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高考数学直线与圆的方程复习题2


高考数学直线与圆的方程复习题 2——第 7 章第三讲 一、选择题(8×5=40 分) 1.不等式 2x-y-6>0 表示的平面区域在直线 2x-y-6=0 的 ( ) A.左上方且含坐标原点 B.右下方且含坐标原点 C.左上方且不含坐标原点 解析:不等式表示的平面区域如图所示,故选 D. 2.如图所示,不等式 x(y-x-1)>0 表示的平面区域是 ( )

D.右下方且不含坐标原点

? ? ?x>0 ?x<0 解析:由 x(y-x-1)>0?? 或? 故选 B. ? ? ?y-x-1>0 ?y-x-1<0. 3.某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a2、b1 千克,生产乙产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别 为 a1、b2 千克.甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1、d2 元.月初一次性购进本月用原料 A、B 各 c1、c2 千克.要计 划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大.在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别 为 x 千克、y 千克,月利润总额为 z 元,那么,用于求使总利润 z=d1x+d2y 最大的数学模型中,约束条件为( )

a x+a y≥c , ? ?b x+b y≥c , A.? x≥0, ? ?y≥0.
1 1 2 2 1 2

a x+b y≤c , ? ?a x+b y≤c , B.? x≥0, ? ?y≥0.
1 2 1 2 1 2

a x+a y≤c , ? ?b x+b y≤c , C.? x≥0, ? ?y≥0.
1 1 2 2 1 2

a x+a y=c , ? ?b x+b y=c , D.? x≥0, ? ?y≥0.
1 1 2 2 1 2

解析:生产甲、乙产品所需 A 原料之和应小于 c1,故 a1x+a2y≤c1;同理生产甲、乙产品所需 B 原料之和应小于 c2,故 b1x+b2y≤c2;当然 x、y 应是正数,故选 C. 2x+y≥4, ? ? 4.(2009· 宁夏、海南,6)设 x、y 满足?x-y≥-1, ? ?x-2y≤2, A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值 答案:B 则 z=x+y ( )

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值 所表示的平面区域如图.

2x+y≥4, ? ? 解析:不等式组?x-y≥-1, ? ?x-2y≤2,

x+y 在点 A(2,0)处取最小值,∴x+y=2,无最大值. x≥0, ? ? 5.(2009· 安徽,3)不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4, 3 A. 2 2 B. 3 所表示的平面区域的面积等于 3 D. 4 ( )

4 C. 3

4 解析:不等式组表示的平面区域如图所示.A(0, ),B(1,1),C(0,4). 3 1 1 4 4 ∴S△ABC= |AC|· h= ×(4- )×1= .故选 C. 2 2 3 3 6.(2009· 四川,10)某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产每吨乙 产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企业在一 个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获得最大利润是 ( ) A.12 万元 B.20 万元 C.25 万元 D.27 万元 解析:设该企业生产甲产品为 x 吨,乙产品为 y 吨,则该企业可获得利润为 z=5x+3y, x≥0, ? ?y≥0, 且? 3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18.
? ?3x+y=13, 联立? ?2x+3y=18, ? ? ?x=3, 解得? ?y=4. ?

由图可知,最优解为 P(3,4),∴z 的最大值为 z=5×3+3×4=27(万元).故选 D.

x2 x2 7.(2009· 广东深圳一模)设平面区域 D 是由双曲线 y2- =1 的两条渐近线和椭圆 4 2 2 +y =1 的右准线所围成的三角形(含边界与内部).若点(x,y)∈D,则目标函数 z=x+y 的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.6 答案:C x 解析:双曲线的渐近线为 y=± ,椭圆的右准线为 x=2,画图知过点(2,1)时,zmax=3. 2 ?x-2y≥0, ? 8.(2009· 湖南,6)已知 D 是由不等式组? 所确定的平面区域,则圆 x2+y2=4 在区域 D 内的弧长为 ( ?x+3y≥0, ? π π 3π 3π A. B. C. D. 4 2 4 2 1 1 解析:如图,l1、l2 的斜率分别是 k1= ,k2=- ,不等式组表示的平面区域为阴影部分. 2 3 1 1 + 2 3 π π π ∵tan∠AOB= =1,∴∠AOB= ,∴弧长= · 2= ,故选 B. 1 1 4 4 2 1- × 2 3 二、填空题(4×5=20 分) x+y-2≥0, ? ? 9.(2009· 北京,11)若实数 x,y 满足?x≤4, ? ?y≤5, x≤1 ? ? 10.在平面直角坐标系中,不等式组?y≤3 ? ?3x+y-3≥0 x≤1 ? ? 解析:不等式组?y≤3 ? ?3x+y-3≥0 x-y+1≥0, ? ? 11.可行域 D:?x+y-4≤0, ? ?x≥0,y≥0, 则 s=x+y 的最大值为________.

)

解析:如图,作出不等式组的可行域.可知,当直线 s=x+y 过点(4,5)时 s 取得最大值为 9. 所表示的平面区域的面积是________.

1 3 的可行域如图阴影所示,阴影部分的面积为 ×1×2= . 2 2

0≤x≤4, ? ? 与可行域 E:? ,对应的点集间的关系是______________. 5 0≤y≤ ? 2 ?

答案:D E。解析:分别作出可行域 D 和 E,其中两直线 x-y+1=0 与 x+y-4=0 3 5 交点坐标为( , ).如图所示,可知区域 D 的点全部落在 E 区域内部,且 E 中有更多的点. 2 2 |x|-2≤0, ? ? 12. 设不等式组?y-3≤0, ? ?x-2y≤2.

所表示的平面区域为 S, 则 S 的面积为______________; 若 A, B 为 S 内的两个点,

则|AB|的最大值为______________. 答案:16 41 解析:如图,A1(2,0),B1(2,3),C(-2,3),D(-2,-2), 1 S= (3+5)×4=16. A、B 分别为 A1、D 时,|AB|最大为 42+52= 41. 2 三、解答题(4×10=40 分) 13.设 S 为平面上以 A(3,-1),B(-1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界).若点(x,y)在区域 S 上变动.(1)求 z=3x-2y 的最值;(2)求 z=y-x 的最大值,并指出其最优解; (3)若 x,y 为整数,求 z=y-x 的最大值,并指出其最优解. 3 z 3 3 解析:(1)z=3x-2y 可化为 y= x- = x+b,故求 z 的最大值、最小值,相当于求直线 y= x+b 2 2 2 2 在 y 轴上的截距 b 的最小值、最大值.即 b 取最大值时,z 取最小值;反之亦然. 3 3 5 如图所示,直线 y= x 左、右平行移动.当 y= x+b 过 B 点时,bmax= ,此时 zmin=-2b=-5; 2 2 2

3 11 当 y= x+b 过 A 点时,bmin=- ,此时 zmax=-2b=11. 2 2 (2)z=y-x 可化为 y=x+z,故求 z 的最大值,相当于求直线 y=x+z 在 y 轴上的截距 z 的最大值.如下图所示,直线 y=x 平行移动,当直线 y=x+z 与直线 BC 重合时,zmax=2, 此时线段 BC 上任一点的坐标都是最优解. (3)由(2)可知,zmax=2,最优解都在线段 BC 上,且 x,y 为整数,所以最优解有(-1,1), (0,2),(1,3). ?y≥|x+1|-1 ? 14.求不等式组? 所表示的平面区域的面积. ? ?y≤-|x|+1 解析:不等式 y≥|x+1|-1 可化为 y≥x(x≥-1)或 y≥-x-2(x<-1); 不等式 y≤-|x|+1 可化为 y≤-x+1(x≥0)或 y≤x+1(x<0). 在平面直角坐标系内作出四条射线 AB:y=x(x≥-1),AC:y=-x-2(x<-1), DE:y=-x+1(x≥0),DF:y=x+1(x<0). 则不等式组所表示的平面区域如图所示. 由于 kAB=kDF=1,kAC=kDE=-1, 所以平面区域是一个矩形. 2 3 2 3 根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为 和 ,所以其面积为 . 2 2 2 b-2 15.(2011· 原创题)关于 x 的方程 x2+ax+2b=0 的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内,求 的取值范围. a-1 b-2 解析:本题考查运用二次函数讨论二次方程的根的分布. 可以转化为点(a,b)与 M(1,2)连线的斜率.由题知 a-1 x2+ax+2b=0 两根在(0,1)与(1,2)内, 可令 f(x)=x2+ax+2b.必满足 f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即 b>0 ? ? ?1+a+2b<0 ? ?4+2a+2b>0 b>0 ? ? ??1+a+2b<0 ? ?2+a+b>0 由线性规划可知:

1 b-2 点 M(1,2)与阴影部分连线的斜率 k 的范围为 kAM<kBM,A(-3,1),B(-1,0),∴ < <1. 4 a-1 16.2008 年初春节前期,南方发生了历史上罕见的雪灾,为保障南方两发电厂 A,B 的电煤供应,甲煤矿与乙煤 矿向 A,B 两地运送电煤,已知甲煤矿可以调出 100kt(千吨)电煤,乙煤矿可以调出 80kt 电煤,A 地需 70kt 电煤,B 地 需 110kt 电煤,两煤矿到两地的路程和运费如下表 路程/km 甲矿 A地 B地 20 25 乙矿 15 20 运费(元 kt 1km 2)
- -

甲矿 12 10

乙矿 12 8

(1)这两个煤矿各运往 A,B 两地多少 kt 电煤,才能使总运费最省?此时总运费是多少? (2)最不合理的调动方案是什么?它使国家造成的损失是多少? 解析:本题属调运问题. (1)设甲煤矿向 A 地运送电煤 xkt,向 B 地运送电煤 ykt,则得乙煤矿向 A 地运送电煤(70-x)kt,乙煤矿向 B 地运送 电煤(110-y)kt,且设总费用为 z,由表可得目标函数为:z=20×12x+25×10y+15×12(70-x)+20×8(110-y)=60x +90y+30200, 0≤x≤70, ? ?0≤y≤100, 线性约束条件为? x+y≤100, ? ?70-x+110-y≤80, 0≤x≤70, ? ?0≤y≤100, 化简得? x+y≤100, ? ?x+y≥100,

2 作出可行域为线段 AB,因为 kAB=-1<- 所以当目标函数所在直线过点 B 时 z 最小,即 x=70,y=30 时总运费 3 最省,此时总运费为 37100 元. (2)最不合理的调动方案为目标函数过点 A 时,即 x=0,y=100 时,此时总费用为 39200 元. 答案:甲煤矿向 A 地运送电煤 70 千吨,向 B 地运送电煤 30 千吨,乙煤矿向 A 地运送 0 千吨,向 B 地运送 80 千 吨时,总费用最省. 甲煤矿向 A 地运送 0 千吨,向 B 地运送 100 千吨,总费用最不合算,将损失 2100 元.


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