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广东省佛山市三水中学2012届高三数学5月临考集训试卷 理 新人教A版【会员独享】


三水中学 2012 届高三临考集训试卷 理科数学试题
一、选择题 (共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分..) 1.设全集 U=R,集合 , 关系如右图所示,则实数 a 的取值范围是 (A) (B) (C) 2.在复平面内,复数 (A)第一象限 3.函数 y ? cos ( x ?
2

,若 A 与 B 的 (D)

i 1? i

对应的点位于 (C)第三象限 (D)第四象限

(B)第二象限
?
2 ) 的单调增区间是

(A) [ k ? ,

?

? k? ] k ? Z

(B) [

2 (C) [ 2 k ? , 2 k ? ? ? ] k ? Z 1 x

? k? , k? ? ? ] k ? Z 2 (D) [ 2 k ? ? ? , 2 k ? ? 2? ] k ? Z

?

4. ( 2 x ?

) 的展开式中的常数项为

4

(A) ? 24

(B) ? 6

(C) 6

(D) 2 4

?x ? y ? 0 ? 5.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?0 ? x ? 3 ?



(A)9

(B)8

(C)7

(D)6

6.如图 (1) 是反映某条公共汽车线路收支差额 (即营运所得票价收入与付出成本的差) y 与乘客量 x 之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出了两种调 整的建议,如图(2) (3)所示.
y y y

O
A

B

x

O
A

B

x

O
A

B

x

(1)

(2)

(3)

给出下说法: ①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; ③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; ④图 (3) 的建议是: 提高票价, 并降低成本. 其中所有说法正确的序号是 (A)① ③ (B)①④ (C)② ③ (D)②④
用心 爱心 专心



1

7. .如图,用 K 、 A1、 A 2 三类不同的元件连接成一个系统, K 正常工作且 A1、 A 2 至少有一 个正常工作时,系统正常工作.已知 K 、 A1、 A 2 正常工作的概率依次为 0 . 9 、0 . 8 、0 . 8 , 则系统正常工作的概率为 K A. 0 . 960 C. 0 . 720 B. 0 . 864 D. 0 . 576 A2 A1

8.定义: F ( x , y ) ? y

x

?x

? 0 , y ? 0 ? ,已知数列 { a n } 满足: a n ?

F ? n ,2 ? F ?2 , n ?

( n ? N ) ,若对

?

任意正整数 n ,都有 a n ? a k ( k ? N ) 成立,则 a k 的值为 (A)
1 2

?

(B) 2

(C)

8 9

(D)

9 8

二、填空题 (本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 9—13 题为必做题,14—15 为选 做题) (一)必做题 9—13 9. 如图,是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图, 且正视图、侧视图都是矩形,则该几何体的体积是 10.不等式|X-1|+|X-3| ? 2X 的解集是 11.已知非零向量 a , b 满足 | a ? b |? | a ? b |? 则 a ? b 与 a ? b 的夹角为 12.过点 P ( 2 , 1 ) 的双曲线与椭圆 13.已知函数 f ( x ) ? 为 .
x ? sin x ? 1 x ?1



2 3 3

| a |,


x
2

? y

2

? 1 共焦点,则其渐近线方程是



4

( x ? R ) 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m 的值

(二)选做题 14—15 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标下,曲线 C 1 : ? 曲线 C 2 : ?
? x ? 2 co s ? ? y ? 1 ? 2 co s ? (? 为 参 数 ) ,若曲线 C1、C2 有 ? x ? 2t ? 2 a ? y ? ?t (t为 参 数 ) ,

公共点,则实数 a 的取值范围为 . 15. (几何证明选讲)如图,点 A , B , C 是圆 O 上的点,
用心 爱心 专心 2

且 A B ? 2, B C ?

6 , ? C AB ? 120 ,

?

则 ? A O B 对应的劣弧长为



16. (本小题满分 12 分)已知 f ( x ) ? ? sin ? x cos ? x ? (1)求 f ? x ? 的最大值以及取最大值时 x 的集合 (2)已知 f ?? ? ?
1 3

3 cos

2

?x ?

3 2

的周期为 2 ?

,且 ? ? ( 0 ,

?
2

) ,求 cos(

5? 6

? 2? )

17.(本小题满分 12 分)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径 所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表: 时间/分钟 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

L1 的频率 L2 的频率

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的分布列和数学期望.

18.(本小题满分 14 分)已知 ? ABC 和 ? DBC 所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,
? CBA ? ? DBC ? 120
0

,求:

A

⑴.直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小; ⑵.直线 AD 与直线 BC 所成角的大小;

H D
专心

R

B
3

C

用心

爱心

⑶.二面角 A-BD-C 的余弦值.

19. (本小题满分 14 分)已知⊙O: x ? y ? 1 , M 为抛物线 y ? 8 x 的焦点, P 为⊙O
2 2 2

外一点,由 P 作⊙O 的切线与圆相切于 N 点,且 (1)求点 P 的轨迹 C 的方程

PN PM

?

2

(2)设 A 为抛物线 y ? 8 x 准线上任意一点,由 A 向曲线 C 作两条切线 AB、AC,
2

其中 B、C 为切点。求证:直线 BC 必过定点 _______考号:_________

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ? (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

1 2

a x ? ( a ? 1) x ( a ? R 且 a ? 0 ).
2

(2)记函数 y ? F ( x ) 的图象为曲线 C.设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是曲线 C 上的 不同两点.

___________班别:___________姓名:_______

如果在曲线 C 上存在点 M(x0,y0) ,使得:① x 0 ?

x1 ? x 2 2

;②曲线 C 在点 M 处的

切线平行于直线 AB,则称函数 F(x)存在“中值相依切线” , 试问:函数 f(x)是否存在“中值相依切线” ,请说明理由 21. (本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? | a n ? 1 | ( n ? N * ) , (1)若 a 1 ?
5 4

,求 a n ;

* * (2)是否存在 a1 , n 0 ( a1 ? R , n 0 ? N ) ,使当 n ? n 0 ( n ? N ) 时, a n 恒为常数。若存

在求 a 1 , n 0 ,否则说明理由;

______

三水中学 2012 届高三临考集训 数 学(理科)答题卷

用心

爱心

专心

4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二、本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 是选做题 9. 12. ___________, 13. 。10. ; 14. 。11. . 15. 。 .

三、解答题:共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

17. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 14 分)

A

用心

爱心

专心

5

H D

R

B

C

19(本小题满分 14 分) (20,21 题写在背面)

三水中学 2012 高三热身考试理科数学答案 一、CAAD ACBC 二、9、12 10、 [1, ?? ) 11、 60
0

12、 x ?

2y ? 0

13、2

用心

爱心

专心

6

14、[-2,4]

15、

2 2

?

16.解(1) f ? x ? ? ?
2? 2?

1 2

sin 2 ? x ?

2? ? ? cos 2 ? x ? sin ? 2 ? x ? ? ????2 分 2 3 ? ?
3 ? ? 2? ? ? ??????.4 分 3 ?

?T ?

? 2? ? ? ?

1 2

??????.3 分 ? f ? x ? ? sin ? x ?
2? 3

? f ? x ? 的最大值是 1?????.5 分? 当 f ? x ? =1 时, x ?

? 2 k? ?

?
2

,k ? Z

? ? ? ? f ? x ? 的最大值是 1,此时 x 的集合为 ? x x ? 2 k ? ? , k ? Z ? 6 ? ?

(2) ? f ?? ? ? sin ? ? ?
?

?

? 2? ? 1 2? ? 2? ? ?? , ? ? ??????8 分 ? ? ,又 ? ? ( 0 , ) ? ? ? 3 ? 3 2 3 ? 3 ?
4? ? 4 2 ? ? sin ? 2 ? ? ????.10 分 ? ? ? 3 ? 9 ?

2? ? 2 2 ? ? cos ? ? ? ???.9 分 ? ? ? 3 ? 3 ?

?? 5? ? 4? ? ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? 2 ? ? ? cos ? 2 ? ? ? ? cos ? 2 ? ? ?? ? ? 6 ? 3 2 ? 3 ?? ? ? ? 2 ? 4? ? 4 2 ? ? sin ? 2 ? ? ??????..12 分 ? ? ? 3 ? 9 ?

17.解

(1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择

路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0.1+0.2+0. 3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1;?????..3 分

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2????..5 分 (2)A, 分别表示针对(1)的选择方案, 乙在各自允许的时间内赶到火车站, B 甲、 由(1)知 P(A) =0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B 独立,X 的可能取值为 0,1,2???.6 分 ∴P(X=0)=P( A

B )=P( A )P( B )=0.4×0.1=0.04,

P(X=1)=P( A B+A B )=P( A )P(B)+P(A)P( B )=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42, P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54?????.9 分.
∴X 的分布列为

用心

爱心

专心

7

???10 分 ∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5(人).????.12 分 18.⑴如图,在平面 ABC 内,过 A 作 AH⊥BC,垂足为 H, 则 AH⊥平面 DBC,∴∠ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角 由题设知△AHB≌△AHD,则 DH⊥BH,AH=DH,∴∠ADH=45°?????.5 分 ⑵∵BC⊥DH,且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影, 90° ??9 分 ⑶过 H 作 HR⊥BD,垂足为 R,连结 AR,则由三垂线定理知,AR⊥BD,故∠ARH 为二面角 A— ∴BC⊥AD,故 AD 与 BC 所成的角为

BD—C 的平面角的补角 设 BC=a,则由题设知, =DH= AH
∴tanARH=
AH HR

3 2

a , BH ?

a 2

,在△HDB 中, = HR

3 4

a,

=2
5 5

故二面角 A—BD—C 的余弦值的大小为 ?

????14 分

19 解: (1)抛物线 y ? 8 x 的焦点 M(2,0)????.1 分 设 p ( x , y )
2

?

PN PM

?

2

?

x ? y
2

2

?1
2

?x ? 2 ?

?

2

???4



化 简 得 方 程

2

? y

x ? y ? 8x ? 9 ? 0
2 2

? P 点轨迹为⊙C: x ? y ? 8 x ? 9 ? 0 ????6 分
2 2

(2)抛物线 y ? 8 x 准线方程为 x ? ? 2 ????..7 分
2 2 2 2 2

设 A ?? 2 , m ? ( m ? R )

⊙C: x ? y ? 8 x ? 9 ? 0 化为 ( x ? 4 ) ? y ? 7 ???.. ①
? C(4,0),半径 r
2

? 7 ????..8 分

由已知得 AB
2

2

? AC
2

2

?r

2

? m

2

? 29

以 A 为圆心, AB 为半径的圆的方程为 ( x ? 2 ) ? ( y ? m ) ? m ? 29
2

即 x ? y ? 4 x ? 2 my ? 25 ? 0 ???..②?????10 分
2 2

由 于

BC

为 两 圆 公 共 弦 所 在 直 线

由 ② - ① 得

BC

直 线 方 程

6 x ? my ? 17 ? 0 ?????..12 分

用心

爱心

专心

8

y ? 0 ? m?R? ? ?

得?x

?

? 6 x ? 17 ? 0

17 ? 6 ? ?y ? 0 ?

? 直线 BC 过定点 (

17 6

, 0 ) ????14 分

20 解: (Ⅰ) 函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ? ? ) .
a ( x ? 1)( x ? ? ax ? a ? 1 ? ? x 1 a )

???1 分

由已知得, f '( x ) ?

1 x

.

???2 分

ⅰ 当 a ? 0 时, 令 f '( x ) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;? 函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增 ⅱ 当 a ? 0 时,
x ?1;

①当 ?

1 a

? 1 时,即 a ? ? 1 时, 令 f '( x ) ? 0 ,解得 0 ? x ? ?

1 a



? 函数 f ( x ) 在 (0, ?

1 a

) 和 (1, ?? ) 上单调递增

②当 ?

1 a 1 a

? 1 时,即 a ? ? 1 时, 显然,函数 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递增; ? 1 时,即 ? 1 ? a ? 0 时, 令 f '( x ) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ? ? 1 a , ? ? ) 上单调递增 1 a

③当 ?

? 函数 f ( x ) 在 (0,1) 和 ( ?

。。。。。。6 分 。。。。。

综上所述:⑴当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增 ⑵当 a ? ? 1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ?
1 a ) 和 (1, ?? ) 上单调递增

⑶当 a ? ? 1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递增; ⑷当 ? 1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 和 ( ?
1 a , ? ? ) 上单调递增

????.7 分

(Ⅱ)假设函数 f ( x ) 存在“中值相依切线”. 设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 是曲线 y ? f ( x ) 上的不同两点,且 0 ? x1 ? x 2 , 则 y1 ? ln x1 ?
1 2 a x1 ? ( a ? 1) x1 , y 2 ? ln x 2 ?
2

1 2

a x 2 ? ( a ? 1) x 2 .
2

k AB ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

?

(ln x 2 ? ln x1 ) ?

1 2

a ( x 2 ? x1 ) ? ( a ? 1)( x 2 ? x1 )
2 2

x 2 ? x1

?

ln x 2 ? ln x1 x 2 ? x1

?

1 2

a ( x1 ? x 2 ) ? ( a ? 1)

?9 分



线





M ( x0 , y0 )







线





用心

爱心

专心

9

k ? f ?( x 0 ) ? f ?(

x1 ? x 2 2

) ?

2 x1 ? x 2
? 1 2

?a?

x1 ? x 2 2

? ( a ? 1) ,

依题意得:

ln x 2 ? ln x1 x 2 ? x1

a ( x1 ? x 2 ) ? ( a ? 1) ?

2 x1 ? x 2

?a?

x1 ? x 2 2
x2 x1 x2 x1 ?1 ? 1)

? ( a ? 1) .

化简可得:

ln x 2 ? ln x1 x 2 ? x1

?

2 x1 ? x 2

, 即 ln

x2 x1

=

2 ( x 2 ? x1 ) x 2 ? x1
?

2(

.

?.11 分



x2 x1

? t ( t ? 1 ),上式化为: ln t ?

2 ( t ? 1) t ?1

? 2?

4 t ?1

,

ln t ?

4 t ?1

? 2.

令 g ( t ) ? ln t ?

4 t ?1

, g '( t ) ?

1 t

?

4 ( t ? 1)
2

?

( t ? 1)

2 2

t ( t ? 1)

.

因为 t ? 1 ,显然 g '( t ) ? 0 ,所以 g ( t ) 在 (1, ?? ) 上递增, 显然有 g ( t ) ? 2 恒成立. 所以在 (1, ?? ) 内不存在 t ,使得 ln t ?
4 t ?1 ? 2 成立.

综上所述,假设不成立.所以,函数 f ( x ) 不存在“中值相依切线”. ?..14 分 21 解: (1) a1 ?
? a1 ? 5 4
5 4 , a2 ? 1 4 , a3 ? 3 4 , a4 ? 1 4
? N ` ????.6 分
*

,? 2 分

, n ? 2 时,

?1 , n ? 2k ,其中 k ? ?4 an ? ? 3 ? , n ? 2k ? 1 ?4 ?

(2)因为存在 a n ? 1 ? | a n ? 1 |? ?

? a n ? 1, a n ? 1 ? ? a n ? 1, a n ? 1

,所以当 a n ? 1 时, a n ? 1 ? a n
1 2

①若 0 ? a1 ? 1 ,则 a 2 ? 1 ? a1 , a 3 ? 1 ? a 2 ? a1 ,此时只需: a 2 ? 1 ? a 1 ? a 1 ,? a 1 ? 故 存 在 a1 ?
1 2 , an ? 1 2 , (n ? N )
*

?????..8 分

② 若 a1 ? 1

不符合题

意??????9 分 ③若 a 1 ? b ? 1 ,不妨设 b ? [ m , m ? 1), m ? N ,易知 a m ? 1 ? b ? m ? [0,1) ,
*

? a m ? 2 ? 1 ? a m ?1 ? 1 ? ( b ? m ) ? a m ?1 ? b ? m
?b ? m ? 1 2 ,? a 1 ? m ? 1 2 , n ? m ? 1 时, a n ?
*

1 2

, ( m ? N ) ?????.11 分
*

④若 a1 ? c ? 0 ,不妨设 c ? ( ? l , ? l ? 1), l ? N ,易知

用心

爱心

专心

10

a 2 ? ? c ? 1 ? ( l , l ? 1],? a 3 ? a 2 ? 1 ? ? c , ? , a l ? 2 ? ? c ? ( l ? 1) ? (0,1]
? c ? ?l ? 1 2 ,? a 1 ? ? l ? 1 2 ( l ? N ), n ? l ? 2, 则 a n ?
*

1 2

???..13 分



存在三组 a 1 和 n 0 :
a1 ? 1 2

时, n 0 ? 1 ;
*

a1 ? m ?

1 2

时, n 0 ? m ? 1 ; a 1 ? ? m ?

1 2

时, n 0 ? m ? 2 其中

m ? N ????14 分

用心

爱心

专心

11


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