,d= 2;当 t= 时,d= 4 ?? 4 ? ? 0.故选 C. 8. [答案] D [解析] 解法 1:由两角和与差的三角公式得 π π ?π ? f(x)=2sin? -3x+θ ?.由 f(x)是奇函数得 +θ =kπ (k∈Z)? θ =kπ - (k∈

?3

?

3

3

Z).故选 D.解法 2:∵函数 f(x)为奇函数,定义域为 R.∴f(0)=0,即 3cosθ +sinθ π? π π ? =0,∴sin?θ + ?=0,∴θ + =kπ ,∴θ =kπ - (k∈Z). 3? 3 3 ? 二、填空题 9. [答案] (1)> (2)< π π π π ? π π? [解析] (1)∵- <- <- < ,y=sinx 在?- , ?上是增函数, 2 10 18 2 ? 2 2?

R R> 3,则 2R>2 3>3,只有 2R=4 这一种可能,故选 D.
5. [答案] B [解析] 2tanx ? kπ ? y= = 2 =-tan2x?x≠ ,k∈Z?. 4 1 tan x-1 ? ? tanx- tanx 2

?kπ ? 函数图像大致如下图,显见它不是轴对称图形,而是关于点? ,0?对称的中心对称图形,故选 ? 4 ?
B.

? π? ? π? ? π? ? π? ∴sin?- ?<sin?- ?,即 sin?- ?>sin?- ?. ? 10? ? 18? ? 18? ? 10? ? 23π ?=cos23π =cos?4π +3π ?=cos3π , (2)cos?- ? 5 ? 5 ? 5 5 ? ? ? ?

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-1-

? 17π ?=cos17π =cos?4π +π ?=cosπ .∵0<π <3π <π , cos?- ? 4 ? 4? 4 4 4 5 ? ? ? ?
且函数 y=cosx 在[0,π ]上是减函数, π 3π ? 17π ?>cos?-23π ?,即 cos?-23π ?<cos?-17π ?. ∴cos >cos ,即 cos?- ? ? ? 4 ? 5 ? 5 ? 4 ? 4 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 10. [答案] (1,3)[解析]
? ?3sinx, 0≤x≤π , f(x)=sinx+2|sinx|=? ? ?-sinx,π <x≤2π .

π 2π π 3 9 2π (1)f( )=2cos +sin -4cos =-1+ -2=- . 3 3 3 3 4 4 (2)f(x)=2(2cos x-1)+(1-cos x)-4cosx 2 2 7 2 =3cos x-4cosx-1=3(cosx- ) - ,x∈R 3 3 2 7 因为 cosx∈[-1,1],所以当 cosx=-1 时,f(x)取最大值 6;当 cosx= 时,取最小值- . 3 3 π? ? 14.[解析] f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin?2x+ ?, 6? ? π π 3π π 2π (1)由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z), 2 6 2 6 3 π 2π ? ? ∴f(x)的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 6 3 ? ? π? π kπ π ? (2)由 sin?2x+ ?=0 得 2x+ =kπ (k∈Z),即 x= - (k∈Z), 6? 6 2 12 ?
2 2

在同一坐标系中,作出函数 f(x)与 y=k 的图像可知 1<k<3.

11. [答案]

[0,1]和[7,12][解析] 设点 A 的纵坐标 y 关于 t 的函数为 y=sin(ω t+

2π π 3 1 π φ ).∵T=12= ,∴ω = .当 t=0 时,sinφ = ,cosφ = ,∴φ 可取 . ω 6 2 2 3 π π ∴y=sin( t+ ),由正弦函数的单调性知. 6 3 π π π π 5π π π 2kπ - ≤ t+ ≤2kπ + (k∈Z) 2kπ - ≤ t≤2kπ + (k∈Z). 2 6 3 2 6 6 6 ∴12k-5≤t≤12k+1(k∈Z). 当 k=0 时 ,-5≤t≤1; 当 k=1 时,7≤t≤13 又∵0≤t≤12,∴单调增区间为[0,1]和[7,12]. 三、解答题 π ?π ? 2π 12. [解析] (1)f? ?=sin +acos =0, 2? 2 4 ? 1 2x 则 1+ a=0,解得 a=-2.所以 f(x)=sinx-2cos =sinx-cosx-1, 2 2

? π ? ∴f(x)图像上与原点最近的对称中心坐标是?- ,0?. ? 12 ?
π? π? ? ? (3)由 f(α )=f(β )得:2sin?2α + ?=2sin?2β + ?,又∵角 α 与 β 不共线, 6? 6? ? ? π? ? π? π ? ∴?2α + ?+?2β + ?=2kπ +π (k∈Z),即 α +β =kπ + (k∈Z), 6? ? 6? 3 ? ∴tan(α +β )= 3.

? π? 15 [分析] 对于(1),(2)可以从 sinx-cosx= 2sin?x- ?入手.对于(3)则看 f(x)的定义域是 4 ? ?
否关于原点对称.对于(4)可利用 f(x+T)=f(x)先验证 T 是一个周期,再证 T 是最小正周期.

? π? [解析] (1)由题意得 sinx-cosx>0,即 2sin?x- ?>0, 4? ?
π 从而得 2kπ <x- <2kπ +π (k∈Z).∴函数 f(x)的定义域为 4
? ? π 5 ? π? ?x|2kπ + <x<2kπ + π ,k∈Z?.∵0<sin?x- ?≤1,∴0<sinx-cosx≤ 2, 4 4 4? ? ? ?

? π? 则 f(x)= 2sin?x- ?-1.所以函数 f(x)的最小正周期为 2π . 4? ?
π ? π 3π ? 2 ? ? π? ? (2)由 x∈[0,π ],得 x- ∈?- , ?,则 sin?x- ?∈?- ,1?, 4 ? 4? ? 2 4 ? 4 ? ?

? π? 则 2sin?x- ?-1∈[-2, 2-1],所以 y=f(x)值域为[-2, 2-1]. 4? ?
13. [解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值.(1)可直接求解,(2)

1 1 ? 1 ? 即有 log 2≤log (sinx-cosx).故函数 f(x)的值域是?- ,+∞?. 2 2 ? 2 ?

? π? (2)∵sinx-cosx= 2sin?x- ?在 f(x)的定义域上的单调递增区间为 4? ? ?2kπ +π ,2kπ +3π ?(k∈Z),单调递减区间为?2kπ +3π ,2kπ +5π ?(k∈Z). ? ? 4 4 ? 4 4 ? ? ? ? ?

化简后转化为关于 cosx 的二次函数,求值即可.

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3π 5π ? ? ∴f(x)的单调递增区间是?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z); 4 4 ? ? π 3π ? ? 单调递减区间是?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z). 4 4 ? ? (3)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称, ∴函数 f(x)是非奇非偶函数. (4)∵f(x+2π )=log1[sin(x+2π )-cos(x+2π )]
2

1 =log (sinx-cosx)=f(x), 2 ∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π . [点评] 本题综合考查了三角函数的性质,解题的关键是把 sinx-cosx 化为 Asin(ω x+φ )的形 式.

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