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抛物线复习(几个常见结论及其应用)


抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线中有一些常见、常用的结论,了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题,在做解 答题时也可迅速打开思路。 结论一: AB 是抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 若 (过焦点的弦) 且 A( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , x1 x2 ? , 则: B 证明:因为焦点坐标为 F(
? p

p2 ,y1 y2 ? ? p2 。 4

p p ,0),当 AB 不垂直于 x 轴时,可设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? ) , 2 2
∴ y1 y2 ? ? p2 , x1 x2 ?

由 ? y ? k ( x ? 2 ) 得: ky 2 ? 2 py ? kp2 ? 0 ?
? y 2 ? 2 px ?

y12 y22 p4 p2 。 ? ? 2? 2p 2p 4p 4

当 AB⊥x 轴时, 直线 AB 方程为 x ?

p p2 , y1 ? p , y2 ? ? p , y1 y2 ? ? p2 , 则 ∴ 同上也有:x1 x2 ? 。 2 4
AF BF

2 例:已知直线 AB 是过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦点 F,求证: 1 ? 1 为定值。

证明: A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 设 由抛物线的定义知: AF ? x1 ?

p p , BF ? x2 ? , AF + BF = AB , 又 2 2

p2 所以 x1 + x2 = AB -p,且由结论一知: x1 x2 ? 。 4
AB AB 则: 1 ? 1 ? AF ? BF ? ? p p p p2 AF BF AF ? BF ( x ? )( x ? ) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 2 2 2 4
2

=
2

AB p p p ? ( AB ? p) ? 4 2 4
2

?

2 (常数) p
2 P (α≠0) 。 sin 2 ?

结论二: 若 AB 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦, (1) 且直线 AB 的倾斜角为α, AB ? 则 (2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。 证明: (1)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,设直线 AB: y ? k ( x ? 由 ? y ? k ( x ? 2 ) 得:, ky 2 ? 2 py ? kp2 ? 0 ?
? y 2 ? 2 px ? ? p

p ) 2 2p ∴ y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ? p2 , k

∴ AB ? 1 ?

1 1 1 2 p 1 ? k 2 2 p(1 ? k 2 ) 2 p(1 ? tan 2 ? ) 2 P y1 ? y2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 。 k2 k k k k2 tan 2 ? sin ?

易验证,结论对斜率不存在时也成立。 (2)由(1) :AB 为通径时, ? ? 90 , sin ? 的值最大, AB 最小。
? 2

例:已知过抛物线 y ? 9 x 的焦点的弦 AB 长为 12,则直线 AB 倾斜角为
2



解:由结论二,12= 则 sin ? ? ?

9 (其中α 为直线 AB 的倾斜角) , sin 2 ?

? 2? 3 ,所以直线 AB 倾斜角为 或 。 3 3 2

结论三:两个相切: (1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 (2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 已知 AB 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的过焦点 F 的弦,求证: (1)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过 A、B 做准线的垂线,垂足为 M、N,求证:以 MN 为直径的圆与直线 AB 相切。 y 证明:(1)设 AB 的中点为 Q,过 A、Q、B 向准线 l 作垂线, A 垂足分别为 M、P、N,连结 AP、BP。 M 由抛物线定义: AM ? AF , BN ? BF , ∴ QP ? P O N B y A Q F

1 1 1 ( AM ? BN ) ? ( AF ? BF ) ? AB , 2 2 2

x

∴以 AB 为直径为圆与准线 l 相切 (2)作图如(1) ,取 MN 中点 P,连结 PF、MF、NF, ∵ AM ? AF ,AM∥OF,∴∠AMF=∠AFM,∠AMF=∠MFO, ∴∠AFM=∠MFO。同理,∠BFN=∠NFO, M

1 (∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO)=90°, 2 1 ∴ MP ? NP ? FP ? MN , 2
∴∠MFN= ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°,∴FP⊥AB ∴以 MN 为直径为圆与焦点弦 AB 相切。

P N

O

F B

x

结论四:若抛物线方程为 y2 ? 2 px( p ? 0) ,过( 2 p ,0)的直线与之交于 A、B 两点,则 OA⊥OB。反之也成立。 证明:设直线 AB 方程为: y ? k ( x ? 2 p) ,由 ?

? y ? k ( x ? 2 p)
2 ? y ? 2 px

得, △>0, x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?b

∵AO⊥BO, AO ⊥ BO ∴ x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0 ∴ 将 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?b 代入得, b ? 1 。∴直线 AB 恒过定点(0,1) 。

????

??? ?

S?AOB ?

1 1 1 2 x1 ? x2 ?1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? k ? 4 ?1 2 2 2

∴当且仅当 k=0 时, S?AOB 取最小值 1。
? x ? 2 pt, 结 论 五 : 对 于 抛 物 线 x2 ? 2 py( p ? 0) , 其 参 数 方 程 为 ? 设 抛 物 线 x2 ? 2 py 上 动 点 P 坐 标 为 2 ? y ? 2 pt ,

(2 pt,pt 2 ) ,O 为抛物线的顶点, 2 显然 kOP ?

2 pt 2 ? t , t 的几何意义为过抛物线顶点 O 的动弦 OP 的斜率. 即 2 pt



直线 y ? 2 x 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于原点和 A 点, B 为抛物线上一点,OB 和 OA 垂直,且线段

AB 长为 5 13 ,求 P 的值.

解析:设点 A,B 分别为 (2 pt A2,pt A ), ptB 2,ptB ) ,则 t A ? 2 (2 2

1 1 1 ? , tB ? ? ?kOA ? ?2 . kOA 2 kOB
2

p? 5 ?p ? ? A,B 的坐标分别为 ? ,p ?, p, 4 p ) .∴ AB ? ? 8 p ? ? ? ( p ? 4 p)2 ? (8 ? 13 p ? 5 13 .∴ p ? 2 . 2 2? 2 ? ? ?

练习: 1. 过抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p,q , 则
1 1 ? = p q

1 1 y(a ? 0) ,从而 2 p ? .取特殊情况,过焦点 F 的弦 PQ 垂直于对称轴,则 PQ 为 a a 1 1 1 1 通径,即 PQ ? 2 p ? ,从而 p ? q ? ,故 ? ? 4a 】 p q a 2a
【解析:化为标准方程,得 x2 ? 2.设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点.点 C 在抛物线的准线上, 且 BC ∥ x 轴.证明直线 AC 经过原点 O . p ?p ? 2 2 0 【证明:抛物线焦点为 F ? ,? .设直线 AB 的方程为 x ? my ? ,代入抛物线方程,得 y ? 2 pmy ? p ? 0 .若设 2 ? 2 ? 2p ∵B C ∥ 轴,且点 C 在准线 kCO ? x A( x1,y1 ), B( x2, y2 ) ,则 y1 y2 ? ? p2 . ; y1
2 又由 y1 ? 2 px1 ,得 k AO ?

y1 2 p ? , x1 y1

故 kCO ? k AO ,即直线 AC 经过原点 O . 】

, 3.已知抛物线的焦点是 F (11) ,准线方程是 x ? y ? 2 ? 0 ,求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程.

【解:设 P ( x,y ) 是抛物线上的任意一点,由抛物线的定义得 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 整理,得 x2 ? y 2 ? 2xy ? 8x ? 8 y ? 0 ,此即为所求抛物线的方程.

x? y?2 2



, 抛物线的对称轴应是过焦点 F (11) 且与准线 x ? y ? 2 ? 0 垂直的直线,因此有对称轴方程 y ? x .
, 0) 设对称轴与准线的交点为 M , 可求得 M (?1 ? 1) , 于是线段 MF 的中点就是抛物线的顶点, 坐标是 (0, 】

备选
, 1.抛物线的顶点坐标是 A(1 0) ,准线 l 的方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,试求该抛物线的焦点坐标和方程.

解:依题意,抛物线的对称轴方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .
?6 2? ? 设对称轴和准线的交点是 M ,可以求得 M ? , ? .设焦点为 F ,则 FM 的中点是 A ,故得焦点坐 ?5 5? ?4 2? 标为 F ? , ? . 再设 P ( x,y ) 是抛物线上的任一点, ?5 5?
2 2 x ? 2y ? 2 4? ? 2? ? 根据抛物线的定义得 ? x ? ? ? ? y ? ? ? ,化简整理得 4 x2 ? y 2 ? 4xy ? 4x ? 12 y ? 0 ,即 5? ? 5? 5 ?

为所求抛物线的方程.

例2

已知 A,B 为抛物线 x 2 ? 4 y 上两点,且 OA ? OB ,求线段 AB 中点的轨迹方程.

1 解析:设 kOA ? t , OB ? OA ? kOB ? ? , t ? 4 4? 4 据 t 的几何意义,可得 A(4t,t 2 ),B ? ? ,2 ? . ? t t ?
? 1? 4? ? 1? ? x ? 2 ? 4t ? t ? ? 2 ? t ? t ?, ? ? ? ? ? 设线段中点 P ( x,y ) ,则 ? ? y ? 1 ? 4t 2 ? 4 ? ? 2 ? t 2 ? 1 ? . ? ? ? ? ? 2? t2 ? t2 ? ? ?

消去参数 t 得 P 点的轨迹方程为 x2 ? 2( y ? 4) .


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