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同角三角函数的基本关系式及诱导公式


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第四章 · 第2课时

课 前 自 助 餐 授 人 以 渔

第2课时 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

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2011· 考纲下载
1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式:si α n +cos α=1,
2 2

si nx cos α

=t anα,掌握已知一个角的三角函数值

求其他三角函数值的方法. 2.借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式( π 2 ±α,π

±α的正弦、余弦、正切) ,经历并体验用诱导公式求三角 函数值,感受诱导公式的变化规律.

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请注意!
本课内容是高考热点之一,通常出现在选择或填空题中, 复习时应注意控制难度,如2010· 陕西7题,2010· 全国Ⅰ4 题等.

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课本导读
1.同角三角函数基本关系式
2 2

课前自助餐

①平方关系:sin α+cos α=1 sinα ②商数关系:tanα= cosα 2.角的对称

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3.诱导公式

?

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教材回归
1.下列各数中与 s n2011°的值最接近的是( i 1 A. 2 1 C.- 2 B. 2 3 )

D .-

3 2

答案

C

解析

2011°=5?360°+180°+31°

∴s n2011°=-s n31°和-s n30°接近,选 C . i i i

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2.(2010?全国卷Ⅰ,理)记cos 么tan 100°=(
2

(-80°)=k,那

)
2

1-k A. k C. k 1-k

1-k B.- k D.- k 1-k

2

2

答案
解析

B
cos (-80°)=cos
2

80°=k,sin
2

80°= 1-k ,tan

1-k 80°= ,tan k
2

100°=

-tan

1-k 80°=- ,故选B. k
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3.(09?陕西)若tanα=2,则 ( A.0 ) 3 B. 4
B

2sinα-cosα sinα+2cosα

的值为

C.1

5 D. 4

答案

解析

2sinα-cosα 2tanα-1 4-1 3 = = = . sinα+2cosα tanα+2 2+2 4

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π 1 4.(2011?济南模拟)已知sin(α+ )= , 12 3 7 则cos(α+ π)的值为( 12 1 A. 3 2 C.- 2 3 1 B.- 3 2 D. 2 3 )

答案
解析

B
7π π π cos(α+ )=cos( +α+ ) 12 2 12

π 1 =-sin(α+ )=- ,选B. 12 3

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7 5.已知cosA+sinA=- ,A为第四象限角,则tanα 13 等于( 12 A. 5 12 C.- 5 ) 5 B. 12 5 D.- 12

答案
解析

C
7 由cosA+sinA=- 13 ①

7 2 120 2 ∴(cosA+sinA) =(- ) ,∴2cosA?sinA=- 13 169 ∴(cosA-sinA) =(cosA+sinA) -4cosAsinA
2 2

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17 ∵A 为第四象限,∴cosA-sinA= ② 13 5 12 ∴联立① ②,∴cosA= ,sinA=- 13 13 sinA 12 ∴tanA= =- ,选 C. cosA 5

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授人以渔
题型一 诱导公式

例1 已知α是第三象限的角,且 3π sin(π-α)cos(2π-α)tan? -α? 2 f(α)= cos(-π-α) (1)化简f(α); 3π 1 (2)若cos(α- )= ,求f(α)的值; 2 5 (3)若α=-1860°,求f(α)的值.

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【解析】

3π sinα?cosα?sin( -α) 2 (1)f(α)= 3π -cosα?cos( -α) 2

sinα?cosα?(-cosα) = =-cosα -cosα?(-sinα) 3π 1 (2)cos(α- )= 2 5 3π 1 1 即cos( -α)= ,∴-sinα= 2 5 5 2 6 ∴cosα=- 5 2 6 ∴f(α)= 5

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(3)α=-1860°=-5?360°-60° ∴-cos(-1860°)=-cos(5?360°+60°) 1 =-cos60°=- 2 1 ∴f(x)=- 2

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探究1

熟练运用诱导公式是本题的关键.诱导公式

除了正面用于化简外,还应掌握它的逆向应用,从角 的形式上分析出两角之间的关系. 思考题1 (2011?保定)已知f(sinx)=cos(2010x),

3π 则f(cos )=________. 2010 【解析】 3π π 3π f(cos )=f[sin( - )] 2010 2 2010

π 3π =cos[2010( - )] 2 2010 =cos(1005π-3π)=cos(1002π)=1.
【答案】 1
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(2)若k∈Z,化简: . sin[(k+1)π+α]?cos[(k+1)π-α] 【解析】 解法一 sin(kπ-α)?cos(kπ+α)

k为奇数时,原式=

sinα?(-cosα) =-1.k为偶数时, sinα?cos(-α) sin(-α)?cosα 原式= =-1. -sinα(-cosα) 综上可知,原式=-1.

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解法二 原式= sin[π+(kπ+α)]cos[π+(kπ-α)] sin(kπ-α)cos(kπ+α) = sin(kπ+α)cos(kπ-α) = sin(kπ+α)?cos[2kπ-(kπ+α)] -sin(kπ+α)cos(kπ+a) = =-1. sin(kπ+α)cos(kπ+α)
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sin(kπ-α)?cos(kπ+α)

sin[2kπ-(kπ+α)]cos(kπ+α)

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题型二
例2

给值求值
5 ,且α是第四象限角,求角α 13

(1)已知cosα=

的正弦和正切值; 5 (2)已知tanα= ,求角α的正弦. 12 【解析】 5 (1)因为cosα= ,且α是第四象限角, 13
2

所以sinα=- 1-cos α=-

5 2 12 1-( ) =- . 13 13

12 - sinα 13 12 所以tanα= = =- . 5 5 cosα 13
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sinα 5 5 (2)∵tanα= ,∴ = 12 cosα 12 ∵sin α+cos α=1 12 5 2 ∴sin α+( sinα) =1,∴sinα=± . 5 13
2 2 2

5 ∴当α为第一象限角时,sinα= 13 5 当α为第三象限角时,sinα=- . 13
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探究2 本例属同角三角关系式中的基本题,关键是掌握住“先开方,后作 商”的原则,先求与sinα的平方关系相联系的cosα,再由公式求tanα.(2)中 α的范围不确定,须讨论确定开方和符号.

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思考题2

(1)已知cos(π+x)= ) 4 B.- 3

3 ,x∈(π,2π), 5

则tanx等于( 3 A.- 4 3 C. 4 4 D. 3

【解析】

3 cos(π+x)=-cosx= , 5

3π 3 ∴cosx=- <0.∴x∈(π, ). 5 2 4 4 此时sinx=- ,∴tanx= ,故选D. 5 3

【答案】

D
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4 (2)(09?北京)若sin θ=- ,tanθ>0,则cos 5 θ=____________. 【解析】 ∵sinθ<0,tan θ>0,θ在第三象限内,

3 cos θ=- 1-sin2θ=- . 5

3 【答案】 - 5
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?

题型三

考查sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间关系的题目

例3

1 已知α是三角形的内角,且sinα+cosα= ,求tanα的值. 5 1 α为三角形内角,∴0<α<π.由sinα+cosα= , 5

【分析】

求sinα与cosα的值即得.

【解析】

方法一

?sinα+cosα=1 ? 5 ? ?sin α+cos α=1 ?
2 2

1 得sin2α+( -sinα)2=1 5

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2 24 2 整理得2sin α- sinα- =0 5 25 即25sin α-5sinα-12=0 4 3 解得sinα= 或sinα=- 5 5 4 ∵α∈(0,π),∴sinα= 5 3 ∴cosα=- 5 sinα 4 ∴tanα= =- . 3 cosα
2

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方法二

1 由sinα+cosα= ,两边平方整理得. 5

12 sinαcosα=- 25 1 12 2 ∴sinα、cosα是方程x - x- =0的两根 5 25 4 3 又sinα>0,∴sinα= ,cosα=- 5 5 sinα 4 ∴tanα= =- . 3 cosα

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方法三

1 由sinα+cosα= ,平方整理得 5

12 sinαcosα=- <0,因α为三角形的内角, 25 ∴0<α<π,sinα>0,cosα<0, ∴sinα-cosα>0. 49 2 因(sinα-cosα) =1-2sinαcosα= , 25

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7 ∴sinα-cosα= . 5

?sinα+cosα=1 ? 5 由? 7 sinα-cosα= ? 5 ?
4 ∴tanα=- . 3

?sinα=4 ? 5 ?? 3 cosα=- ? 5 ?

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? ? ? ? ? ? ?

探究3

1.已知asinx+bcosx=c可与sin2x+cos2x=1联立,

求得sin x、cosx. 2.sinx+cosx、sinx-cosx、sinxcosx之间的关系为 (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx. (sinx-cosx)2=1-2sinxcosx (sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2=2, 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值,可求其余两个代数 式的值.

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思考题3

(1)在例3的条件下,求①sinθ -cosθ ;②sin3θ +cos3θ .

【答案】

4 3 7 ①si nθ-cosθ= + = . 5 5 5
3

43 33 37 ②si θ+cos θ=( )+( n - )= . 5 5 125
3

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π π 1 (2)sin2θ= ,且 <θ< ,求cosθ-sinθ的值; 4 4 2 【解析】 因为(cosθ-sinθ) =1-2sinθcosθ=1
2

3 -sin2θ= ,因而求cosθ-sinθ,只须判断 4 cosθ-sinθ的符号. π π ∴ <θ< , 4 2 ∴cosθ<sinθ,即cosθ-sinθ<0 ∴cosθ-sinθ=- ? cosθ-sinθ?
2

=-

3 . 2

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题型四

齐次式下弦化切

例4

已知t anα=2,求下列各式的值: 2si α-3cos α n ( 2) ; 2 2 4si α-9cos α n
2 2 2

2si nα-3cos α ( 1) ; 4si nα-9cos α
2

( 4si α-3si 3) n nαcos α-5cos α. 【解析】 解法一 ( 注意分式的分子、分母均为关 1)

于si nα,cosα的一次齐次式,将分子、分母同除以cos α( α≠0) cos ,然后代入t anα=2即可, 2t anα-3 2?2-3 原式= = =-1. 4t anα-9 4?2-9

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2sin α-3cos α 2tan α-3 2?2 -3 5 (2) = = = . 2 2 2 2 4sin α-9cos α 4tan α-9 4?2 -9 7
(3)与(1)(2)不同,但注意到式子有二次齐次式,不妨把其看成 分式,分母为1,将1变为sin α+cos α,便可顺利求解. ∵sin α+cos α=1, ∴4sin α-3sinαcosα-5cos α 4sin α-3sinαcosα-5cos α 4tan α-3tanα-5 = = =1 2 2 2 sin α+cos α tan α+1
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

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解法二

sinα ∵tanα=2,即 =2. cosα

∴sinα=2cosα且cosα≠0. 2sinα-3cosα 4cosα-3cosα cosα (1) = = =-1. 4sinα-9cosα 8cosα-9cosα -cosα (2)∵sin α+cos α=1,sinα=2cosα ∴4cos α+cos α=1 1 4 2 2 ∴cos α= ,sin α= 5 5 4 1 2? -3? 2sin α-3cos α 5 5 5 ∴ = = 2 2 4 1 7 4sin α-9cos α 4? -9? 5 5
2 2 2 2 2 2

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2

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(3)4sin α-3sinαcosα-5cos α =4sin α-3?2cosα?cosα-5cos α 4 1 =4? -11? =1. 5 5
2 2

2

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?

探究4

这是一组在已知tanα =m的条件下,求关于sinα 、cosα 的齐次

式的问题,解这类问题有两个方法,一是直接求出sinα 和cosα 的值,再 代入求解,但这种方法较繁琐.二是将所求式转化为只含tanα 的代数式, 再代入求解,这是常用的解法.但应用此法时要注意两点:(1)一定是关 于sinα 和cosα 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为 cosα ≠0,可用cosnα (n∈N)除之,这样可以将所求式化为关于tanα 的 表达式,从而可以整体代入tanα =m的值进行求解.

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思考题4 【解析】
2

? 已知tanα=2,求 解法一
2

sinα+cosα? cos2α

2

的值.

原式可化为

sin α+cos α+2sinαcosα cos α-sin α 同除cos α tan α+2tanα+1 =-3 2 1-tan α
2 2 2 2

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解法二 ?

原式可化为
2

= cos α-sin α ?
2 2

sinα+cosα?

?

sinα+cosα? ?

2

cosα-sinα?

cosα+sinα?

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sinα+cosα tanα+1 = = =-3 cosα-sinα 1-tanα

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本课总结

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?
? ?

1.同角三角函数关系式和诱导公式主要有以下三种题型:
(1)求值:已知某个三角函数值,求这个角或含有该角的三角函数式的值; (2)化简:化简三角函数式的一般要求是:项数最少,函数的种类尽可能

少;次数尽量低,尽可能使分母或根号内不含三角函数;能求值的求出值
来;
? ?

(3)证明:证明三角恒等式(或条件等式)的实质是定向的化简和求值. 2.诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,基本思路是: 负 化正、大化小,化到锐角为止.

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? ?

3.同角三角函数关系式要注意: (1)巧用“1”的变通,如1=sin2α +cos2α =cotα ·tanα ;= 2sin30°=tan45°=sec2θ -tan2θ 等;

? ?

(2)尽量少用平方关系式.若需用到,开方时慎重考虑符号的选取; (3)理解sinθ ±cosθ ,sinθ cosθ 的内在联系,必要时可用方程

思想或整体代换方法解决.

?
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课时作业(18)

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第三章 三角函数、解三角形 §3.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 内容 索