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【数学】2011版《6年高考4年模拟》:第二章 函数与基本初等函数1 第一节 函数的概念与性质


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第二章

函数与基本初等函数 I

第一节 函数的概念与性质 第一部分 六年高考荟萃 2010 年高考题
一、选择题 1.( 湖南文) 1.(2010 湖南文)8.函数 y=ax + bx 与 y= log b x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐
| | a
2

标系中的图像可能是

答案 D

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2.( 浙江理) (10)设函数的集合 2.(2010 浙江理)

1 1 P = f ( x) = log 2 ( x + a ) + b a = , 0, ,1; b = 1, 0,1 , 2 2
平面上点的集合

1 1 Q = ( x, y ) x = , 0, ,1; y = 1, 0,1 , 2 2
则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x ) 的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 .. (A)4 答案 B (B)6 (C)8 (D)10

解析:当 a=0,b=0;a=0,b=1;a=

1 1 ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意,故答案 2 2

选 B,本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点,对数 学素养有较高要求,体现了对能力的考察,属中档题 3.( 辽宁文) (4)已知 a > 0 ,函数 f ( x ) = ax + bx + c ,若 x0 满足关于 x 的方程 3.(2010 辽宁文)
2

2ax + b = 0 ,则下列选项的命题中为假命题的是
(A) x ∈ R, f ( x) ≤ f ( x0 ) (C) x ∈ R, f ( x ) ≤ f ( x0 ) 答案 C 解析:选 C.函数 f ( x) 的最小值是 f ( (B) x ∈ R, f ( x) ≥ f ( x0 ) (D) x ∈ R, f ( x ) ≥ f ( x0 )

b ) = f ( x0 ) 2a

等价于 x ∈ R, f ( x ) ≥ f ( x0 ) ,所以命题 C 错误. 4.( 江西理) 4.(2010 江西理)9.给出下列三个命题: ①函数 y =

1 1 cos x x ln 是同一函数; 与 y = ln tan 是同一函数; 2 1 + cos x 2

② 若函数 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 的图像关于直线 y = x 对称 , 则函数

y = f ( 2x) 与 y =

1 g ( x ) 的图像也关于直线 y = x 对称; 对称; 2

③若奇函数 f ( x ) 对定义域内任意 x 都有 f ( x ) = f (2 x) ,则 f ( x ) 为周期函数。 其中真命题是 A. ①②
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B. ①③

C.②③

D. ②
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答案 C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同,①错误;排 除 A、B,验证③, f ( x ) = f [2 ( x)] = f (2 + x) ,又通过奇函数得 f ( x ) = f ( x) , 所以 f(x)是周期为 2 的周期函数,选择 C。 5.( 重庆理) 5.(2010 重庆理)(5) 函数 f ( x ) = A. 关于原点对称 答案 D 解析: f ( x) =

4x + 1 的图象 2x

B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

4x + 1 1 + 4x = = f ( x) 2x 2x

∴ f (x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称

6.( 天津文) 6.(2010 天津文)(5)下列命题中,真命题是 (A) m ∈ R,使函数f(x)=x 2 + mx(x ∈ R)是偶函数 (B) m ∈ R,使函数f(x)=x 2 + mx(x ∈ R)是奇函数 (C) m ∈ R,使函数f(x)=x 2 + mx(x ∈ R)都是偶函数 (D) m ∈ R,使函数f(x)=x 2 + mx(x ∈ R)都是奇函数 答案 A 【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念,与存在量词、全称量词的含义,属于容易题。 当 m=0 时,函数 f(x)=x 是偶函数,所以选 A. 【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。 7.( 天津理) (3)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是 7.(2010 天津理) (A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 答案 B 【解析】本题主要考查否命题的概念 ,属于容易题。 否命题是同时否定命题的条件结论,故否命题的定义可知 B 项是正确的。 【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。
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2

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8.( 广东理) 8.(2010 广东理)3.若函数 f(x)=3 +3 与 g(x)=3 -3 的定义域均为 R,则 A.f(x)与 g(x)均为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 答案 D 【解析】 f ( x) = 3
x

x

-x

x

-x

B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

+ 3x = f ( x), g ( x) = 3 x 3x = g ( x) .
x x

9.( 广东文) 9.(2010 广东文)3.若函数 f ( x) = 3 + 3 A. f (x ) 与 g (x ) 与均为偶函数 C. f (x ) 与 g (x ) 与均为奇函数 答案 D

与 g ( x) = 3 3
x

x

的定义域均为 R,则

B. f (x ) 为奇函数, g (x ) 为偶函数 D. f (x ) 为偶函数, g (x ) 为奇函数

解:由于 f ( x ) = 3 x + 3 ( x ) = f ( x ) ,故 f (x ) 是偶函数,排除 B、C 由题意知,圆心在 y 轴左侧,排除 A、C 在 Rt 0 AO ,

OA 1 0A 5 1 = k = ,故 = = 0O = 5 ,选 D 0A 2 0O 0O 5

10.( 广东文) 10.(2010 广东文)2.函数 f ( x ) = lg( x 1) 的定义域是 A. ( 2,+∞) 答案 B 解: x 1 > 0 ,得 x > 1 ,选 B. 11.(2010 全国卷 1 理) 11.( (10)已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取 值范围是 (A) (2 2, +∞ ) (B) [2 2, +∞) (C) (3, +∞) (D) [3, +∞) B. (1,+∞) C. [1,+∞) D. [ 2,+∞)

12.( 湖北文)5.函数 y = 12.(2010 湖北文)5.

1 的定义域为 log 0.5 (4 x 3)

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A.(

3 ,1) 4

B(

3 ,∞) 4

C(1,+∞)

D. (

3 ,1)∪(1,+∞) 4

13.( 东理) 13.(2010 山东理)(11)函数 y=2 - x 的图像大致是

x

2

【答案】A 【解析】因为当 x=2 或 4 时,2 - x =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2 - x = 故排除 D,所以选 A。 【命题意图】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合 的思维能力。 14.( 山东理) (4)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= 2 x +2x+b(b 为 14.(2010 山东理) 常数),则 f(-1)= (A) 3 【答案】D (B) 1 (C)-1 (D)-3
x

2

x

2

1 4<0 , 4

15. ( 2010 湖 南 理 ) 8. 用

表示 a,b 两数中的最小值。若函数

的图像关于直线 x= A.-2 B.2 C.-1 D.1

1 对称,则 t 的值为 2

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16.( 安徽理) 16.(2010 安徽理)

17.( 重庆文数) (4)函数 y = 16 4 x 的值域是 17.(2010 重庆文数) (A) [0, +∞ ) (C) [0, 4) 答案 B 解析:∵ 4 > 0,∴ 0 ≤ 16 4 < 16 ∴ 16 4 ∈ [ 0, 4 )
x x x

(B) [0, 4] (D) (0, 4)

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二、填空题 1.(2010 重庆文数)(12)已知 t > 0 ,则函数 y = 答案 -2 解析: y =

t 2 4t + 1 的最小值为____________ . t

t 2 4t + 1 1 = t + 4 ≥ 2(∵ t > 0) ,当且仅当 t = 1 时, ymin = 2 t t
.

2.( 广东理) 2.(2010 广东理)9. 函数 f ( x ) =lg( x -2)的定义域是 答案(1,+∞) . 【解析】∵ x 1 > 0 ,∴ x > 1 .

3.( 3.(2010 全国卷 1 理)(15)直线 y = 1 与曲线 y = x x + a 有四个交点,则 a 的取值范
2

围是

.

4.(2010 福建理)15.已知定义域为 0, ∞) ( 福建理) ( + 的函数 f(x) 满足:①对任意 x ∈ 0, ∞) ( + , 恒有 f(2x)=2f(x) 成立;当 x ∈ (1,2] 时, f(x)=2-x 。给出如下结论: ①对任意 m ∈ Z ,有 f(2 m )=0 ;②函数 f(x) 的值域为 [0, ∞) + ;③存在 n ∈ Z ,使得

f(2n +1)=9 ;④“函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ∈ Z ,使得 (a, b) (2 k , 2 k +1 ) ” 。
其中所有正确结论的序号是 【答案】①②④ 【解析】对①,因为 2 >0 ,所以 f(2 m )=0 ,故①正确;经分析,容易得出②④也正确。 【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件,熟练基础知识是解答好本题的关键。 R)是偶函数, 则实数 a=________________ ( 江苏卷) 5、 5. 2010 江苏卷) 设函数 f(x)=x(e +ae )(x ∈R)
x -x



m

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答案 a=-1 【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e +ae 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1。 三、解答题 1.( 上海文)22.( 个小题, 1.(2010 上海文)22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分。 若实数 x 、 y 、 m 满足 x m < y m ,则称 x 比 y 接近 m . (1)若 x 1 比 3 接近 0,求 x 的取值范围;
2
x -x

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a b + ab 比 a + b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

(3) 已知函数 f ( x) 的定义域 D x x ≠ kπ , k ∈ Z , x ∈ R .任取 x ∈ D ,f ( x) 等于 1 + sin x 和 1 sin x 中接近 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、 最小值和单调性(结论不要求证明). 解析:(1) x∈(2,2); (2) 对任意两个不相等的正数 a、b,有 a 2 b + ab 2 > 2ab ab , a 3 + b 3 > 2ab ab , 因为 | a 2 b + ab 2 2ab ab | | a3 + b3 2ab ab |= (a + b)(a b) 2 < 0 , 所以 | a 2 b + ab 2 2ab ab |<| a3 + b3 2ab ab | ,即 a b+ab 比 a +b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

{

}

1 + sin x, x ∈ (2kπ π , 2kπ ) (3) f ( x) = = 1 | sin x |, x ≠ kπ ,k∈Z, 1 sin x, x ∈ (2kπ , 2kπ + π )

f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期 T=π,函数 f(x)的最小值为 0,
函数 f(x)在区间 [kπ

π
2

, kπ ) 单调递增,在区间 (kπ , kπ +

π
2

] 单调递减,k∈Z.

2.( 北京文) (20) (本小题共 13 分) 2.(2010 北京文) 已 知 集 合 S n = { X | X = ( x1 , x2 , …,xn ), x1 ∈ {0,1}, i = 1, 2, …, n}( n ≥ 2) 对 于

A = (a1 , a2 , …an , ) , B = (b1 , b2 , …bn , ) ∈ S n ,定义 A 与 B 的差为 A B = (| a1 b1 |,| a2 b2 |, … | an b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B ) =


i 1

| a1 b1 |

(Ⅰ)当 n=5 时,设 A = (0,1, 0, 0,1), B = (1,1,1, 0, 0) ,求 A B , d ( A, B ) ;

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(Ⅱ)证明: A, B, C ∈ S n , 有A B ∈ S n ,且 d ( A C , B C ) = d ( A, B ) ; (Ⅲ) 证明: A, B, C ∈ S n , d ( A, B ), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅰ)解: A B = ( 0 1 , 1 1 , 0 1 , 0 0 , 1 0 ) =(1,0,1,0,1)

d ( A, B) = 0 1 + 1 1 + 0 1 + 0 0 + 1 0 =3
(Ⅱ)证明:设 A = ( a1 , a2 , , an ), B = (b1 , b2 , , bn ), C = (c1 , c2 , , cn ) ∈ S n 因为 a1 , b1 ∈ {0,1} ,所以 a1 b1 ∈ {0,1}(i = 1, 2, , n) 从而 A B = ( a1 b1 , a2 b2 , an bn ) ∈ S n 由题意知 ai , bi , ci ∈ {0,1}(i = 1, 2, , n) 当 ci = 0 时, ai ci bi ci = ai bi 当 ci = 1 时, ai ci bi ci = (1 ai ) (1 bi ) = ai bi 所以 d ( A C , B C ) =

∑ a b
i =1 i

n

i

= d ( A, B )

(Ⅲ)证明:设 A = ( a1 , a2 , , an ), B = (b1 , b2 , , bn ), C = (c1 , c2 , , cn ) ∈ S n

d ( A, B ) = k , d ( A, C ) = l , d ( B, C ) = h
记 0 = (0, 0, 0) ∈ S n 由(Ⅱ)可知

d ( A, B) = d ( A A, B A) = d (0, B A) = k d ( A, C ) = d ( A A, C A) = d (0, C A) = l d ( B, C ) = d ( B A, C A) = h
所以 bi ai (i = 1, 2, , n) 中 1 的个数为 k, ci ai (i = 1, 2, , n) 中 1 的个数为 l 设 t 是使 bi ai = ci ai = 1 成立的 i 的个数。则 h = l + k 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数 即 d ( A, B ), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。

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2009 年高考题
1. (2009 全国卷Ⅰ理) 函数 f ( x ) 的定义域为 R, f ( x + 1) 与 f ( x 1) 都是奇函数, 若 则( A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x ) = f ( x + 2) 答案 D 解析 ∵ f ( x + 1) 与 f ( x 1) 都是奇函数, B. f ( x ) 是奇函数 D. f ( x + 3) 是奇函数 )

∴ f ( x + 1) = f ( x + 1), f ( x 1) = f ( x 1) ,
∴ 函数 f ( x) 关于点 (1, 0) ,及点 (1, 0) 对称,函数 f ( x) 是周期 T = 2[1 (1)] = 4 的周
期函数.∴ f ( x 1 + 4) = f ( x 1 + 4) , f ( x + 3) = f ( x + 3) ,即 f ( x + 3) 是奇函 数。故选 D 2.(2009 浙江理)对于正实数 α ,记 M α 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合:

x1 , x2 ∈ R 且 x2 > x1 ,有 α ( x2 x1 ) < f ( x2 ) f ( x1 ) < α ( x2 x1 ) .下列结论中正确
的是 ( ) A.若 f ( x) ∈ M α 1 , g ( x) ∈ M α 2 ,则 f ( x) g ( x) ∈ M α 1α 2 B.若 f ( x) ∈ M α 1 , g ( x) ∈ M α 2 ,且 g ( x) ≠ 0 ,则

f ( x) ∈ M α1 g ( x) α2

C.若 f ( x ) ∈ M α 1 , g ( x ) ∈ M α 2 ,则 f ( x ) + g ( x ) ∈ M α 1+α 2 D.若 f ( x ) ∈ M α 1 , g ( x ) ∈ M α 2 ,且 α1 > α 2 ,则 f ( x ) g ( x ) ∈ M α 1α 2 答案 C 解析 对于 α ( x2 x1 ) < f ( x2 ) f ( x1 ) < α ( x2 x1 ) , 即有 α <

f ( x2 ) f ( x1 ) <α , x2 x1



f ( x2 ) f ( x1 ) = k , 有 α < k < α , 不 妨 设 f ( x) ∈ M α 1 , g ( x) ∈ M α 2 , 即 有 x2 x1

α1 < k f < α1 , α 2 < k g < α 2 , 因 此 有 α1 α 2 < k f + k g < α1 + α 2 , 因 此 有 f ( x) + g ( x) ∈ M α 1+α 2 .
3.(2009 浙江文)若函数 f ( x ) = x +
2

a (a ∈ R) ,则下列结论正确的是( x



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A. a ∈ R , f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上是增函数 B. a ∈ R , f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上是减函数 C. a ∈ R , f ( x ) 是偶函数 D. a ∈ R , f ( x ) 是奇函数 答案 C 【命题意图】 此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识, 通过对量词的考查 结合函数的性质进行了交汇设问. 解析 对于 a = 0 时有 f ( x ) = x 是一个偶函数
2

4. (2009 山东卷理)函数 y =

e x + e x 的图像大致为 e x e x
y y

(

).

y 1 O 1 x 1 O1 x

y

1 O 1 x O

1 1 D x

A 答案 A

B

C

解析 函数有意义,需使 e e
x

x

≠ 0 , 其 定 义 域 为 {x | x ≠ 0} , 排 除 C,D, 又 因 为

y=

e x + e x e2 x + 1 2 = 2x = 1+ 2x ,所以当 x > 0 时函数为减函数,故选 A. x x e e e 1 e 1

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的 难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 5.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 则 f(2009)的值为 A.-1 B. 0 答案 C

log 2 (1 x), x ≤ 0 , f ( x 1) f ( x 2), x > 0
( )

C.1

D. 2

解析 由已知得 f ( 1) = log 2 2 = 1 , f (0) = 0 , f (1) = f (0) f ( 1) = 1 ,

f (2) = f (1) f (0) = 1 , f (3) = f (2) f (1) = 1 (1) = 0 , f (4) = f (3) f (2) = 0 (1) = 1 , f (5) = f (4) f (3) = 1 , f (6) = f (5) f (4) = 0 ,
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所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 6.(2009 山东卷文)函数 y =

e x + e x 的图像大致为( e x e x
y

). y

y 1 O 1 x 1 O1 x

y

1 O 1 x O

1 1 D x

A 答案 A. 解析

B

C

函数有意义,需使 e e
x

x

≠ 0 , 其 定 义 域 为 {x | x ≠ 0} , 排 除 C,D, 又 因 为

e x + e x e2 x + 1 2 y = x x = 2x = 1+ 2x ,所以当 x > 0 时函数为减函数,故选 A. e e e 1 e 1
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难 点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7. (2009 山东卷文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 则 f(3)的值为 A.-1 答案 B 解析 由已知得 f ( 1) = log 2 5 , f (0) = log 2 4 = 2 , f (1) = f (0) f ( 1) = 2 log 2 5 , B. -2 C.1 D. 2

x≤0 log 2 (4 x), , f ( x 1) f ( x 2), x > 0
( )

f (2) = f (1) f (0) = log 2 5 , f (3) = f (2) f (1) = log 2 5 (2 log 2 5) = 2 , 故 选
B. 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 8.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) ,满足 f ( x 4) = f ( x ) ,且在区间[0,2] 上是增函数,则 A. f ( 25) < f (11) < f (80) C. f (11) < f (80) < f ( 25)
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( B. f (80) < f (11) < f ( 25) D. f ( 25) < f (80) < f (11)
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).

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答案

D

解析 因为 f (x ) 满足 f ( x 4) = f ( x ) ,所以 f ( x 8) = f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的 周期函数, 则 f ( 25) = f ( 1) , f (80) = f (0) , f (11) = f (3) ,又因为 f (x ) 在 R 上是奇函 数, f (0) = 0 ,得 f (80) = f (0) = 0 , f ( 25) = f ( 1) = f (1) ,而由 f ( x 4) = f ( x ) 得 f (11) = f (3) = f ( 3) = f (1 4) = f (1) ,又因为 f (x ) 在区间[0,2]上是增函数,所 以 f (1) > f (0) = 0 ,所以 f (1) < 0 ,即 f ( 25) < f (80) < f (11) ,故选 D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思 想和数形结合的思想解答问题. 9.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y= x (x ≤ 0)的反函数是 (A) y = x 2 (x ≥ 0) (B) y = x 2 (x ≤ 0) 答案 B 解析 本题考查反函数概念及求法,由原函数 x ≤ 0 可知 AC 错,原函数 y ≥ 0 可知 D 错. 10.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y= y = log 2 (A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 答案 A 解析 本题考查对数函数及对称知识, 由于定义域为 (-2, 关于原点对称, f(-x)=-f(x), 2) 又 故函数为奇函数,图像关于原点对称,选 A。 11.(2009 全国卷Ⅱ文)设 a = lg e, b = (lg e) 2 , c = lg e, 则 (A) a > b > c 答案 B 解析 本题考查对数函数的增减性, 1>lge>0,知 a>b,又 c= 由 (B) a > c > b (C) c > a > b ( (D) c > b > a ) (B) y = x 2 (x ≥ 0) (D) y = x 2 (x ≤ 0) ( )

2 x 的图像 2+ x
(B)关于主线 y = x 对称 (D)关于直线 y = x 对称





1 lge, 作商比较知 c>b,选 B。 2

12.( 2009 广 东 卷 理 )若函数 y = f ( x) 是函数 y = a x ( a > 0, 且a ≠ 1) 的反函数,其图像 经过点 ( a , a ) ,则 f ( x ) = ( )

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A. log 2 x 答案 B 解析

B. log 1 x
2

C.

1 2x

D. x

2

f ( x) = log a x ,代入 ( a , a ) ,解得 a =

1 ,所以 f ( x ) = log 1 x ,选 B. 2 2

13. 2009 广 东 卷 理 )已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线) ( 行驶. 甲车、 乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙(如图 2 所示) 那么对于图中给定的 t0和t1 , . 下列判断中一定正确的是 A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在 t0 时刻,两车的位置相同 D. t0 时刻后,乙车在甲车前面 答案 A 解析 由图像可知,曲线 v甲 比 v乙 在 0~ t 0 、0~ t1 与 x 轴所围成图形面积大,则在 t0 、 ( )

t1 时刻,甲车均在乙车前面,选 A.
14.(2009 安徽卷理)设 a <b,函数 y = ( x a ) 2 ( x b) 的图像可能是 ( )

答案 C 解析

y / = ( x a )(3 x 2a b) ,由 y / = 0 得 x = a, x =

大值 0,当 x =

2a + b 时 y 取极小值且极小值为负。故选 C。 3

2a + b ,∴当 x = a 时, y 取极 3

或当 x < b 时 y < 0 ,当 x > b 时, y > 0 选 C 15.(2009 安徽卷文)设
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,函数

的图像可能是





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答案 C 解析 可得 x = a, x = b为y = ( x a ) 2 ( x b) = 0 的两个零解. 当 x < a 时,则 x < b ∴ f ( x ) < 0 当 a < x < b 时,则 f ( x ) < 0, 当 x > b 时,则 f ( x ) > 0. 选 C。

x2 3x + 4 16.(2009 江西卷文)函数 y = 的定义域为 ( x B. [ 4, 0) C. (0, 1] D. [ 4, 0) ∪ (0, 1] A. [ 4, 1]
答案 D 解析 由





x≠0

2 x 3x + 4 ≥ 0

得 4 ≤ x < 0 或 0 < x ≤ 1 ,故选 D.

17.(2009 江西卷文)已知函数 f ( x ) 是 ( ∞, +∞ ) 上的偶函数,若对于 x ≥ 0 ,都有

f ( x + 2) f ( x) ,且当 x ∈ [0, 2) 时, f ( x) = log 2 ( x + 1) = ,则 f ( 2008) + f (2009) 的
值为 ( ) A. 2 答案 C 解析

B. 1

C. 1

D. 2

f (2008) + f (2009) = f (0) + f (1) = log1 + log 2 = 1 ,故选 C. 2 2

y

18.(2009 江西卷文)如图所示,一质点 P ( x, y ) 在 xOy 平面上沿曲线运动, 速度大小不 变,其在 x 轴上的投影点 Q ( x, 0) 的运动速度 V = V (t ) 的图象
O

P ( x, y )

大致为

(

)

Q( x, 0)

x

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V (t )

V (t )

V (t )

V (t )

A

O t

B

t

O

C

t O

D

t

O
答案 B

解析 由图可知,当质点 P ( x, y ) 在两个封闭曲线上运动时,投影点 Q ( x, 0) 的速度先 由正到 0、到负数,再到 0,到正,故 A 错误;质点 P ( x, y ) 在终点的速度是由大到小 接近 0,故 D 错误;质点 P ( x, y ) 在开始时沿直线运动,故投影点 Q ( x, 0) 的速度为常 数,因此 C 是错误的,故选 B . 19.(2009 江西卷理)函数 y = ( ) B. (4, 1) C. ( 1, 1) D. (1,1]

ln( x + 1) x2 3x + 4

的定义域为

A. ( 4, 1) 答案 C 解析 由

x > 1 1 < x < 1 .故选 C x 3 x + 4 > 0 4 < x < 1
2

x +1 > 0

20.( 2009 江西卷理)设函数 f ( x) =

ax 2 + bx + c (a < 0) 的定义 域为 D ,若所有 点

( s, f (t ))( s, t ∈ D) 构成一个正方形区域,则 a 的值为
( A. 2 答案 B ) B. 4 C. 8 D.不能确定

解析

b 2 4ac 4ac b 2 | x1 x2 |= f max ( x) , = ,| a |= 2 a , a = 4 ,选 B 4a a2

x 2 4 x + 6, x ≥ 0 21.(2009 天津卷文)设函数 f ( x) = 则不等式 f ( x ) > f (1) 的解集是 x + 6, x < 0
( ) A. (3,1) ∪ (3,+∞) C. (1,1) ∪ (3,+∞)
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B. ( 3,1) ∪ ( 2,+∞) D. (∞,3) ∪ (1,3)
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答案 解析

A 由已知,函数先增后减再增

当 x ≥ 0 , f ( x ) ≥ 2 f (1) = 3 令 f ( x ) = 3, 解得 x = 1, x = 3 。 当 x < 0 , x + 6 = 3, x = 3 故 f ( x ) > f (1) = 3 ,解得 3 < x < 1或x > 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 22.(2009 天津卷文)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f’(x),且 2f(x)+xf’(x)>x 2 ,x 下面的不等 式在 R 内恒成立的是 ( ) A. f ( x) > 0 B. f ( x) < 0 C. f ( x) > x D. f ( x) < x

答案 A 解析 由已知,首先令 x = 0 ,排除 B,D。然后结合已知条件排除 C,得到 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点,考 查了分析问题和解决问题的能力。 23.(2009 湖 北 卷 理 ) 设 a 为 非 零 实 数 , 函 数

1 ax 1 ( x ∈ R, 且x ≠ )的反函数是 ( ) 1 + ax a 1 ax 1 1 + ax 1 A、 y = ( x ∈ R , 且x ≠ ) B、 y = ( x ∈ R , 且x ≠ ) 1 + ax a 1 ax a y=
C、 y = 答案 解析

1+ x ( x ∈ R, 且x ≠ 1) a (1 x)
D 由原函数是 y =

D、 y =

1 x ( x ∈ R, 且x ≠ 1) a (1 + x)

1 ax 1 ( x ∈ R, 且x ≠ ) ,从中解得 1 + ax a

x=

1 y 1 y ( y ∈ R, 且y ≠ 1) 即原函数的反函数是 x = ( y ∈ R, 且y ≠ 1) ,故 a (1 + y ) a (1 + y )

选择 D 24..(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 R ( t ) 。若球的体积以均匀速度 c 增长,则 球的表面积的增长速度与球半径 ( ) A.成正比,比例系数为 C C.成反比,比例系数为 C 答案 D

B. 成正比,比例系数为 2C D. 成反比,比例系数为 2C

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解析

由题意可知球的体积为 V (t ) =

4 π R3 (t ) ,则 c = V ' (t ) = 4π R 2 (t ) R ' (t ) ,由此可 3

c = 4π R(t ) ,而球的表面积为 S (t ) = 4π R 2 (t ) , ' R(t ) R (t )
所以 v表=S (t ) = 4π R (t ) = 8π R (t ) R (t ) ,
' 2 '

即 v表=8π R (t ) R (t )=2 × 4π R (t ) R (t )=
' '

2c 2c R ' (t )= ,故选 ' R(t ) R (t ) R(t )

25.(2009 四川卷文)已知函数 f (x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意 实数 x 都有

5 xf ( x + 1) = (1 + x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 2 1 A. 0 B. C. 1 2
答案 解析 A 若 x ≠0,则有 f ( x + 1) =

( D.

)

5 2

1+ x 1 f ( x) ,取 x = ,则有: x 2

1 2 f ( 1 ) = f ( 1 ) = f ( 1 ) (∵ f (x ) 是偶函数,则 1 2 2 2 2 1 1 1 f ( ) = f ( ) )由此得 f ( ) = 0 于是 2 2 2 3 1 1+ 1+ 5 3 2 f ( 3 ) = 5 f ( 3 ) = 5 f ( 1 + 1) = 5 [ 2 ] f ( 1 ) = 5 f ( 1 ) = 0 f ( ) = f ( + 1) = 3 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2 b 26.(2009 福建卷理)函数 f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0) 的图象关于直线 x = 对称。据此 2a 1 1 f ( ) = f ( + 1) = 2 2 1
可推测, 对任意的非零实数 a, c, n, 关于 x 的方程 m [ f ( x ) ] + nf ( x) + p = 0 b, m, p,
2

的解集都不可能是 A. {1, 2} 答案 解析 D B {1, 4} C {1, 2,3, 4}

( D {1, 4,16, 64}

)

本题用特例法解决简洁快速, 对方程 m[ f ( x )]2 + nf ( x ) + P = 0 中 m, n, p 分别

赋值求出 f ( x ) 代入 f ( x ) = 0 求出检验即得. 则满足 f (2 x 1) < f ( ) 27. 2009 辽宁卷文) ( 已知偶函数 f ( x ) 在区间 [ 0, +∞) 单调增加,
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1 3

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的 x 取值范围是 (A) ( 答案 解析

( B.[

)

1 2 , ) 3 3
A

1 2 , ) 3 3

C.(

1 2 , ) 2 3

D.[

1 2 , ) 2 3

由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|)

∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|<

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3
( )

28.(2009 宁夏海南卷理)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值 设 f(x)=min{, x+2,10-x} (x ≥ 0),则 f(x)的最大值为 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 答案 C 29.(2009 陕西卷文)函数 f ( x ) =

2 x 4( x ≥ 4) 的反函数为 1 2 x + 4( x ≥ 2) 2 1 2 1 (D) f ( x) = x + 2( x ≥ 2) 2
B. f
1

(

)

1 2 x + 4( x ≥ 0) 2 1 2 1 (C) f ( x) = x + 2( x ≥ 0) 2
(A) f
1

( x) =

( x) =

学科

答案 解析 故f
1

D 令原式

y = f ( x) = 2 x 4( x ≥ 2)
故选 D.

则y 2 = 2 x 4, 即x =

y2 + 4 y2 = +2 2 2

( x) =

1 2 x + 2( x ≥ 2) 2

30.(2009 陕西卷文)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x2 ∈ [0, +∞)( x1 ≠ x2 ) , 有

f ( x2 ) f ( x1 ) < 0 .则 x2 x1
B. f (1) < f ( 2) < f (3) D. f (3) < f (1) < f ( 2)

(

)

(A) f (3) < f ( 2) < f (1) C. f ( 2) < f (1) < f (3) 答案 解析 A

由 ( x2 x1 )( f ( x2 ) f ( x1 )) > 0 等价,于

f ( x2 ) f ( x1 ) > 0 则 f ( x) 在 x2 x1

x1 , x2 ∈ ( ∞, 0]( x1 ≠ x2 ) 上单调递增, 又 f ( x ) 是偶函数,故 f ( x ) 在 x1 , x2 ∈ (0, +∞ ]( x1 ≠ x2 ) 单调递减.且满足 n ∈ N * 时, f ( 2) = f (2) , 3>2 > 1 > 0 ,得 f (3) < f (2) < f (1) ,故选 A.

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31.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意 的 x1 , x2 ∈ ( ∞, 0]( x1 ≠ x2 ) ,有 ( x2 x1 )( f ( x2 ) f ( x1 )) > 0 . 则当 n ∈ N 时,有
*

( B. f ( n 1) < f ( n) < f ( n + 1) D. f ( n + 1) < f ( n 1) < f ( n)

)

(A) f ( n) < f ( n 1) < f ( n + 1) C. C. f ( n + 1) < f ( n) < f ( n 1) 答案 C

解析:x1 , x2 ∈ (∞, 0]( x1 ≠ x2 ) ( x2 x1 )( f ( x2 ) f ( x1 )) > 0 x2 > x1时,f ( x2 ) > f ( x1 ) f ( x)在(∞, 0]为增函数 f ( x)为偶函数 f ( x)在(0, ∞]为减函数 + 而n+1>n>n-1>0,∴ f (n + 1) < f (n) < f (n 1) f (n + 1) < f (n) < f (n 1)

32.(2009 四川卷文)已知函数 f (x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意 实数 x 都有 xf ( x + 1) = (1 + x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 ( A. 0 答案 解析 A 若 x ≠0,则有 f ( x + 1) = ) B.

5 2

1 2

C. 1

D.

5 2

1+ x 1 f ( x) ,取 x = ,则有: x 2

1 1 f ( ) = f ( + 1) = 2 2

1

1 2 f ( 1 ) = f ( 1 ) = f ( 1 ) ( ∵ f (x ) 是 偶 函 数 , 则 1 2 2 2 2

1 1 f ( ) = f ( ) ) 2 2 1 由此得 f ( ) = 0 于是, 2 3 1 1+ 1+ 5 3 2 f ( 3 ) = 5 f ( 3 ) = 5 f ( 1 + 1) = 5 [ 2 ] f ( 1 ) = 5 f ( 1 ) = 0 f ( ) = f ( + 1) = 3 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2
33.(2009 湖北卷文)函数 y = A. y =
1 + 2x 1 ( x ∈ R, 且x ≠ ) 1 2x 2 1 2x 1 ( x ∈ R, 且x ≠ ) 的反函数是 1 + 2x 2

(

)

B. y =

1 2x 1 ( x ∈ R, 且x ≠ ) 1 + 2x 2

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C. y = 答案 解析

1+ x ( x ∈ R, 且x ≠ 1) 2(1 x)

D. y =

1 x ( x ∈ R, 且x ≠ 1) 2(1 + x)

D 可反解得 x =

1 y 1 x 1 且可得原函数中 y∈R、y≠-1 所以 故 f ( x) 2(1 + y ) 2(1 + x )

f 1 ( x )

1 x 且 x∈R、x≠-1 选 D 2(1 + x )
x ( x ≥ 0) 的图像分别对 1+ λ x
( B 0 < λ < λ1 D λ2 < λ1 < 0 )

34.(2009 湖南卷理)如图 1,当参数 λ = λ2 时,连续函数 y = 应曲线 C1 和 C2 , 则 A 0 < λ1 < λ C λ1 < λ2 < 0 答案 解析 B 解析由条件中的函数是分式无理型函数, 先由函

数在 (0, +∞ ) 是连续的,可知参数 λ1 > 0, λ2 > 0 ,即排除 C,D 项,又取 x = 1 ,知对应 函数值 y1 =

1 1 , y2 = ,由图可知 y1 < y2 , 所以 λ1 > λ2 ,即选 B 项。 1 + λ1 1 + λ2

35.(2009 湖南卷理)设函数 y = f ( x) 在( ∞ ,+ ∞ )内有定义。对于给定的正数 K,定义 函数 ( )

f ( x), f ( x) ≤ K f k ( x) = K , f ( x) > K
取函数 f ( x ) = 2 x e 。若对任意的 x ∈ (+∞, ∞ ) ,恒有 f k ( x ) = f ( x ) ,则 ( A.K 的最大值为 2 C.K 的最大值为 1 答案 D 解析 由 f '( x ) = 1 e x = 0, 知 x = 0 , 所以 x ∈ ( ∞, 0) 时,f '( x ) > 0 , x ∈ (0, +∞ ) 当 B. K 的最小值为 2 D. K 的最小值为 1
1

)

时 , f '( x ) < 0 , 所 以 f ( x ) max = f (0) = 1, 即 f ( x ) 的 值 域 是 ( ∞,1] , 而 要 使

f k ( x) = f ( x) 在 R 上恒成立,结合条件分别取不同的 K 值,可得 D 符合,此时
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f k ( x) = f ( x) 。故选 D 项。
x 2 + 4 x, 36.(2009 天津卷理)已知函数 f ( x ) = 2 4 x x , x≥0 x<0
若 f (2 a 2 ) > f ( a ), 则实数

a
的取值范围是 A ( ∞, 1) ∪ (2, +∞ ) B (1, 2) C ( 2,1) ( D ( ∞, 2) ∪ (1, +∞ ) )

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 解析:由题知 f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 a > a ,解得 2 < a < 1 ,故选择
2

C。 37.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意 实数 x 都有 xf ( x + 1) = (1 + x ) f ( x ) ,则 f ( f ( )) 的值是 A.0 B.

5 2

( D.

)

1 2

C.1

5 2

【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法,综合题。 (同文 12) 答案 A 解析 令x=

1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 f ( ) = f ( ) = f ( ) f ( ) = 0 ;令 x = 0 ,则 2 2 2 2 2 2 2 2

f ( 0) = 0
由 xf ( x + 1) = (1 + x ) f ( x ) 得 f ( x + 1) =

x +1 f ( x ) ,所以 x

5 3 5 3 5 3 5 1 5 f ( ) = 2 f ( ) = f ( ) = 2 f ( ) = 0 f ( f ( )) = f (0) = 0 ,故选择 A。 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2
38.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数 y = ( ) A . f ( x ) = ln x 答案 A 解析 解析 由 y = B. f ( x ) =

1 有相同定义域的是 x

1 x

C. f ( x ) =| x |

D. f ( x ) = e x

1 1 可得定义域是 x > 0. f ( x ) = ln x 的定义域 x > 0 ; f ( x ) = 的定 x x

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义域是 x ≠0; f ( x ) =| x | 的定义域是 x ∈ R; f ( x) = e 定义域是 x ∈ R 。故选 A.
x

则在 ( 2,0 ) 上, 39. (2009 福建卷文) 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 的部分图像如右图所示, 下列函数中与 f ( x ) 的单调性不同的是 ( A. y = x 2 + 1 B. y =| x | +1 C. y = )

2 x + 1, x ≥ 0
3 x + 1, x < 0

e x , x ≥ o D. y = x e , x < 0
答案 C 解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,故可知求在 ( 2,0 ) 上单

调递减,注意到要与 f ( x ) 的单调性不同,故所求的函数在 ( 2,0 ) 上应单调递增。而函 数 y = x 2 + 1 在 ( ∞,1] 上 递 减 ; 函 数 y = x + 1 在 ( ∞, 0] 时 单 调 递 减 ; 函 数

2 x + 1, x 0 y= 3 在( ∞,0] 上单调递减,理由如下 y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增, x + 1, x 0
显然符合题意; 而函数 y = 不符合题意,综上选 C。 40.(2009 重庆卷文)把函数 f ( x ) = x 3 3 x 的图像 C1 向右平移 u 个单位长度,再向下平 移 v 个单位长度后得到图像 C2 .若对任意的 u > 0 ,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点, 则 v 的最小值为 ( ) A. 2 B. 4 答案 B 解析

e x , x ≥ 0 x , y’=- e <0(x<0),故其在 ∞,0] 上单调递减, 有 ( x e , x 0

C. 6

D. 8

根据题意曲线 C 的解析式为 y = ( x u )3 3( x u ) v, 则方程

1 ( x u )3 3( x u ) v = x3 3 x ,即 3ux 2 (u 3 3u + v) ≤ 0 ,即 v ≥ u 3 + 3u 对任意 4

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u>0

恒成立,于是 v ≥

u>0

1 3 1 u + 3u 的最大值,令 g (u ) = u 3 + 3u (u > 0), 则 4 4 3 2 3 g ((u ) = u + 3 = (u 2)(u + 2) 由此知函数 g (u ) 在(0,2)上为增函 4 4

数, (2, +∞ ) 上为减函数, 在 所以当 u = 2 时, 函数 g (u ) 取最大值, 即为 4, 于是 v ≥ 4 。 41.(2009 重庆卷理)若 f ( x ) = 答案

1 + a 是奇函数,则 a = 2 1
x



1 2
解法 1 f ( x) =

解析

1 2x +a = + a, f ( x) = f ( x) 2 x 1 1 2x



2x 1 1 2x 1 + a = ( x + a ) 2a = = 1故a = x x x 1 2 2 1 1 2 1 2 2

42(2009 上海卷文) 函数 f(x)=x3+1 的反函数 f-1(x)=_____________. 答案 解析
3

x 1

由 y=x3+1,得 x= 3 y 1 ,将 y 改成 x,x 改成 y 可得答案。

44(2009 北京文)已知函数 f ( x) =

3x , x ≤ 1, 若 f ( x) = 2 ,则 x = x, x > 1,

.

.w.w. k. s.5

答案
5.u.c

log 3 2

.w

解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算 的考查. 由

x ≤ 1
x

x > 1 x = log 3 2 , 无解,故应填 log 3 2 . x = 2 x = 2 3 = 2

1 x, x < 0 45. ( 2009 北 京 理 ) 若 函 数 f ( x) = ( 1 ) x , x ≥ 0 3
____________. 答案

则 不 等 式 | f ( x) |≥

1 的解集为 3

[ 3,1]

解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查.

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x < 0 1 (1)由 | f ( x) |≥ 1 1 3 ≤ x < 0 . 3 ≥ x 3 x ≥ 0 x ≥ 0 1 x (2)由 | f ( x) |≥ 1 1 1 x 1 0 ≤ x ≤ 1 . 3 ≥ ≥ 3 3 3 3
1 的解集为 { x | 3 ≤ x ≤ 1} ,∴应填 [ 3,1] . 3 5 1 x 46.(2009 江苏卷)已知 a = ,函数 f ( x ) = a ,若实数 m 、 n 满足 f ( m) > f ( n) , 2
∴不等式 | f ( x ) |≥ 则 m 、 n 的大小关系为 解析 . 考查指数函数的单调性。

a=

5 1 ∈ (0,1) ,函数 f ( x) = a x 在 R 上递减。由 f (m) > f (n) 得:m<n 2

47.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) , 满足 f ( x 4) = f ( x ) ,且在区间[0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 [ 8,8] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 + x2 + x3 + x4 = _________ .
答案 -8

解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x 4) = f ( x ) ,所以 f ( x 4) = f ( x ) ,所以, 由 f (x ) 为奇函数,所以函数图象关于直线 x = 2 对称且 f (0) = 0 ,由 f ( x 4) = f ( x ) 知 f ( x 8) = f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 f (x ) 在区间[0,2]上是增 函数,所以 f (x ) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间

[ 8,8] 上 有 四 个 不 同 的 根

x1 , x2 , x3 , x4 , 不 妨 设 x1 < x2 < x3 < x4 由 对 称 性 知

x1 + x2 = 12 x3 + x4 = 4 所以 x1 + x2 + x3 + x4 = 12 + 4 = 8

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

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【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 14.(2009 四川卷文)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f : V → V , a ∈ V , 记 a 的象为 f ( a ) 。若映射 f : V → V 满足:对所有 a、b ∈ V 及任意实数 λ , 都有

f (λ a + b) = λ f (a ) + f (b) ,则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题:
①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ∈ V ,则 f ( a + b) = f (a ) + f (b) ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ∈ V , 设f ( a ) = a + e ,则 f 是平面 M 上的线性变 换; ③对 a ∈ V , 设f ( a ) = a ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ∈ V ,则对任意实数 k 均有 f ( ka ) = kf ( a ) 。 其中的真命题是 答案 ①③④ 解析 (写出所有真命题的编号)

①:令 λ = = 1 ,则 f ( a + b) = f ( a ) + f (b) 故①是真命题

同理,④:令 λ = k , = 0 ,则 f ( ka ) = kf ( a ) 故④是真命题 ③:∵ f (a ) = a ,则有 f (b) = b

f (λa + b) = (λa + b) = λ (a ) + (b) = λf (a ) + f (b) 是线性变换, 故③是
真命题 ②:由 f ( a ) = a + e ,则有 f (b) = b + e

f (λa + b) = (λa + b) + e = λ (a + e) + (b + e) e = λf (a ) + f (b) e
∵ e 是单位向量, e ≠0,故②是假命题 备考提示】 【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意 新 颖,突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质。 48.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知二次函数 y = g (x ) 的导函数的图像与直线 y = 2 x 平行,且 y = g (x ) 在 x =-1 处取 得最小值 m-1(m ≠ 0 ).设函数 f ( x) =

g ( x) x

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(1)若曲线 y = f (x ) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k ( k ∈ R ) 如何取值时,函数 y = f ( x ) kx 存在零点,并求出零点. 解 (1)设 g ( x ) = ax + bx + c ,则 g ′ ( x ) = 2ax + b ;
2

又 g ′ ( x ) 的图像与直线 y = 2 x 平行 又 g ( x ) 在 x = 1 取极小值,

∴ 2a = 2


a =1



b = 1 2

b=2

∴ g ( 1) = a b + c = 1 2 + c = m 1 ,
f ( x) =
2

c = m;

g ( x) x
2 0

= x+

m +2, x
2 2 0

设 P xo , yo
2

(

)

则 PQ = x + ( y0 2 )

m m2 2 = x + x0 + = 2 x0 + 2 + 2 ≥ 2 2m 2 + 2 x0 x0
m=± 2 ; 2 m +2=0, x

∴ 2 2m 2 + 2 = 4

(2)由 y = f ( x ) kx = (1 k ) x + 得

(1 k ) x 2 + 2 x + m = 0

( *)

m m ,函数 y = f ( x ) kx 有一零点 x = ; 2 2 1 当 k ≠ 1 时,方程 (*) 有二解 = 4 4m (1 k ) > 0 ,若 m > 0 , k > 1 , m
当 k = 1 时,方程 (*) 有一解 x = 函数 y = f ( x ) kx 有两个零点 x =
2 ± 4 4m (1 k ) 2 (1 k ) = 1 ± 1 m (1 k ) k 1

;若 m < 0 ,

k < 1

1 2 ± 4 4m (1 k ) 1 ± 1 m (1 k ) ,函数 y = f ( x ) kx 有两个零点 x = ; = m 2 (1 k ) k 1 k = 1 1 , 函数 m

当 k ≠ 1 时 , 方 程 (*) 有 一 解 = 4 4m (1 k ) = 0 ,

y = f ( x ) kx 有一零点 x =

49.(2009 浙江理) (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = x 3 ( k 2 k + 1) x 2 + 5 x 2 ,

1 k 1

g ( x) = k 2 x 2 + kx + 1 ,
其中 k ∈ R . (I)设函数 p ( x ) = f ( x ) + g ( x ) .若 p ( x ) 在区间 (0, 3) 上不单调,求 k 的取值范围; ...
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(II)设函数 q ( x) = 一

g ( x), x ≥ 0, f ( x), x < 0.

是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟

的非零实数 x2 ( x2 ≠ x1 ) ,使得 q′( x2 ) = q′( x1 ) 成立?若存在,求 k 的值;若不存 在,请说明理由. 解 (I)因 P ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = x 3 + ( k 1) x 2 + ( k + 5) 1 ,

p′ ( x ) = 3x 2 + 2(k 1) x + (k + 5) ,因 p ( x) 在区间 (0, 3) 上不单调,所以 p′ ( x ) = 0 在 ....

( 0,3) 上有实数解,且无重根,由 p′ ( x ) = 0 得 k (2 x + 1) = (3x 2 2 x + 5),
∴k = (3x 2 2 x + 5) 3 9 10 = ( 2 x + 1) + , t = 2 x + 1, 有 t ∈ (1, 7 ) , 令 记 2x +1 4 2x + 1 3

9 h(t ) = t + , 则 h ( t ) 在 (1,3] 上单调递减, [3, 7 ) 上单调递增, 在 所以有 h ( t ) ∈ [ 6,10 ) , t
于是 ( 2 x + 1) +

9 ∈ [ 6,10 ) , k ∈ ( 5, 2] , 得 而当 k = 2 时有 p′ ( x ) = 0 在 ( 0,3) 2x +1

上有两个相等的实根 x = 1 ,故舍去,所以 k ∈ ( 5, 2 ) ; (II)当 x < 0 时有 q′ ( x ) = f ′ ( x ) = 3 x 2( k k + 1) x + 5 ;
2 2

当 x > 0 时有 q′ ( x ) = g ′ ( x ) = 2k x + k ,因为当 k = 0 时不合题意,因此 k ≠ 0 ,
2

下面讨论 k ≠ 0 的情形, A = ( k , +∞) , ( 5, +∞ ) 记 B= (ⅰ) x1 > 0 时, ′ ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 当 q 上单调递增,所以要使 q′ ( x2 ) = q′ ( x1 ) 成立,只能 x2 < 0 且 A B ,因此有 k ≥ 5 , (ⅱ)当 x1 < 0 时, q′ ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上单调递减,所以要使 q′ ( x2 ) = q′ ( x1 ) 成立, 只能 x2 > 0 且 A B ,因此 k ≤ 5 ,综合(ⅰ) (ⅱ) k = 5 ; 当 k = 5 时 A=B, x1 < 0, q′ ( x1 ) ∈ B = A , x2 > 0, 使得 q′ ( x2 ) = q′ ( x1 ) 成立, 则 即 因为 q′ ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上单调递增,所以 x2 的值是唯一的; 同理, x1 < 0 ,即存在唯一的非零实数 x2 ( x2 ≠ x1 ) ,要使 q′ ( x2 ) = q′ ( x1 ) 成立, 所以 k = 5 满足题意. 7.(2009 江苏卷)(本小题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

f ( x) = 2 x 2 + ( x a) | x a | .

f (0) ≥ 1 ,求 a 的取值范围; f ( x) 的最小值;
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(3)设函数 h( x) = 的解集. 解

f (x), x ∈(a, +∞) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ≥ 1 ....

本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考

查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。 满分 16 分 (1)若

f (0) ≥ 1 ,则 a | a |≥ 1
2

a < 0

2 a ≥ 1

a ≤ 1
2 f (a ), a ≥ 0 2a , a ≥ 0 = a = 2a 2 f ( ), a < 0 ,a < 0 3 3

(2)当 x ≥ a 时, f ( x) = 3 x 2ax + a , f ( x) min
2

当 x ≤ a 时, f ( x) = x + 2ax a , f ( x ) min
2 2

2 f ( a ), a ≥ 0 2a , a ≥ 0 = = 2 2a , a < 0 f (a ), a < 0

综上 f ( x) min

2a 2 , a ≥ 0 = 2a 2 ,a < 0 3
2 2

(3) x ∈ ( a, +∞) 时, h( x ) ≥ 1 得 3 x 2ax + a 1 ≥ 0 ,

= 4a 2 12(a 2 1) = 12 8a 2
当a ≤

6 6 或a ≥ 时, ≤ 0, x ∈ ( a, +∞) ; 2 2



a 3 2a 2 a + 3 2a 2 6 6 )( x )≥0 <a< 时,△>0,得: ( x 3 3 2 2 x > a

讨论得:当 a ∈ ( 当 a ∈ ( 当 a ∈ [

2 6 , ) 时,解集为 (a, +∞) ; 2 2

6 2 a 3 2a 2 a + 3 2a 2 , ) 时,解集为 (a, ]∪[ , +∞) ; 2 2 3 3 2 2 a + 3 2a 2 , ] 时,解集为 [ , +∞) . 2 2 3

50.(2009 年上海卷理)已知函数 y = f ( x ) 的反函数。定义:若对给定的实数 a ( a ≠ 0) , 函数 y = f ( x + a ) 与 y = f
1

( x + a ) 互为反函数,则称 y = f ( x ) 满足“ a 和性质” ;若

函数 y = f ( ax ) 与 y = f 1 ( ax ) 互为反函数,则称 y = f ( x ) 满足“ a 积性质” 。

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(1) 判断函数 g ( x) = x + 1( x > 0) 是否满足“1 和性质” ,并说明理由;
2

(2) 求所有满足“2 和性质”的一次函数; 。求 y = f ( x ) 的表达式。 (3) 设函数 y = f ( x )( x > 0) 对任何 a > 0 ,满足“ a 积性质” 解 (1)函数 g ( x) = x 2 + 1( x > 0) 的反函数是 g 1 ( x ) =

x 1( x > 1)

∴ g 1 ( x + 1) = x ( x > 0)
2 而 g ( x + 1) = ( x + 1) + 1( x > 1), 其反函数为 y =

x 1 1( x > 1)

故函数 g ( x ) = x 2 + 1( x > 0) 不满足“1 和性质” (2)设函数 f ( x ) = kx + b( x ∈ R ) 满足“2 和性质” k ≠ 0. ,

∴ f 1 ( x ) =

xb x+ 2b ( x ∈ R ),∴ f 1 ( x + 2) = …….6 分 k k x b 2k 而 f ( x + 2) = k ( x + 2) + b( x ∈ R ), 得反函数 y = ………….8 分 k x + 2 b x b 2k 由“2 和性质”定义可知 = 对 x ∈ R 恒成立 k k

∴ k = 1, b ∈ R, 即所求一次函数为 f ( x) = x + b(b ∈ R ) ………..10 分
(3) a > 0 ,x0 > 0 , 设 且点 ( x0 , y0 ) 在 y = f ( ax ) 图像上, ( y0 , x0 ) 在函数 y = f 则 图象上,
1

(ax)

故 分

f (ax0 ) = y0 ,可得 ay0 = f ( x0 ) = af (ax0 ) ,

.. . ...12

f 1 (ay0 ) = x0
令 ax0 = x ,则 a = 分 综上所述, 1 = b1q 而f
1
n 1

x f ( x0 ) x x 。∴ f ( x0 ) = f ( x) ,即 f ( x) = 0 。 x0 x0 x

... . . .14

= bn f ( x) =

k k k (k ≠ 0) ,此时 f (ax) = ,其反函数就是 y = , x ax ax

(ax) =

k ,故 y = f ( ax ) 与 y = f 1 ( ax ) 互为反函数 。 ax
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2005— 2005—2008 年高考题
一、选择题

1 x 2, x ≤ 1, 1.(2008 年山东文科卷)设函数 f ( x ) = 2 则 x + x 2,x > 1,
A.

1 f 的值为( f (2)
D. 18



15 16

B.

27 16

C.

8 9

答案 A 2.(07 天津)在 R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数, f ( x ) = f (2 x ) ,若 f ( x ) 在区间 [1,2] 且 是减函数,则函数 f ( x ) A.在区间 [ 2,1] 上是增函数,区间 [3,4] 上是增函数 B.在区间 [ 2,1] 上是增函数,区间 [3,4] 上是减函数 C.在区间 [ 2,1] 上是减函数,区间 [3,4] 上是增函数 D.在区间 [ 2,1] 上是减函数,区间 [3,4] 上是减函数 答案 B ( )

3. (07 福建)已知函数 f ( x ) 为 R 上的减函数,则满足 f < f (1) 的实数 x 的取值范围 x 是 A. ( 1,1) C. ( 1,0 ) ∪ (0,1) 答案 C 4.(07 重庆)已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在区间 (8,+∞ ) 上为减函数, 且函数 y = f ( x + 8) 为 偶函数,则 A. f (6 ) > f (7 ) C. f (7 ) > f (9 ) 答案 D 5.(07 安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为 B. f (6 ) > f (9 ) D. f (7 ) > f (10 ) ( ) ( ) B. (0,1) D. ( ∞,1) ∪ (1,+∞ ) ( )

1

3 A. y = | x 1 | (0≤x≤2) 2 3 3 B. y = | x 1 | (0≤x≤2) 2 2
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C. y =

3 | x 1 | (0≤x≤2) 2
(0≤x≤2)

D. y = 1 | x 1 | 答案 B

6.( 13) 6.(2005 年上海 13)若函数 f ( x ) =

1 ,则该函数在 (∞,+∞) 上是 2 +1
x





A.单调递减;无最小值 B.单调递减;有最小值 C.单调递增;无最大值 D.单调递增;有最大值 答案 A 二、填空题 7.(2007 上海春季 5)设函数 y = f (x) 是奇函数. 若 f (2) + f (1) 3 = f (1) + f (2) + 3 (2007 . 则 f (1) + f (2) = 答案

3

8.(2007 年上海)函数 y = (2007 年上海) 答案

{x x < 4 且 x ≠ 3 }

lg( 4 x ) 的定义域是 x 3



( 年安徽卷) 函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x + 2 ) = 9. 2006 年安徽卷) 则f 答案 解析

1 , f (1) = 5, 若 f ( x)

( f ( 5) ) = _______________。
1 5

f ( f ( 5 ) ) = f (5) = f (1) =

1 1 = 。 f (1 + 2) 5
.

( 年上海春 已知函数 f ( x) 是定义在 ( ∞, + ∞ ) 上的偶函数. 当 x ∈ ( ∞, 0 ) 时, 10. 2006 年上海春)

f ( x ) = x x 4 ,则当 x ∈ ( 0, + ∞ ) 时, f ( x) =
答案 -x-x 三、解答题
4

11.(2007 广东) 已知 a 是实数,函数 f ( x ) = 2ax 2 + 2 x 3 a ,如果函数 y = f ( x ) 在区 间

[ 1,1] 上有零点,求 a 的取值范围.
解析 若 a = 0 , f ( x ) = 2 x 3 ,显然在 [ 1,1] 上没有零点, 所以 a ≠ 0 . 令 = 4 + 8a ( 3 + a ) = 8a + 24a + 4 = 0 ,
2

解得 a =

3 ± 7 2

①当 a =

3 7 时, 2

y = f ( x ) 恰有一个零点在 [ 1,1] 上;
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②当 f ( 1) f (1) = (a 1)(a 5) < 0 ,即 1 < a < 5 时, y = f ( x ) 在

[ 1,1] 上也恰有一个零点.
③当 y = f ( x ) 在 [ 1,1] 上有两个零点时, 则

a>0 = 8a 2 + 24a + 4 > 0 1 1 < <1 2a f (1) ≥ 0 f ( 1) ≥ 0
解得 a ≥ 5 或 a <

a<0 = 8a 2 + 24a + 4 > 0 1 1 < <1 或 2a f (1) ≤ 0 f ( 1) ≤ 0

3 5 2 3 5 . 2

综上所求实数 a 的取值范围是 a > 1 或 a ≤

第二部分 四年联考汇编 2010 2010 年联考题
份更新) 题组二(5 月份更新)
一、选择题 1.(安徽两地三校国庆联考)在 R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数,且 f ( x ) = f (2 x ) ,若

f ( x ) 在区间 [1,2] 是减函数,则函数 f ( x )





A.在区间 [ 2,1] 上是增函数,区间 [3,4] 上是增函数 B.在区间 [ 2,1] 上是增函数,区间 [3,4] 上是减函数 C.在区间 [ 2,1] 上是减函数,区间 [3,4] 上是增函数 D.在区间 [ 2,1] 上是减函数,区间 [3,4] 上是减函数 答案 B 2.(昆明一中一次月考理)下列函数既是奇函数,又在区间 [ 1,1] 上单调递减的是 A .

f ( x ) = sin x

B .

f ( x) = x + 1

C .

f ( x ) = ln

2 x 2+ x

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D. f ( x ) = 答案:C

1 x (a + ax ) 2

f ( x) = ln
3.(岳野两校联考)已知函数

e+ x e x ,若 f ( a) = b ,则 f (a) = (
D. b



1 A. b
答案 C


B.

1 b

C. b

4.(安徽两地三校国庆联考) (安徽两地三校国庆联考)函数 f ( x ) = 函数为 ( )

2 x 4( x ≥ 4) 的反

(A)

f 1 ( x) =

1 2 x + 4( x ≥ 0) 2 1 2 x + 2( x ≥ 0) 2

f 1 ( x) =
B.

1 2 x + 4( x ≥ 2) 2 1 2 x + 2( x ≥ 2) 2

(C)

f 1 ( x) =

f 1 ( x) =
(D)

答案 D 5. (师大附中理)已知函数 f ( x ) = sin

x π ,如果存在实数 x1 , x2 使得对任意实数 x , 4 3

都有 f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) ,则 | x1 x2 | 的最小值是 A. 8π 答案:B B.4 π C. 2π D. π

6.(安徽六校联考)函数 f ( x) = log 2 x 3sin(2π x) 零点的个数是(

)

A. 13
答案 C

B. 14

C. 15

D. 16

f ( x) ≤ M x 7.如果函数 f ( x) 对任意的实数 x ,存在常数 M,使得不等式 恒成立,那么
就称函数 f ( x) 为有界泛函,下面四个函数:

① f ( x) = 1 ;

② f ( x) = x ;③ f ( x ) = (sin x + cos x ) x ; ④
2

f ( x) =

x x + x +1 .
2

其中属于有界泛函的是( A. ①② B. ③④ 答案 B

) . C. ①③ D. ②④

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8. (师大附中理) ABC 中,如果边 a, b, c 满足 a ≤ A.一定是锐角 能 答案:A 9. (三明市三校联考)函数 f(x) = ln x A. (1, 2) 答案 B B. (2,e)
2

1 (b + c) ,则 ∠A 2
D.以上情况都有可

B.一定是钝角

C.一定是直角

2 的零点所在的大致区间是 x
C. (e,3)





D. (e,+∞)

10.(昆明一中一次月考理)二次方程 ax + 2 x + 1 = 0, ( a ≠ 0) 有一个正根和一个负根的充 分不必要条件是 A、 a < 0 答案:C B、 a > 0 C 、 a < 1 D、 a > 1

11.(昆明一中一次月考理)已知 y = f ( x) 是其定义域上的单调递增函数,它的反函数是

y = f 1 ( x) ,且 y = f ( x + 1) 的图象过 A(4, 0), B(2,3) 两点,若 | f 1 ( x + 1) |≤ 3 ,
则 x 的取值范围是 A、 [ 4, 2] 答案:B B、 [ 1, 2] C、 [0, 3] D、 [1,3]

二、填空题 1.
2 对于任意 a ∈ [ 1,1] ,函数 f ( x) = x + (a 4) x + 4 2a 的值恒大于零,那么 x 的取

值范围是 答案 (∞,1) ∪ (3,+∞)

.

1 1 ( , ) 2. (安徽两地三校国庆联考)若函数 f (x) = 4x3-ax+3 的单调递减区间是 2 2 ,则实
数 a 的值为 答案 3 三、解答题 1. 池州市七校元旦调研) ( 设函数 f ( x ) = x + aIn (1 + x ) 有两个极值点 x1、x2 , x1 < x2 , 且
2

求 a 的取值范围,并讨论 f ( x ) 的单调性; 解: (I) f ′ ( x ) = 2 x +

a 2 x2 + 2 x + a = ( x > 1) 1+ x 1+ x

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令 g ( x) = 2 x + 2 x + a ,其对称轴为 x =
2

1 。由题意知 x1、x2 是方程 g ( x ) = 0 的两个 2

均大于 1 的不相等的实根,其充要条件为

= 4 8a > 0 1 ,得 0 < a < 2 g (1) = a > 0

⑴当 x ∈ ( 1, x1 ) 时, f ′ ( x ) > 0,∴ f ( x) 在 (1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ∈ ( x1 , x2 ) 时, f ′ ( x ) < 0,∴ f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ∈ ( x2, + ∞ ) 时, f ′ ( x ) > 0,∴ f ( x) 在 ( x2, + ∞ ) 内为增函数;

2. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) = 2 x ln x 2 . (I)求 f ( x ) 的单调区间;

xm > x (II)若不等式 ln x 恒成立,求实数 m 的取值组成的集合.
x 1 x ,……………………2 分

解: (I)由已知得 x > 0 .因为

f / ( x) =

1 1 = x x

/ / 所以当 x ∈ (0,1) f ( x ) < 0, x ∈ (1, +∞ ), f ( x ) > 0 .

故区间 (0,1) 为 f ( x ) 的单调递减区间, 区间 (1, +∞) 为 f ( x ) 的单调递增区间. ……………………5 分

xm > x m > x x ln x (II)(i)当 x ∈ (0,1) 时, ln x . g / ( x) = 1 ln x 1 2 x ln x 2 f ( x) = = 2 x x 2 x 2 x .……7 分

令 g ( x) = x

x ln x ,则

/ 由(1)知当 x ∈ (0,1) 时,有 f ( x ) > f (1) = 0 ,所以 g ( x) > 0 ,

即得 g ( x ) = x 所以 m ≥ 1 .

x ln x 在 (0,1) 上为增函数,所以 g ( x) < g (1) = 1 ,
……………………10 分

xm > x m < x x ln x x ∈ (1, +∞) 时, ln x . (ii)当
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由①可知,当 x ∈ (1, +∞) 时, g ( x ) = x 所以 m ≤ 1 。

x ln x 为增函数,所以 g ( x) > g (1) = 1 ,

综合以上,得 m = 1 .故实数 m 的取值组成的集合为 {1} .

……………………13 分

3. (安庆市四校元旦联考) (满分 16 分)设函数 f ( x ) = 当 x = 1+

1 3 x x 2 + ax , g ( x) = 2 x + b , 3

2 时, f (x) 取得极值。
2 ) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值;

⑴求 a 的值,并判断 f (1 +

⑵当 x ∈ [3,4] 时,函数 f (x ) 与 g (x ) 的图象有两个公共点,求 b 的取值范围。

解: (1)由题意

f ′( x) = x 2 2 x + a
∴ 所以 f ′(1 + 2 ) = 0

∵ 当 x = 1 + 2 时, f (x) 取得极值,

∴ 1+ 2

(

)

2

2 1 + 2 + a = 0 ∴即

(

)

a = 1

此时当 x < 1 +

2 时, f ′( x) < 0 ,当 x > 1 + 2 时, f ′( x) > 0 ,

f (1 + 2 ) 是函数 f (x) 的最小值。
(2)设 f ( x ) = g ( x ) ,则 设 F ( x) =

1 3 1 x x 2 3x b = 0 , b = x 3 x 2 3x 3 3

1 3 x x 2 3 x , G ( x) = b 3

F ′( x) = x 2 2 x 3 ,令 F ′( x) = x 2 2 x 3 = 0 解得 x = 1 或 x = 3
列表如下:

x
F ′( x) F ( x)

3

(3,1)

1 0 5 3

(1,3)
__

3
0

(3,4)
+

4

+
9

9



20 3

∴ 函数 F ( x) 在 (3,1) 和 (3,4) 上是增函数,在 (1,3) 上是减函数。

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当 x = 1 时, F (x ) 有极大值 F ( 1) =

5 ;当 x = 3 时, F (x ) 有极小值 F (3) = 9 3

∵ 函数 f (x) 与 g (x) 的图象有两个公共点,∴ 函数 F (x) 与 G (x) 的图象有两个公共点

20 5 <b< 或 b = 9 3 3 20 5 ∴ b ∈ ( , ) ∪ { 9} 3 3

4. ( 哈 师 大 附 中 、 东 北 师 大 附 中 、 辽 宁 省 实 验 中 学 ) 已 知 函 数

1 f ( x) = ln x ax 2 2 x(a < 0). 2
(1)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2)若 a =

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) = x + b 在 [1, 4] 上恰有两个不相等的实数根,求 2 2
*

实数 b 的取值范围; (3)设各项为正的数列 {an } 满足: a1 = 1, an +1 = ln an + an + 2, n ∈ N . 求证: a n ≤ 2 1
n

解: (1) f ′( x ) =

ax 2 + 2 x 1 ( x > 0). x
2

依题意 f ′( x ) ≥ 0 在 x > 0 时恒成立,即 ax + 2 x 1 ≤ 0 在 x > 0 恒成立. 则a ≤

1 2x 1 1 = ( 1) 2 1 在 x > 0 恒成立,即 a ≤ (( 1) 2 1) min ( x > 0) 2 x x x 1 2 当 x = 1 时, ( 1) 1 取最小值 1 x
…… 4′

∴ a 的取值范围是 (∞, 1] (2) a =

1 1 1 3 , f ( x) = x + b x 2 x + ln x b = 0. 2 2 4 2 1 2 3 ( x 2)( x 1) 设 g ( x ) = x x + ln x b( x > 0). 则 g ′( x ) = . 列表: 4 2 2x

x
g ′( x) g ( x)
∴ g ( x)


(0,1)

1 0
极大值

(1, 2)

2 0
极小值

(2, 4)

+

小 值




+

极 大 值

= g (2) = ln 2 b 2 , g ( x)
…… 6′

= g (1) = b

5 , 又 4

g (4) = 2 ln 2 b 2

∵ 方程 g ( x) = 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
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g (1) ≥ 0 5 则 g (2) < 0 , 得 ln 2 2 < b ≤ 4 g (4) ≥ 0
(3)设 h( x) = ln x x + 1, x ∈ [1, +∞ ) ,则 h′( x ) =

………… 8′

1 1 ≤ 0 x

∴ h( x) 在 [1, +∞ ) 为减函数,且 h( x) max = h(1) = 0, 故当 x ≥ 1 时有 ln x ≤ x 1 .

∵ a1 = 1. 假设 ak ≥ 1(k ∈ N * ), 则 ak +1 = ln ak + ak + 2 > 1 ,故 an ≥ 1(n ∈ N * ).
从而 an +1 = ln an + an + 2 ≤ 2an + 1. ∴1 + an +1 ≤ 2(1 + an ) ≤ ≤ 2 (1 + a1 ).
n

即 1 + an ≤ 2 ,∴ an ≤ 2 1
n n

………… 12′

份更新) 题组一(1 月份更新)
一、选择题 1、 (2009 广东三校一模)2.函数 f ( x ) = a ln x + x 在 x = 1 处取到极值,则 a 的值为

A.

1 2

B. 1
2 3

C .0

D.

1 2

答案 B 2、 (2009 昆明市期末)函数 y = 27 ( A. )
x2

的最小值是

1 27

B.

1 9

C.9

D.27

答案 B

2x 1 3、 (2009 滨州一模)设函数 f ( x ) = , [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 x 1+ 2 2

y = [ f ( x)] + [ f ( x)] 的值域为
A . {0} 答案 B 4、 (2009 昆明一中第三次模拟)设 f ( x ) = 3 x ,则在下列区间中,使函数 f ( x ) 有零
x 2

B . {1, 0}

C .

{1, 0,1}

D .

{2, 0}

点的区间是( )
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A.

[ 0,1]

B [1, 2]

C.

[ 2, 1]

D.

[ 1, 0]
1 2

答案 D 5、(2009 东莞一模)下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 A. y = sin x 答案 A 6、 (2009 牟定一中期中)将函数 y = 2 x + 1 的图象按向量 a 平移后得到函数 y = 2 x +1 的图 象,则 答案 A 7、 (2009 聊城一模)若 a>2,则函数 f ( x) = ( ) A.0 个零点 答案 B ( ) B. a = (1, 1) C. B y = log 2 x C. y = ( )

1 2

x

D. y = x



A. a = ( 1, 1)

a = (11) ,

D. a = (11) ,

1 3 x ax 2 + 1 在区间(0,2)上恰好有 3
C.2 个零点 D.3 个零点

B.1 个零点

8、 (2009 茂名一模) 已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,且 f ( x + 1) =

1 ,若 f ( x ) 在 f ( x)

[ 1, 0] 上是减函数,那么 f ( x ) 在 [2, 3] 上是 ( )
A. 增函数 答案 A 9、 (2009 玉溪一中期中)函数 y = f (x) 的图像过点 ( 1,) ,则函数 y = f ( x 4) 的图像过 1 ( ) (B) ( 3, 1) (C) (A) (1,) 5 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数

( 5,) 1

(D)

( 1,) 1

答案 C 二、填空题 1、 (2009 滨州一模)给出下列四个结论:
2 2 ; ①命题“ x ∈ R, x x > 0" 的否定是“ x ∈ R, x x ≤ 0 ”

②“若 am 2 < bm 2 , 则 a < b ”的逆命题为真; ③函数 f ( x ) = x sin x (x ∈ R )有 3 个零点; ④对于任意实数 x,有 f ( x ) = f ( x ), g ( x ) = g ( x ), 且 x>0 时, f ′( x ) > 0, g ′( x ) > 0, 则 x<0 时 f ′( x ) > g ′( x ). 其中正确结论的序号是 .(填上所有正确结论的序号)

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答案 ①④ 2、 (2009 宣威六中第一次月考)已知函数 f ( x) = x + 2 xf ′(1) , f ′(1)=
2



答案 -2 3、 (2009 泰安一模)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都 有 f(x+60=f(x)+f(3)成立,当 x1 , x2 ∈ [0,3] ,且 x1 ≠ x2 时,都有 列命题: ①f(3)=0; ②直线 x=一 6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[一 9,一 6]上为增函数; ④函数 y=f(x)在[一 9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为______________(把所有正确命题的序号都填上) .. .. . 答案 ①②④ 4、 (2009 上海闸北区)函数 y = 答案 (0,1] 5、 (2009 重点九校联考)函数 y = 答案

f ( x1 ) f ( x2 ) > 0 给出下 x1 x2

log 0.5 x 的定义域为___________.

2 x + log 3 (1 + x) 的定义域为

.

( 1, 2]

三、解答题 1、 (2009 上海八校联考)对定义在 [0, 1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x ) 称为

G 函数。
① 对任意的 x ∈ [0, 1] ,总有 f ( x ) ≥ 0 ; ② 当 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x1 + x2 ≤ 1 时,总有 f ( x1 + x2 ) ≥ f ( x1 ) + f ( x2 ) 成立。 已知函数 g ( x ) = x 2 与 h( x ) = 2 x b 是定义在 [0, 1] 上的函数。 (1)试问函数 g ( x ) 是否为 G 函数?并说明理由; (2)若函数 h( x ) 是 G 函数,求实数 b 组成的集合;
2 解: (1)当 x ∈ [ 0,1] 时,总有 g( x ) = x ≥ 0 ,满足①,

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当 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x1 + x2 ≤ 1 时,

g( x1 + x 2 ) = ( x1 + x 2 )2 = x12 + x 2 2 + 2x1x 2 ≥ x12 + x 2 2 = g( x1 ) + g( x 2 ) ,满足②
(2) h ( x ) = 2 x b

( x ∈ [0,1]) 为增函数, h ( x ) ≥ h (0) = 1 b ≥ 0
x1 + x 2

∴b ≤ 1

由 h ( x1 + x 2 ) ≥ h ( x1 ) + h ( x 2 ) ,得 2 即 b ≥ 1 ( 2 1 1)( 2 1 1)
x x

b ≥ 2 x1 b + 2 x 2 b ,

因为 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x1 + x2 ≤ 1 所以 0 ≤ 2 1 1 ≤ 1
x

0 ≤ 2x2 1 ≤ 1

x1 与 x 2 不同时等于 1 ∴ 0 < 1 ( 2 x1 1)( 2 x1 1) ≤ 1

∴ 0 ≤ ( 2 x1 1)( 2 x1 1) < 1 ;
x x

当 x1 = x 2 = 0 时, (1 ( 2 1 1)( 2 1 1))max = 1 ; ∴ b ≥ 1 综合上述: b ∈ {1} 2、 (2009 滨州一模)设函数 f ( x ) = p ( x ) 2 ln x, g ( x) = x .
2

1 x

(I)若直线 l 与函数 f ( x ), g ( x ) 的图象都相切,且与函数 f ( x ) 的图象相切于点 (1,0) ,求实数 p 的值; (II)若 f ( x ) 在其定义域内为单调函数,求实数 p 的取值范围; 解: (Ⅰ)方法一:∵ f ( x ) = p +
'

p 2 , x2 x

∴ f ' (1) = 2( p 1) . 设直线 l : y = 2( p 1)( x 1) , 并设 l 与 g(x)=x 相切于点 M( x0 , y0 ) ∵
2

g ′( x) = 2 x

∴2 x0 = 2( p 1)
2

∴ x0 = p 1, y0 = ( p 1)

代入直线 l 方程解得 p=1 或 p=3. 方法二: 将直线方程 l 代入 y = x 2 得

2( p 1)( x 1) = 0
∴ = 4( p 1) 2 8( p 1) = 0 解得 p=1 或 p=3 .

px 2 2 x + p (Ⅱ)∵ f ( x) = , x2
'

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'

①要使 f (x ) 为单调增函数,须 f ( x) ≥ 0 在 (0, +∞ ) 恒成立,
2 即 px 2 x + p ≥ 0 在 (0, +∞ ) 恒成立,即 p ≥

2x 2 = 在 (0, +∞ ) 恒成立, x +1 x + 1 x
2



2 1 x+ x

≤ 1 ,所以当 p ≥ 1 时, f (x) 在 (0, +∞) 为单调增函数; ②要使 f (x) 为单

调减函数,须 f ' ( x) ≤ 0 在 (0, +∞ ) 恒成立,
2 即 px 2 x + p ≤ 0 在 (0, +∞ ) 恒成立,即 p ≤

2x 2 = 在 (0, +∞ ) 恒成立, x +1 x + 1 x
2



2 1 x+ x

> 0 ,所以当 p ≤ 0 时, f (x) 在 (0, +∞) 为单调减函数.

综上,若 f (x ) 在 (0, +∞ ) 为单调函数,则 p 的取值范围为 p ≥ 1 或 p ≤ 0 . 3、 (2009 上海十校联考) 已知函数 f ( x ) = x 2tx + 1 ,x ∈ [ 2,5] 有反函数, 且函数 f ( x )
2

的最大值为 8 ,求实数 t 的值. 解:因为函数有反函数,所以在定义域内是一一对应的 函数 f ( x ) = x 2tx + 1 的对称轴为 x = t ,所以 t ≤ 2 或 t ≥ 5
2

若 t≤2 , 在 区 间

[ 2,5]

上 函 数 是 单 调 递 增 的 , 所 以

f ( x )max = f ( 5) = 25 10t + 1 = 8 ,解得 t =

9 ,符合 5

若 t ≥ 5 ,在区间 [ 2,5] 上函数是单调递减的,所以 f ( x )max = f ( 2 ) = 4 4t + 1 = 8 , 解得 t =

3 ,与 t ≥ 5 矛盾,舍去 4 9 5

综上所述,满足题意的实数 t 的值为

4、 (2009 江门一模)已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + x , a ∈ R 是常数, x ∈ R . ⑴若 y = 2 x + 1 是曲线 y = f ( x ) 的一条切线,求 a 的值; ⑵ m ∈ R ,试证明 x ∈ ( m , m + 1) ,使 f / ( x ) = f ( m + 1) f ( m) .

⑴ f / ( x) = 3 x 2 + 2ax + 1 -------1 分,解 f / ( x ) = 1 得, x = 0 或 x =

2a -------2 分 3

当 x = 0 时, f (0) = 0 , y = 0 + 1 ≠ 0 ,所以 x = 0 不成立-------3 分

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2a 8a 3 4 a 3 2 a 2a 33 2 当x= 时,由 f ( x ) = y ,即 + = + 1 ,得 a = -----5 3 27 9 3 3 2
分 ⑵作函数 F ( x ) = f / ( x ) [ f ( m + 1) f ( m)] -------6 分

F ( x) = 3 x 2 + 2ax (3m 2 + 3m + 2am + a + 1) , 函数 y = F (x ) 在 [ m , m + 1] 上的图
象是一条连续不断的曲线------7 分, F ( m) F (m + 1) = (3m + a + 1)(3m + a + 2) ------8 分 ① 若 (3m + a + 1)(3m + a + 2) > 0 , F ( m) F ( m + 1) < 0 , x ∈ ( m , m + 1) , 使

F ( x) = 0 ,即 f / ( x) = f (m + 1) f (m) -------10 分
②若 (3m + a + 1)(3m + a + 2) < 0 , 2 < 3m + a < 1 ,F ( m + 1) = 3m + a + 2 > 0 ,

a F (m) = (3m + a + 1) > 0 ,F ( x) = 3 x 2 + 2ax (3m 2 + 3m + 2am + a + 1) 当 x = 时 3 a2 3 + 2a 2 1 有最小值 Fmin ( x ) = (3m + 3m + 2am + a + 1) = 3(m + ) < 0 ,且当 3 6 4
2

2 < 3m + a < 1 时 m < m +

1 a 2 < < m + < m + 1 -------11 分, 3 3 3 a a 所 以 存 在 x ∈ ( m , ) ( 或 x ∈ ( , m + 1) ) 从 而 x ∈ ( m , m + 1) , 使 3 3

F ( x) = 0 ,即 f / ( x) = f (m + 1) f (m) -------12 分
5、 (2009 南华一中 12 月月考)设函数 f ( x ) = 2 x 3 + 3ax 2 + 3bx + 8c 在 x = 1 及 x = 2 时取 得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ∈ [0, ,都有 f ( x ) < c 2 成立,求 c 的取值范围. 3] 解: (Ⅰ) f ′( x ) = 6 x 2 + 6ax + 3b , 因为函数 f ( x ) 在 x = 1 及 x = 2 取得极值,则有 f ′(1) = 0 , f ′(2) = 0 .



6 + 6a + 3b = 0, 解得 a = 3 , b = 4 .………………………6 分 24 + 12a + 3b = 0.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x ) = 2 x 3 9 x 2 + 12 x + 8c ,

f ′( x) = 6 x 2 18 x + 12 = 6( x 1)( x 2) . ………………………7 分
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当 x ∈ (0, 时, f ′( x ) > 0 ; 1) 当 x ∈ (1, 时, f ′( x ) < 0 ; 2)

3) 当 x ∈ (2, 时, f ′( x ) > 0 .

………………………8 分

所以,当 x = 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) = 5 + 8c ,又 f (0) = 8c , f (3) = 9 + 8c .

3] 则当 x ∈ [ 0, 时, f ( x ) 的最大值为 f (3) = 9 + 8c .
因为对于任意的 x ∈ [ 0, ,有 f ( x) < c 恒成立, 3]
2

………………………10 分

所以 解得

9 + 8c < c 2 , c < 1 或 c > 9 ,

+ 因此 c 的取值范围为 ( ∞, 1) ∪ (9, ∞ ) .………………………12 分

2009 年联考题
一、选择题 1. (北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文理)函数 y = f (x) 的定义域是

( ∞,+∞ ) ,若对于任意的正数 a ,函数 g ( x) =
函数,则函数 y = f (x) 的图象可能是

f ( x + a ) f ( x) 都是其定义域上的增
( )

答案

A

2.(2009 龙岩一中)函数 y = ( )

1 x2 + x + 2

的定义域是

A. (∞, 1) 答案 B

B. (1, 2)

C. ( ∞, 1) ∪ (2, +∞)

D. (2, +∞ )

3.(2009 湘潭市一中 12 月考)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = f ( x + ) ,且

3 2

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f (2) = f (1) = 1 , f (0) = 2 , f (1) + f (2) + … + f (2008) + f (2009) = (
A. 2 答案 A B. 1 C. 0 D. 1



4.(2009 广东三校一模)定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数又是以 2 为周期的周期函数, 则

f (1) + f (4) + f (7 ) 等于
A.-1 答案 B B.0 C.1 D.4

(

)

5. ( 安 徽 省 合 肥 市 2009 届 高 三 上 学 期 第 一 次 教 学 质 量 检 测 ) 函 数

ax 2 + 1, x≥0 在 ( ∞, +∞ ) 上单调,则的取值范围是 f ( x) = 2 ax (a 1)e , x < 0
( A. ( ∞, 2] ∪ (1, 2] C. (1, 2] 答案 A ) B. [ 2, 1) ∪ [ 2, +∞) D. [ 2, +∞ )

6.(黄山市 2009 届高中毕业班第一次质量检测)对于函数 f ( x ) = lg x 定义域中任意

x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ) 有如下结论:① f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) ;
② f ( x1 x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) ; ③

f ( x1 ) f ( x2 ) >0; x1 x2
( )

④ f(

x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )< 。上述结论中正确结论的序号是 2 2

A.② B.②③ C.②③④ D.①②③④ 答案 B 7.(福州市普通高中 2009 年高中毕业班质量检查)已知函数

( x ≤ 1) 8 x 8 f ( x) = 2 , g ( x) = ln x.则f ( x)与g ( x) 两函数的图像的交点个数 x 6 x + 5 ( x > 1)
为 A.1 B.2 C.3 答案 B 8.(福州市普通高中 2009 年高中毕业班质量检查)已知 ( D.4 )

f ( x)( x ≠ 0, x ∈ R)是奇函数,当x < 0时, f ′( x) > 0, 且f (2) = 0 ,则不等式
f ( x) > 0 的解集是
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A. (—2,0) C. ( 2,0) ∪ ( 2,+∞) 答案 C

B. ( 2,+∞) D. (∞,2) ∪ ( 2,+∞)

1 x 2 1 9.(江门市 2009 年高考模拟考试)设函数 f ( x ) = ln( ) 的定义域为 M , g ( x) = x 1+ x 的定义域为 N ,则 M ∩ N = ( )
A. x x < 0 答案 C 10. (2009 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科) )设 f ( x ) =

{

}

B. x x > 0且x ≠ 1

{

}

C. x x < 0且x ≠ 1

{

}

D. x x ≤ 0且x ≠ 1

{

}

f1 ( x ) = f ( x ) , f k +1 ( x ) = f ( f k ( x ) ) , k = 1, 2, , 则 f 2009 ( x ) =
A.

1+ x ,又记 1 x
( D. )

1 x

B. x

C.

x 1 x +1

1+ x 1 x

答案 D 11.(银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试)设函数 f ( x ) 是奇函数, 并且在 R 上为增函 数, 0≤ θ ≤ 若

π
2

时, (msin θ ) f f + (1—m) >0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是(
1 2

)

A. (0,1)B. (-∞,0)C. (∞, ) D. (-∞,1) ∞ 答案 D 二、填空题 12. (2009 年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查)已知函数 f ( x ) 为 R 上的奇函数, 当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x ( x + 1) .若 f ( a ) = 2 ,则实数 a = 答案 .

1
1 1 < x ≤ m + (其中 m 为 2 2

13.(银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试)给出定义: m 若

整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 { x } ,即 { x } = m . 在此基础上给出下列关 于函数 f ( x ) =| x { x } | 的四个命题: ①函数 y = f ( x ) 的定义域是 R,值域是[0, ②函数 y = f ( x ) 的图像关于直线 x =
1 ]; 2

k ( k ∈ Z ) 对称; 2

③函数 y = f ( x ) 是周期函数,最小正周期是 1; ④ 函数 y = f ( x ) 在 , 上是增函数; 2 2
1 1

则其中真命题是__



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答案 ①②③ 14.(安徽省示范高中皖北协作区 2009 年高三联考)已知函数 f ( x ) = 等式 f ( x ) 4 的解集为 答案

x2 , x 0 x + 1, x ≥ 0

,则不

(∞,2) ∪ (3,+∞)

x + 2 ( x ≤ 1) 15.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)函数 f ( x ) = x 2 (1 < x < 2) ,则 2 x ( x ≥ 2)
1 3 f ( ) = ________ ,若 f (a ) < ,则实数 a 的取值范围是 2 2
答案
1 3 2 2 ; , ) ∪ ( (∞ , ) 2 2 2 2

16. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文)设 a 为常数, f ( x) = x 2 - 4 x + 3 . 若函数 f ( x + a ) 为偶函数,则 a =__________; f ( f ( a )) =_______. 答案 2,8

17.(2009 丹阳高级中学一模)若函数 y = mx 2 + x + 5 在 [ 2, +∞) 上是增函数,则 m 的 . 取 值范围是____________。 答案 三、解答题 18.(银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试)设函数 f ( x ) = x 1 + x 2 。 (1)画出函数 y=f(x)的图像; (2)若不等式 a + b + a b ≥ a f ( x ) , (a≠0,a、b∈R)恒成立,求实数 x 的范围。
2 x 3 ( x ≥ 2) 解:(1) f ( x ) = 1 (1 < x < 2) 3 2 x ( x ≤ 1)
y

0≤m≤

1 4

(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x) 得
|a+b|+|ab| ≥ f ( x) |a| |a+b|+|ab| |a+b+ab| ≥ =2 |a| |a|

1 1 2 x

又因为

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则有 2≥f(x) 解不等式 2≥|x-1|+|x-2| 得
1 5 ≤ x≤ 2 2

2007— 2007—2008 年联考题
一、选择题 1.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)定义在 R 上的偶函数 f (x ) 满足

f ( x + 1) = f ( x) ,且在[-1,0]上单调递增,设 a = f (3) , b = f ( 2 ) ,c = f (2) ,
则 a, b, c 大小关系是 A. a > b > c 答案 D B. a > c > b C. b > c > a ( D. c > b > a )

2.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)函数 y = 1 x + A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 答案 D B.偶函数 D.非奇非偶函数

x 1是

(

)

3.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)设 f(x)是定义在 R 上的函数,且在 (-∞,+∞)上是增函数,又 F(x)=f(x)-f(-x),那么 F(x)一定是 A.奇函数,且在(-∞,+∞)上是增函数 C.偶函数,且在(-∞,+∞)上是增函数 ∞,+∞)上是减函数 答案 A 4.(广东省 2008 届六校第二次联考)如图所示是某池塘中浮萍的面积 ( )

B.奇函数,且在(-∞,+∞)上是减函数 D.偶函数,且在(-

y (m 2 ) 与时间 t (月)的关系: y = f (t ) = a t , 有以下叙述:
①这个指数函数的底数为 2; ②第 5 个月时, 浮萍面积就会超过 30 m ; ③浮萍从 4 m 蔓延到 12 m 需要经过 1.5 个月; ④浮萍每月增加的面积都相等;
2 2 2

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⑤若浮萍蔓延到 2 m , 3 m , 6 m 所经过的时间分别是 t1 , t2 , t3 , 则 t1 + t2 = t3 .其中正确的是 A.①② 答案 D B.①②③④ ( C.②③④⑤ ) D. ①②⑤

2

2

2

5.(2007 届岳阳市一中高三数学能力题训练).映射 f:A→B,如果满足集合 B 中的任意一 个元素在A中都有原象,则称为“满射” 。已知集合 A 中有 4 个元素,集合 B 中有 3 个元 素,那么从 A 到 B 的不同满射的个数为 A.24 答案 C 二、填空题 B.6 C.36 ( D.72 )

6.(2007 届岳阳市一中高三数学能力题训练)若对于任意 a ∈ [-1,1], 函数 f(x) = x + (a
2

-4)x + 4-2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范围是 答案 ( ∞,1) ∪ (3, ∞)

7.(2007 年江苏省南京师范大学附属中学)已知函数 f ( x) =| x 2 ax b | ( x ∈ R, b ≠ 0) , 给 出以下三个条件: (1) 存在 x0 ∈ R ,使得 f ( x0 ) ≠ f ( x0 ) ; (2) f (3) = f (0) 成立; (3) f ( x) 在区间 [ a, +∞ ) 上是增函数. 若 f ( x) 同时满足条件 析式为 f ( x) = 答案 . 和 (填入两个条件的编号) ,则 f ( x) 的一个可能的解

满足条件(1)(2)时, y = x 2 3 x + 1 等;满足条件(1)(3)时, y = x 2 + 2 x + 1 等;

满足条件(2)(3)时, y = x 2 + 3 x 9 等. 三、解答题 8.(2007 年安徽省六校)已知函数 f ( x ) , g ( x ) 在 R 上有定义,对任意的 x, y ∈ R 有

f ( x y ) = f ( x) g ( y ) g ( x ) f ( y )
(1)求证: f ( x ) 为奇函数

且 f (1) ≠ 0

(2)若 f (1) = f (2) , 求 g (1) + g ( 1) 的值

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解 (1) x ∈ R , x=u-v 则有 f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)对 令 g(u)f(v)]=-f(x) ………………4 分 (2)f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0 ∴g(-1)+g(1)=1 …………………8 分

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2007年湖南高考函数复习方向研究 湘钢一中

一方面 要求学生认真理解与函数有关的概念(符号语言、数学语言) ;另一方面要求熟练掌 握基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、函数图像等基础知识,...

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