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2014-2015学年云南师范大学附中高三(下)月考数学试卷(六)(文科)(解析版)


2014-2015 学年云南师范大学附中高三(下)月考数学试卷(六) (文 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1.已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则?UA=( ) A. {1,3} B. {3,7,9} C. {3,5,9} 2.复数 A. i 3.函数 A. 周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数 =( ) B. ﹣i 是( ) B. 周期为 π 的偶函数 D. 周期为 2π 的偶函数 C. 12﹣13i D. 12+13i D. {3,9}

4.给定下列两个命题: ①“p∨q”为真是“≦p”为假的必要不充分条件; ②“?x∈R,使 sinx>0”的否定是“?x∈R,使 sinx≤0”. 其中说法正确的是( ) A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①和②都为假 5.在如图所示的程序中,若 N=5 时,则输出的 S 等于( )

D. ①和②都为真

A.

B.

C.

D.

6. =(cos25°,sin25°) , =(sin20°,cos20°) , = +t ,t∈R,则| |的最小值是( 论的方法,以及 1 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.



A.

B.

C. 1

D.

7.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于( A. ﹣6(1﹣3
﹣10

) D. 3(1+3
﹣10

) B.

C. 3(1﹣3

﹣10





8.已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为(



A. 24﹣

B. 24﹣

C. 24﹣π

D. 24﹣

9.过点(

)引直线 l 与曲线 y= )

相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△ ABO 的面

积取得最大值时,直线 l 的斜率等于( A. B.

C.

D.

10.已知双曲线

,若过右焦点 F 且倾斜角为 30°的直线与双曲线的右 ) D.

支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A. (1,2) B.

C. [2,+∞)

11.已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ ABC 是边长为 2 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=4,则此棱锥的体积为( ) A. B. C. D.

12.已知定义域为 R 的函数 f(x)= 有 3 个不同的实根 x1,x2,x3,则 x1 +x2 +x3 等于(
2 2 2

,若关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c=0 )

2

论的方法,以及 2 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

A. 13

B.

C. 5

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.取一根长为 3 米的绳子,拉直后在任意位置剪断,则剪得两段的长都不小于 1 米的概率 为 . 14.已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x ﹣5x+4=0 的两个根, 则 S6= . 15.若 x,y 满足|x|+|y|≤1,则 z= 的取值范围是 .
2

16.定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称,且 f(x)=﹣

,f(﹣1)

=1,f(0)=﹣2,则 f(1)+f(2)+…+f(2015)=



三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.已知向量 =(sinx,1) , Ⅰ求函数 f(x)的最小正周期; Ⅱ若 a,b,c 分别是△ ΑΒC 的三边,a=2 大值,求角 A、角 C. 18.为了了解昆明市学生开展体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从五华区,盘龙区,西山区 三个区中抽取 7 个高完中进行调查,已知三个区中分别由 18,27,18 个高完中. (Ⅰ)求从五华区,盘龙区,西山区中分别抽取的学校个数; (Ⅱ)若从抽取的 7 个学校中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个学校中至少有 1 个来自 五华区的概率. 19. 如图,三棱锥 S﹣ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为边长为 2 的正三角形, 且∠BAC=90°, O、 D 分别为 BC、AB 的中点. (Ⅰ)证明:SO⊥平面 ABC; (Ⅱ)求四棱锥 S﹣ACOD 的体积. ,c=2 ,且 f(A)是函数 f(x)在 上的最 ,函数 .

论的方法,以及 3 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

20.已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的单调增区间. (2)若函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求实数 a 的值.

21.已知椭圆

的焦距为 2,置椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成

正三角形. (l)求椭圆的方程; (2)若以 k(k≠0)为斜率的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 A,B,且线段 AB 的垂直平分线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求 k 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,圆 O 的直径 AB=10,弦 DE⊥AB 于点 H,BH=2. (Ⅰ)求 DE 的长; (Ⅱ)延长 ED 到 P,过 P 作圆 O 的切线,切点为 C,若 PC=2 ,求 PD 的长.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 2010?南通模拟)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2, (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. .

【选修 4-5:不等式选讲】 2012?浉河区校级模拟)已知函数 f(x)=|x﹣2|,g(x)=﹣|x+3|+m. 论的方法,以及 4 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

(1)解关于 x 的不等式 f(x)+a﹣1>0(a∈R) ; (2)若函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,求 m 的取值范围.

论的方法,以及 5 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

2014-2015 学年云南师范大学附中高三 (下) 月考数学试卷 (六) (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1.已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则?UA=( ) A. {1,3} B. {3,7,9} C. {3,5,9} 考点:补集及其运算. 分析:从 U 中去掉 A 中的元素就可. 解答: 解:从全集 U 中,去掉 1,5,7,剩下的元素构成 CUA. 故选 D. 点评:集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合. 2.复数 A. i =( ) B. ﹣i C. 12﹣13i D. 12+13i D. {3,9}

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:复数的分子中利用﹣i =1 代入 3,然后化简即可. 解答: 解: 故选 A. 点评:本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.
2

3.函数 A. 周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数

是(

) B. 周期为 π 的偶函数 D. 周期为 2π 的偶函数

考点:诱导公式一;三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题. 分析:利用诱导公式化简函数解析式后,找出 ω 的值,代入周期公式求出函数的最小正周期,再根 据余弦函数为偶函数,即可得到正确的选项. 解答: 解:y=sin( ∵ω=2,∴T= =π, ﹣2x)=cos2x,

论的方法,以及 6 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

又余弦函数为偶函数, 则原函数是周期为 π 的偶函数. 故选 B 点评:此题考查了三角函数的周期性及其求法,以及函数的奇偶性,其中利用诱导公式将函数解析 式化为一个角的余弦函数是解本题的关键. 4.给定下列两个命题: ①“p∨q”为真是“≦p”为假的必要不充分条件; ②“?x∈R,使 sinx>0”的否定是“?x∈R,使 sinx≤0”. 其中说法正确的是( ) A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①和②都为假

D. ①和②都为真

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析: ①“p∨q”为真,则 p,q 中至少有一个为真,推不出“≦p”为假;反之成立,由充分必要条件 即可判断; ②由存在性命题的否定是全称性命题,即可判断. 解答: 解:①“p∨q”为真,则 p,q 中至少有一个为真,推不出“≦p”为假; 若“≦p”为假,则 p 为真,“p∨q”为真, 故“p∨q”为真是“≦p”为假的必要不充分条件,故①正确; ②“?x∈R,使 sinx>0”的否定是“?x∈R,使 sinx≤0”.故②正确. 故选:D. 点评:本题考查简易逻辑的基础知识:充分必要条件的判断和命题的否定,属于基础题. 5.在如图所示的程序中,若 N=5 时,则输出的 S 等于( )

A.

B.

C.

D.

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:根据程序框图的功能进行运算即可. 论的方法,以及 7 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

解答: 解:由程序框图可知,该程序框图的功能是: 求 ,

故选 D. 点评:本题主要考查程序框图的识别和判断,了解程序框图的功能是解决本题的关键.

6. =(cos25°,sin25°) , =(sin20°,cos20°) , = +t ,t∈R,则| |的最小值是( A. B. C. 1 D.



考点:两角和与差的正弦函数;函数的值域;向量的模. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:将 平方,再利用向量数量积公式,两角和的正弦公式化简,利用配方法即可求得结论. 解答: 解: ∵ ∴| | = ∴| |≥ ∴| |的最小值是 故选 B. 点评:本题考查向量知识,考查两角和的正弦公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
2 2

+2t

+t

2 2

=1+2t (sin20°cos25°+cos20°sin25°) +t =t +2tsin45°+1=t +

2

2

2

t+1= (t+

)+ ≥

2

7.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于( A. ﹣6(1﹣3
﹣10

) D. 3(1+3
﹣10

) B.

C. 3(1﹣3

﹣10





考点:等比数列的前 n 项和. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由已知可知,数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列,结合已知 数列的求和公式可求 解答: 解:∵3an+1+an=0 ∴ 可求 a1,然后代入等比

∴数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列 ∵ 论的方法,以及 8 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

∴a1=4
﹣10

由等比数列的求和公式可得,S10=

=3(1﹣3



故选 C 点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题 8.已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为( )

A. 24﹣

B. 24﹣

C. 24﹣π

D. 24﹣

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由三视图可知,该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得. 解答: 解:该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得, 其中长方体的体积为 V1=4×3×2=24; 半个圆柱的体积为 V2= 则 V=24﹣ . = ,

故选 A. 点评:考查了学生的空间想象力及三视图的等量关系. 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△ ABO 的面 ) C. D.

9.过点(

)引直线 l 与曲线 y=

积取得最大值时,直线 l 的斜率等于( A. B.

考点:直线与圆的位置关系;直线的斜率. 专题:压轴题;直线与圆.

论的方法,以及 9 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

分析:由题意可知曲线为单位圆在 x 轴上方部分 (含与 x 轴的交点) , 由此可得到过 C 点的直线与曲 线相交时 k 的范围,设出直线方程,由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离,由勾股定理求 出直线被圆所截半弦长,写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值. 解答: 解:由 y= 所以曲线 y= ,得 x +y =1(y≥0) . 表示单位圆在 x 轴上方的部分(含与 x 轴的交点) ,
2 2

设直线 l 的斜率为 k,要保证直线 l 与曲线有两个交点,且直线不与 x 轴重合, 则﹣1<k<0,直线 l 的方程为 y﹣0= 则原点 O 到 l 的距离 d= ,即 . .

,l 被半圆截得的半弦长为



=

= 令 ,则

= ,当 ,即



时,S△ ABO 有最大值为 .

此时由

,解得 k=﹣



故答案为 B. 点评:本题考查了直线的斜率,考查了直线与圆的关系,考查了学生的运算能力,考查了配方法及 二次函数求最值,解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值,是中档题.

10.已知双曲线

,若过右焦点 F 且倾斜角为 30°的直线与双曲线的右 ) D.

支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A. (1,2) B.

C. [2,+∞)

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析:要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率,即 < ,求得 a 和 b 的不等式关系,进而根据 b= 转化成 a 和 c 的不等式关系,求得离心

率的一个范围,最后根据双曲线的离心率大于 1,综合可得求得 e 的范围. 解答: 解:要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜 率, 即 <tan30°= ,即 b< a

论的方法,以及 10 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

∵b= ∴ 整理得 c< ∴e= < ∵双曲线中 e>1 故 e 的范围是(1, ) < a a,

故选 B. 点评:本题主要考查了双曲线的简单性质.在求离心率的范围时,注意双曲线的离心率大于 1. 11.已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ ABC 是边长为 2 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=4,则此棱锥的体积为( ) A. B. C. D.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:根据题意,利用截面圆的性质即可求出点 O 到平面 ABC 的距离,进而求出点 S 到平面 ABC 的距离,即可计算出三棱锥的体积. 解答: 解:因为△ ABC 是边长为 2 的正三角形,所以△ ABC 外接圆的半径 所以点 O 到平面 ABC 的距离 SC 为球 O 的直径,点 S 到平面 ABC 的距离为 此棱锥的体积为 = , , , ,

故选 A. 点评:本题考查三棱锥的体积,考查学生的计算能力,求出点 O 到平面 ABC 的距离,进而求出点 S 到平面 ABC 的距离是关键.

12.已知定义域为 R 的函数 f(x)= 有 3 个不同的实根 x1,x2,x3,则 x1 +x2 +x3 等于( A. 13 B. C. 5
2 2 2

,若关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c=0 ) D.

2

考点:根的存在性及根的个数判断. 论的方法,以及 11 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

专题:计算题;压轴题. 分析:作出 f(x)的图象,由图知,只有当 f(x)=1 时有两解,欲使关于 x 的方程 f (x)+bf(x) ﹣1=0 有 3 个不同的实数解 x1,x2,x3,则必有 f(x)=1 这个等式,故可得三个根的平方和,问题 得到解决. 解答: 解:作出 f(x)的图象 由图知,只有当 f(x)=1 时有两解; 2 ∵关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c=0 有 3 个不同的实数解 x1,x2,x3, ∴必有 f(x)=1,从而 x1=1,x2=2,x3=0. 2 2 2 故可得 x1 +x2 +x3 =5.
2

故选 C. 点评:本题考查复合函数的零点问题,复合函数的零点的问题,必须要将 f(x)看成整体,利用整 体思想解决.数形结合也是解决此题的关键,利用函数的图象可以加强直观性,同时也便于问题的 理解. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 取一根长为 3 米的绳子, 拉直后在任意位置剪断, 则剪得两段的长都不小于 1 米的概率为 .

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:根据题意确定为几何概型中的长度类型,将长度为 3m 的绳子分成相等的三段,在中间一段 任意位置剪断符合要求,从而找出中间 1m 处的两个界点,再求出其比值. 解答: 解:记“两段的长都不小于 1m”为事件 A, 则只能在中间 1m 的绳子上剪断,才使得剪得两段的长都不小于 1m, 所以由几何概型的公式得到事件 A 发生的概率 P(A)= . 故答案为: 点评:本题主要考查概率中的几何概型,关键是明确概率模型,明确事件的测度,通过长度、面积 或体积之比来得到概率. 14.已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x ﹣5x+4=0 的两个根, 则 S6= 63 .
2

论的方法,以及 12 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

考点:等比数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项,然后求出公比,直接利用等比数列前 n 项和 公式求前 6 项和. 解答: 解:解方程 x ﹣5x+4=0,得 x1=1,x2=4. 2 因为数列{an}是递增数列,且 a1,a3 是方程 x ﹣5x+4=0 的两个根, 所以 a1=1,a3=4. 设等比数列{an}的公比为 q,则 ,所以 q=2.
2





故答案为 63. 点评:本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础的计算题. 15.若 x,y 满足|x|+|y|≤1,则 z= 的取值范围是 .

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用斜率公式结合数形结合进行求解即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图, 由 故而由图可知, 故而 z 的取值范围是 故答案为: . ,由斜率公式可知,其几何意义是点(x,y)与点(3,0)所在直线的斜率, , . ,

点评:本题主要考查线性规划和直线斜率的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

16.定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称,且 f(x)=﹣

,f(﹣1)

=1,f(0)=﹣2,则 f(1)+f(2)+…+f(2015)= 2 .

论的方法,以及 13 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:由已知中 f(x)=﹣ ,可得函数 f(x)是以 3 为周期的周期函数,再由函数 f(x)

的图象关于点(﹣ ,0)对称,f(﹣1)=1,f(0)=﹣2,可得 f(﹣2)=1,进而可得一个周期内 三个整数的函数值和为 0,进而利用分组求和法得到答案. 解答: 解:∵ ,则 ,

所以 f(x)=f(x+3) , 即函数 f(x)是以 3 为周期的周期函数, 令 x=﹣1,则 ,故而 ,

由函数图象关于点 令 ,则

对称,所以 ,则 f(﹣2)=1,



所以 f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)=0, 故:f(1)+f(2)+…+f(2015)=f(1)+f(2)=f(﹣2)+f(﹣1)=2. 故答案为:2 点评:本题考查的知识点是函数的值,函数的奇偶性与函数的周期性,分组求和法,是函数图象和 性质的综合应用,难度中档. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.已知向量 =(sinx,1) , Ⅰ求函数 f(x)的最小正周期; Ⅱ若 a,b,c 分别是△ ΑΒC 的三边,a=2 大值,求角 A、角 C. 考点: 平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)写出 的坐标,然后进行数量积的坐标运算,利用二倍角的正余弦公式及两角差的 )+2,由求周期的公式即可得到该函数的周期; )的最大值,从而得到 f ,c=2 ,且 f(A)是函数 f(x)在 上的最 ,函数 .

正弦公式化简 f(x)即可得到 f(x)=sin(2x﹣ (2)由 x 求出 2x﹣

的范围,这样即可求得 sin(2x

(x)的最大值,也就得出 A 的值,然后由正弦定理即可求出角 C.

论的方法,以及 14 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

解答: 解: (Ⅰ) f(x) = ; 即 f(x)=sin(2x﹣ )+2; =



=

=

∴函数 f(x)的最小正周期 T=π; (Ⅱ)∵ ∴ ∴当 ∴ ,即 ,由正弦定理 ; ; ; 时,f(x)max=3; 得:

∴ ∴ .



点评: 考查向量加法、数量积的坐标运算,二倍角的正余弦公式,两角差的正弦公式,以及三角 函数的周期公式,正弦函数的最大值,正弦定理. 18.为了了解昆明市学生开展体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从五华区,盘龙区,西山区 三个区中抽取 7 个高完中进行调查,已知三个区中分别由 18,27,18 个高完中. (Ⅰ)求从五华区,盘龙区,西山区中分别抽取的学校个数; (Ⅱ)若从抽取的 7 个学校中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个学校中至少有 1 个来自 五华区的概率. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析: (I)分层抽样按比例抽取; (Ⅱ)列出所有的基本事件,由古典概型概率公式求解. 解答: 解: (Ⅰ)学校总数为 18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数之比为 ,

所以从五华区,盘龙区,西山区中应分别抽取的学校个数为 2,3,2. (Ⅱ)设 A1,A2 为在五华区抽得的 2 个学校,B1,B2,B3 为在盘龙区抽得的 3 个学校,

论的方法,以及 15 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

C1,C2 为在西山区抽得的 2 个学校,这 7 个学校中随机抽取 2 个,全部的可能结果有 种. 随机抽取的 2 个学校至少有 1 个来自五华区的结果有(A1,A2) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A1,C1) , (A1,C2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (A2,C1) , (A2,C2) ,一共有 11 种, 所以所求的概率为 .

点评:本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基 础知识,考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力. 19. 如图,三棱锥 S﹣ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为边长为 2 的正三角形, 且∠BAC=90°, O、 D 分别为 BC、AB 的中点. (Ⅰ)证明:SO⊥平面 ABC; (Ⅱ)求四棱锥 S﹣ACOD 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)连结 OA,△ ABC 为等腰直角三角形,由已知得 AO⊥BC,SO⊥BC,SO⊥AO.由 此能证明 SO⊥平面 ABC. (Ⅱ)由已知得 DO⊥AD, .SO⊥平面 ABC,由此能求出四棱锥 S﹣ACOD 的体积.

解答: (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:由题设 AB=AC=SB=SC=SA, 连结 OA,△ ABC 为等腰直角三角形, 所以 又△ SBC 为等腰三角形, 故 SO⊥BC,且
2 2 2

,且 AO⊥BC,



从而 OA +SO =SA . 所以△ SOA 为直角三角形,SO⊥AO. 又 AO∩BO=O.所以 SO⊥平面 ABC.…(6 分) (Ⅱ)∵BO=CO,BD=AD, ∴AC∥DO,∴DO⊥AD, . , 由(Ⅰ)知 SO⊥平面 ABC, 论的方法,以及 16 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.



.…(12 分)

点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查四棱锥体积的求法,解题时要注意空间思维能力的培 养.

20.已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的单调增区间. (2)若函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求实数 a 的值.

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:分类讨论. 分析: (1)要求函数 f(x)的单调增区间,即求导函数值大于等于 0 的区间,我们根据求出函数 导函数的解析式,结合函数的定义域,分类讨论后,即可得到答案. (2)由(1)中函数的导函数的解析式,我们对 a 的取值进行分析讨论,求出对应的函数的单调区 间,并分析函数 f(x)在[1,e]上何时取最小值,分析后即可得到答案. 解答: 解:∵f(x)= ∴函数的定义域为(0,+∞) 且 f'(x)= + =

①当 a≥0 时,f'(x)≥0 恒成立, ∴函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞) ②当 a<0 时,令 f'(x)≥0,则 x>﹣a ∴函数 f(x)的单调增区间为(﹣a,+∞) (II)由(I)可知,f'(x)= ①若 a≥﹣1,则 x+a≥0,则 f'(x)≥0 恒成立, 函数 f(x)在[1,e]上为增函数 ∴f(x)的最小值为:f(1)=﹣a= ,此时 a=﹣ (舍去) ②若 a≤﹣e,则 f'(x)≤0 恒成立, 函数 f(x)在[1,e]上为减函数 ∴f(x)的最小值为:f(e)=1﹣ = ,此时 a=﹣ (舍去) ③若﹣e<a<﹣1,当 1<x<﹣a 时,则 f'(x)<0, 当﹣a<x<e 时,f'(x)>0, 论的方法,以及 17 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

∴f(x)的最小值为:f(﹣a)=ln(﹣a)+1= ,此时 a=﹣ 综上所述:a=﹣ 点评:本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,其中根 据导函数的解析式,对参数 a 进行分析讨论是解答本题的关键.

21.已知椭圆

的焦距为 2,置椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成

正三角形. (l)求椭圆的方程; (2)若以 k(k≠0)为斜率的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 A,B,且线段 AB 的垂直平分线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求 k 的取值范围.

考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,结合焦距为 2,求出椭圆的 几何量,即可求椭圆的方程; (2)设出直线 l 的方程,代入椭圆的方程,利用判别式及根与系数的关系求出 MN 的中点坐标,从 而得到线段 MN 的垂直平分线方程,通过求出直平分线与坐标轴的交点,计算围成的三角形面积, 由判别式大于 0,求得 k 的取值范围. 解答: 解: (1)设短轴的两个三等分点分别为 M,N,F 为焦点,则△ MNF 为正三角形, ∴|OF|= |MN|,

∵椭圆

的焦距为 2,

∴1= ∴a=

,解得 b= =2,



∴椭圆的方程为



(2)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0) .点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) 2 2 2 直线 y=kx+m 代入椭圆方程,消去 y,整理得(3+4k )x +8kmx+4m ﹣12=0. 2 2 2 2 此方程有两个不等实根,于是 3+4k ≠0,且△ =(8km) ﹣4(3+4k ) (4m ﹣12)>0. 2 2 整理得﹣m +3+4k >0. ① 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标(x0,y0)满足 x0= ,y0=kx0+m= .

从而线段 MN 的垂直平分线方程为 y﹣

=﹣ (x﹣

) .

论的方法,以及 18 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

此直线与 x 轴,y 轴的交点坐标分别为(

,0) , (0,

) .

由题设可得 |

||

|=



整理得 m =

2

,k≠0.
2 2

将上式代入①式整理得(4k ﹣5) (4k ﹣8|k|+3)>0,k≠0. 解得 <|k|< . ∴k 的取值范围是(﹣ ,﹣ )∪( , ) . 点评:本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直等基础知识,考查曲线 和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能力,属于中档题. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,圆 O 的直径 AB=10,弦 DE⊥AB 于点 H,BH=2. (Ⅰ)求 DE 的长; (Ⅱ)延长 ED 到 P,过 P 作圆 O 的切线,切点为 C,若 PC=2 ,求 PD 的长.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;推理和证明. 分析: (Ⅰ)由已知中弦 DE⊥AB 于点 H,AB 为圆 O 的直径,由垂径定理,我们易得 DH=HE, 2 进而由相交弦定理,得 DH =AH?BH,由 AB=10,HB=2,代入即可求出 DH,进而得到 DE 的长; 2 (Ⅱ) 由于 PC 切圆 O 于点 C, 由切割线定理, 我们易得 PC =PD?PE, 结合 (Ⅰ) 的结论和 PC=2 , 代入即可求出 PD 的长. 解答: 解: (Ⅰ)∵AB 为圆 O 的直径,AB⊥DE, ∴DH=HE, 2 ∴DH =AH?BH=(10﹣2)×2=16, ∴DH=4, ∴DE=2DH=8; (Ⅱ)∵PC 切圆 O 于点 C, 2 ∴PC =PD?PE, 2 即(2 ) =PD?(PD+8) , ∴PD=2.

论的方法,以及 19 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.

点评:本题考查的知识点是垂径定理,相交弦定理及切割线定理,分析已知线段与未知线段之间的 位置关系,进而选择恰当的定义进行求解是解答此类问题的关键. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 2010?南通模拟)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2, (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 考点:简单曲线的极坐标方程;相交弦所在直线的方程. 分析: (1)先利用三角函数的差角公式展开圆 O2 的极坐标方程的右式,再利用直角坐标与极坐 2 2 2 标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得圆 O2 的直角坐标方程及圆 O1 直 角坐标方程. (2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程,再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极 坐标方程即可. 解答: 解: (1)ρ=2?ρ =4,所以 x +y =4;因为 所以
2 2 2 2 2



, ,所以 x +y ﹣2x﹣2y﹣2=分)

(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1. 化为极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ=1,即 . (10 分)

点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极 坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 【选修 4-5:不等式选讲】 2012?浉河区校级模拟)已知函数 f(x)=|x﹣2|,g(x)=﹣|x+3|+m. (1)解关于 x 的不等式 f(x)+a﹣1>0(a∈R) ; (2)若函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,求 m 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1>0,对参数 a 进行分类讨论,分类解不等式; (2)函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|>m 恒成立,利 用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值,就可以求出 m 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)不等式 f(x)+a﹣1>0 即为|x﹣2|+a﹣1>0, 当 a=1 时,解集为 x≠2,即(﹣∞,2)∪(2,+∞) ; 当 a>1 时,解集为全体实数 R; 当 a<1 时,解集为(﹣∞,a+1)∪(3﹣a,+∞) . (Ⅱ)f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,即为|x﹣2|>﹣|x+3|+m 对任意实数 x 恒成立, 即|x﹣2|+|x+3|>m 恒成立, (7 分) 又由不等式的性质,对任意实数 x 恒有|x﹣2|+|x+3|≥|(x﹣2)﹣(x+3)|=5,于是得 m<5, 故 m 的取值范围是(﹣∞,5) . 点评: 本题考查 论的方法,以及 20 等式的性质,涉及面较广,知识 20 强.


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