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2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”9.解三角形中的难题

【精选三年经典试题(数学) 】2014 届高三全程必备《高频题型全掌 握系列》9.解三角形中的难题 1. (西安模拟)某 人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方 向走 3 km,结果他离出发点恰好是 3 km,那么 x 的值为( A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 D.3 ) 解析:如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3,AC= 3,∠ABC =30°, 由正弦定理 = , sin∠CAB sin30° 得∠CAB=60°或 120°, 当∠CAB=60°时,∠A CB=90°,AB=2 3; 当∠CAB=120°时,∠ACB=30°,AB= 3,故选 C. 答案:C 2. (合肥市质检)一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条 直线上, 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°方向, 另一灯塔在船的南偏西 75° 方向,则这只船的速度是每小时( ) A.5 海里 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里 解析 :如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA 5 =10, 在直角三角形 ABC 中, 可得 AB=5, 于是这只船的速度是 0.5 =10(海里/小时). 答案:C 3. (云南师大附中月考)如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋 观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 2 0 °, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km 解析:利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,在△ABC 中,由余弦 BC AC ) ? 1? 2 2 2 2 2 2 定理得 AB =AC +BC -2AC·BCcos120°=2a -2a ×?- ?=3a ,∴AB ? 2? = 3a.[来源:学.科.网] 答案:B 4.2013 新课标数学压题卷) ( 有一长为 1 千米的斜坡, 它的倾斜角为 20°, 现要将倾斜角改为 10°,则斜坡长为( ) -1- A.1 千米 B.2sin10°千米 C.2cos10°千米 D.cos20°千米 答案:C 5.(大同调研)若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3,A=60°,则 BC 边的长是( A.5 B.6 C.7 D.8 ) 1 1 解析:依题意及面积公式 S= bcsinA,得 10 3= bcsin60°,得 bc=40.又周长为 20,故 a 2 2 +b+c=20,b+c=20-a,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos60°= b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,故 a2=(20-a)2-120,解得 a=7.故答案为 C. 答案:C C 6.(九江一模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,已知 sinC+cosC=1-sin . 2 (1)求 sinC 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值. C 解析:(1)由已知得 sinC+sin =1-cosC, 2 C ? C? C ∴sin ?2cos +1?=2sin2 . 2 ? 2? 2 C C C 由 sin ≠0,得 2cos +1=2sin , 2 2 2 C C 1 ∴ sin -cos = . 2 2 2 1 3 两边平方,得 1-sinC= ,∴sinC = . 4 4 C C 1 π C π π 3 7 (2)由 sin -cos = >0,得 < < ,即 <C<π ,则由 sinC= 得 cosC=- . 2 2 2 4 2 2 2 4 4 由 a2+b2=4(a+b)-8 得(a-2)2+(b-2)2=0,则 a=2,b=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2bccosC=8+2 7, 所以 c= 7+1. -2-