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(数学)2016学年度第二学期高三理科数学专题复习(内容:函数与方程思想)_图文

2016 学年度第二学期高三理科数学专题复习 内容:函数与方程思想 【函数与方程思想的含义】 1、 函数的思想;函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是 对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转 化问题,从而使问题获得解决。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小 值、图象变换等。 2、 方程的思想: 方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得以 解决。 方程的教学是对方程概念的本质认识, 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观 点观察处理问题,方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系。 【函数与方程思想在解题中的应用】 1、 函数与不等式的相互转化。对函数 y ? f ( x) ,当 y ? 0 时,就化为不等式 f ( x) ? 0 , 借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式。 2、 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数, 用函数的观点去处理数列问题十分重 要。 3、 解决几何中的许多问题。 例如直线与二次曲线的位置关系问题, 需要通过解二元方程组 才能解决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。 4、 立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式 的方法加以解决。 【类型一:函数与方程思想在方程问题中的应用】 例 l、如果方程 cos x ? sin x ? a ? 0 在 (0, 2 ? 2 ] 上有解,求实数 a 的取值范围。 规律总结:研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解得问题,通常有两种处理 思路:一是分离参数构建函数,将方程有解转化为求函数的值域;二是换元,将复杂方程问 题转化为熟悉的二次方程,进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解 决。 变式训练、(1) 已知方程 9 ? 2 ? 3 ? (3k ? 1) ? 0 有两个实根,求实数 k 的取值范围。 x x (2) 若 x ? [0,1] 时,恒有 2 log2 (2 x ? t ) ? log2 ( x ? 1) 成立,求实数 t 的取值范围。 【类型二:函数与方程思想在数列中的应用】 例 2、已知数列 {an } 是各项均为正数的等差数列。 (1) 若 a1 ? 2 ,且 a2、a3、a4 ? 1成等比数列,求数列 {an } 的通项公式; 1 (2) 在(1)的条件下,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,设 bn ? 对任意的 n ? N ,不等式 bn ? k 恒成立,求实数 k 的最小值。 ? 1 1 1 ,若 ? ??? Sn ?1 Sn ? 2 S2n 规律总结:(1)等差(比)数列中各有 5 个基本量,建立方程组可“知三求二”; (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式即为相应的解析 式,因此在解决数列问题时,应注意运用函数的思想求解。 变式训练、(1)已知 {an } 是等比数列,其公比是有理数,前 n 项和为 S n , a2 ? 2, S 4 ? 15 ,求 2 a1a2 ? a2a3 ? ? ? an an ?1 的值。 (2)数列 {an }、 {bn } 都是等比数列,当 n ? 3 时, bn ? an ? n ,若数列 {an } 唯一,求 a1 。 【类型三:函数与方程思想在不等式中的应用】 例 3、已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e ?2 x ,当 x ? [0,1] 时,求证: 1 ? x ? f ( x ) ? 1 。 1? x 规律总结: 根据所证不等式的结构特征构造相应的函数, 研究该函数的单调性是解决这一类 问题的关键,体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想。 变式训练、设 f ( x) ? ln x ? 3 x ? 1 ,证明:当 x ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1); 2 【类型四:函数与方程思想在平面解析几何中的应用】 例 4、椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,焦点在 y 轴上,短轴长为 2 ,离心率为 与 y 轴交于点 P(0, m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A, B ,且 AP ? 3PB 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 求 m 的取值范围。 规律总结:利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤: 第一步、联立方程; 第二步、求解判别式 ?; 第三步、代换。利用题设条件和圆锥曲线的几何性质,得到所求目标参数和判别式不等式中 的参数的一个等量关系,将其代换; 第四步、下结论。将上述等量代换式代入 ? ? 0 或 ? ? 0 中,即可求出目标参数的取值范围; 第五步、回顾反思。在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时,无论题目中有没有涉及求参 数的取值范围,都不能忽视了判别式对某些量的制约,这是求解这类问题的关键环节。 2 ,直线 l 2 2 变式训练、已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 过右焦点 F 且斜率为 l 的直线的距离为 (1) 求椭圆的方程; 2 ,坐标原点 O 到 2 2 。 2 (2) 设过右焦点 F 且与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,在线段 OF 上是否 存在点 M (m,0) ,使得以 MP, MQ 为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出 m 的取值范 围,若不存在,请说明理由。 3 参考答案 4 5 6 7 8 9

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