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等比数列前n项和公式教案


等比数列的前 n 项和公式 一、教材分析 《等比数列的前 n 项和》 ,是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式,等差数 列的前 n 项和公式的基础上进行的。 是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础 和有力工具。 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用, 如储蓄、 分期付款的有关计算等等, 而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学 生今后学习和工作中必备的数学素养. 数列内容的新课程设计与时俱进,注重数学过程,渗透数学思想和拓展思维空间。与旧教材 相比新教材让学生体验和理解公式形成的过程。 二、学情分析 认识上: 从学生的思维特点看, 易与等差数列前 n 项和从公式的形成、 特点等方面进行类比, 但本节公式的推导与等差数列前 n 项和的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突 破,还应强调 q=1 的特殊情况。 能力上:教学对象是高一学生,在课堂教学过程中,应注重过程、激发兴趣、发展学生的个 性思维品质和实践能力 ,还应注意学生缺乏冷静、深刻,易片面、不严谨。 情感态度: 注意引导学生自主探究意识、 培养学生处理问题时创新和实践能力及思维的严谨 性 三、教学目标 知识与技能目标: 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、 公式的特点, 在此基础上能初步应用公 式解决与之有关的问题. 能力与方法目标: 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等 数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. 情感与态度价值观: 通过对公式推导方法的探索与发现,让学生体验数学学习带来的自信和成功感,提到 对数学的兴趣,树立学好数学的信心。通过分类讨论的思想培养学生思维的严谨性。通过发 散思维的教学,培养学生思维灵活性。 四、教学重点、难点 教学重点:等比数列前 n 项和公式的推导与应用。 教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学 数列求和方法中最常用的方法之一,它蕴含了重要的数学思想,所以既是重点也是难点. 五、学法与教法 学法: 合作学习:引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨解决问题的途径。 (引课问题的处理。 ) 自主探究:引导学生通过自己动脑解决相应问题(例题,变式练习的处理。 ) 启迪思维:引导学生寻求多种方法解决问题,开阔思维。培养能力。 教法: 创设情境:提出问题,鼓励学生合作讨论,通过自己的努力解决问题,激发进一步深入学习 的兴趣和欲望。 启发引导:组织学生分组探索,获得等比数列前 n 项和公式的推导的多种方法。 例题选讲:针对知识点精选例题,初步掌握公式运用。 变式强化:深化对公式的理解与灵活运用,巩固强化。 归纳总结:鼓励学生自己总结,使自身的认知结构得以提高和发展。

六、教学过程 (一)创设情景、引入新课

印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨,问他有什么要求,发明者说: “请在棋盘的第 1 个 格子里放 1 颗麦粒,在第 2 个格子里放 2 颗麦粒,在第 3 个格子里放 4 颗麦粒,在第 4 个格 子里放 8 颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦粒都是前一个格子里麦粒数的 2 倍,直到第 64 个子,请给我足够的粮食来实现上述要求。 你认为国王有能力满足发明者的上述要求 ” 吗? 设计意图: 源于历史,富有人文气息.图中算数,激发学习兴趣.承上启下,探讨求和方法

1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ? ? ? ? ? ? + 2 63
(二)初步探索,体会方法 探讨 1: 有何特征? 探讨 2: 如果把每一项都乘以 2 有何变化? 让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加”为“减” ,在教师看来这 是“天经地义”的,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中应着力在这儿做文章, 从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机. 由刚才的分析可知:实际上就是一个以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的求和问 题,即:

S 64 = 1 + 2 + 2 2 + L + 2 63

(三)类比联想 推导公式

设等比数列 {a n } ,首项为a1 , 公比为 q, 提出问题一: 提出问题二:有没有其他方法推导等比数列前 n 项和公式? 提出问题三: (1 ? q ) S n = a 1 (1 ? q n ) 或

如 何求其前 n 项和?

(1 ? q ) S
能否得到 S
n

n

= a1 ? a n q
n

=

a

1

(1 ? q 1 ? q

)

为什么

1、等比数列的求和公式 一般地,设有等比数列:

a1 , a2 , a3 ,K an K

(错位相减)

(1 ? q )Sn = a1 ? an q

(1 ? q )Sn = a1 ? a1q n
2、提取公因式:

等比数列 { a n },公比为 q ,它的前 n 项和 公比为 它的前 S n = a 1 + a 2 + a 3 + L L + a n ?1 + a n
S n = a1 + a1q + a1q 2 + L + a1q
n?2

+ a 1 q n ?1

= a1 + q ( a1 + a1q + L + a1q n ?3 + a1q n ? 2 ) = a 1 + q ( S n ? a 1 q n ?1 )

∴ (1 ? q ) S n = a 1 ? a 1 q n

LL
3、和比定理法:

因为

a2 a a an = 3 = 4 = ??? = = q a1 a2 a3 a n?1

所以

a2 + a3 + a4 + ???+ an = q a 1 + a 2 + a 3 + ? ? ? + a n ?1

S S

n n

? a ? a

1 n

= q

Sn =

{

na

1

q=1

a1 ? a n q 1? q

q ≠1

设计意图 :自主探究,体验成就;以疑导思 ,发展创新;强化理解 ,突破难点 (四)基础演练, 提高认识

1 .口答填空: { a n } 等比, ( 1)若 a 1 =

q 为公比

2 1 ,q = 则 Sn = _ 3 3 ( 2 ) 若 a 1 = 2 , q = 1, 则 S n = _ 2 .判断正误: 1 × (1 ? 2 n ) 1? 2 1 ? 2n 1 ? (?2)

( 1) + 2 + 2 2 + L + 2 n = 1

( 2 )1 ? 2 + 4 ? 8 + 16 ? L ( ? 2 ) n ? 1 =
设计意图: 新颖基础练习;深化理解认识;激发学习热情。 (五) 变式训练 、深化认识

例 1 : 求 等 比 数 列 1 , 1 ,1 , 1 , ? ? ? 前 8 项 和 ; 2 4 8 16 变式练习:

63 ? 1、等 比 数 列 1 ,1 ,1 , 1 ,? ? ?前 多 少 项 的 和 是 2 4 8 16 64
2 、等 比 数 列 1 ,1 ,1 , 1 ,? ? ?, 求 第 5 项 到 第 1 0 项 的 和 . 2 4 8 16
采用变式教学设计题组, 深化学生对公式的认识和理解, 通过直接套用公式、 变式运用公式、 研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新的数学认知结构的形成.通过以上形式, 让全体学生都参与教学,以此培养学生的参与意识和竞争意识. 设计意图: 选用公式;变用公式;理解内化 (六)循序渐进、延伸拓展

例 2: 求 和
变式练习:求和 (1 +

1+ a + a

2

+ a

3

+ L + a
+

n -1

.

1 1 1 ) + ( 2 + 2 ) + L + ( n + n )( n ∈ N x x x

x ≠ 0

该题有助于培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想. 训练学生注意考察 q 是否 为 1 的情况,突破易错点。 设计意图:

含参问题 ,分类讨论;逐层深化,发展思维;突破难点,提高素养。 (七)归纳总结、内化知识 等比数列前 n 项和求和公式。 推导数列求和公式的错位相减法、提取 q 法、和比定理法。 对含字母的等比数列要注意考察 q 是否为 1。 作业布置 : 必做: P50 练习 A 1、2 选做:

x + 2x

2

+ 3x

3

+ L nx

n

(x ≠ 0)

必做题,有助学生课后巩固提高,选作题是注意分层教学和因材施教,让学有余力的学生有 思考的空间.


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